第 1 章 多项式

本章整理数域、一元多项式的运算、整除理论、最大公因式、因式分解、多项式函数与根、复系数与实系数多项式、有理系数多项式以及多元多项式初步。多项式理论是高等代数的起点。

1.1 数域

设 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{C}$ 且 $\mathbb{F}$ 中至少含有两个不同的数。若 $\mathbb{F}$ 对加、减、乘、除（除数非零）封闭，则称 $\mathbb{F}$ 为一个数域。

  • 有理数集 $\mathbb{Q}$、实数集 $\mathbb{R}$、复数集 $\mathbb{C}$ 都是数域。
  • 整数集 $\mathbb{Z}$ 不是数域，因为对除法不封闭。
  • 任何数域都包含 $\mathbb{Q}$。
  • 若 $\mathbb{F}$ 是数域，则 $\mathbb{F}$ 中的元素可以进行通常的四则运算，且运算结果仍在 $\mathbb{F}$ 中。

1.2 一元多项式

1.2.1 定义

设 $\mathbb{F}$ 是数域，$x$ 是一个文字。形如 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$ 的表达式称为数域 $\mathbb{F}$ 上的一元多项式，其中 $a_i\in\mathbb{F}$，$a_n\ne0$，$n$ 为非负整数。$a_i$ 称为系数，$a_nx^n$ 称为最高次项，$a_n$ 称为首项系数，$n$ 称为次数，记作 $\deg f=n$。

  • 零多项式记作 $0$，其次数不定义（或约定为 $-\infty$）。
  • 首项系数为 $1$ 的多项式称为首一多项式。
  • 两个多项式相等当且仅当同次项系数全部相等。
  • 数域 $\mathbb{F}$ 上全体一元多项式构成的集合记作 $\mathbb{F} $，它对加、减、乘封闭，构成一个多项式环。

1.2.2 运算与次数

设 $f,g\in\mathbb{F}[x]$，则：

  • $\deg(f\pm g)\le\max{\deg f,\deg g}$。
  • $\deg(fg)=\deg f+\deg g$（当 $f,g\ne0$）。
  • 若 $f\ne0$，$g\ne0$，则 $fg\ne0$。
  • $\mathbb{F} $ 中乘法满足交换律、结合律，并对加法满足分配律。

1.3 整除与带余除法

1.3.1 整除

设 $f,g\in\mathbb{F}[x]$，$g\ne0$。若存在 $q\in\mathbb{F}[x]$，使 $$f=qg,$$ 则称 $g$ 整除 $f$，记作 $g\mid f$；否则称 $g$ 不整除 $f$，记作 $g\nmid f$。

  • 若 $g\mid f$ 且 $f\mid g$，则 $f=cg$（$c$ 为非零常数），称 $f$ 与 $g$ 相伴。
  • 非零常数整除任何多项式，非零常数是 $\mathbb{F} $ 中的单位。
  • 整除具有传递性；若 $g\mid f_i$，则 $g\mid\sum u_if_i$。
  • 若 $g\mid f$，则 $\deg g\le\deg f$（$f\ne0$）。

1.3.2 带余除法

设 $f,g\in\mathbb{F}[x]$，$g\ne0$。则存在唯一的多项式 $q,r\in\mathbb{F}[x]$，使 $$f=qg+r,\qquad \deg r<\deg g\text{（或 }r=0\text{）}.$$ $q$ 称为商，$r$ 称为余式。

  • 带余除法是多项式整除理论的基础，类似整数的带余除法。
  • 可用长除法或综合除法计算。
  • 当 $g(x)=x-a$ 时，$r=f(a)$（余数定理）。

1.4 最大公因式

1.4.1 定义

设 $f,g\in\mathbb{F}[x]$，不全为零。若 $d\in\mathbb{F}[x]$ 满足： （1）$d\mid f$，$d\mid g$； （2）对任意 $h\in\mathbb{F}[x]$，若 $h\mid f$ 且 $h\mid g$，则 $h\mid d$， 则称 $d$ 是 $f,g$ 的一个最大公因式。

  • 最大公因式在相差非零常数倍的意义下唯一。
  • 通常约定 $\gcd(f,g)$ 为首一多项式。
  • 若 $\gcd(f,g)=1$，则称 $f,g$ 互素。

1.4.2 存在性与辗转相除法

  • 对 $f,g$ 反复作带余除法： $$f=q_1g+r_1,\quad g=q_2r_1+r_2,\quad r_1=q_3r_2+r_3,\quad\cdots$$ 直到余式为 $0$。最后一个非零余式的首一化就是 $\gcd(f,g)$。
  • 最大公因式一定存在。
  • 裴蜀等式：存在 $u,v\in\mathbb{F} $，使 $$uf+vg=\gcd(f,g).$$
  • 特别地，$f,g$ 互素当且仅当存在 $u,v$，使 $uf+vg=1$。

1.4.3 互素的性质

  • 若 $\gcd(f,g)=1$，且 $f\mid gh$，则 $f\mid h$。
  • 若 $\gcd(f,g)=1$，$\gcd(f,h)=1$，则 $\gcd(f,gh)=1$。
  • 若 $\gcd(f,g)=1$，则 $\gcd(f^n,g^m)=1$（$n,m\in\mathbb{N}^*$）。
  • 若 $f,g$ 互素，则 $f$ 与 $g$ 的公共根不存在（在复数域中）。

1.4.4 最小公倍式

  • 首一最小公倍式记作 $\operatorname{lcm}(f,g)$。
  • 对首一多项式， $$fg=\gcd(f,g)\operatorname{lcm}(f,g)$$ 在相差非零常数倍的意义下成立。

1.5 因式分解

1.5.1 不可约多项式

设 $p\in\mathbb{F}[x]$，$\deg p\ge1$。若 $p$ 不能分解为两个次数较低的多项式的乘积，即由 $$p=fg$$ 只能推出 $f$ 或 $g$ 为非零常数，则称 $p$ 在 $\mathbb{F}$ 上不可约。

  • 不可约多项式与次数为 $1$ 的多项式的关系依赖于数域：
    • 在复数域 $\mathbb{C}$ 上，不可约多项式恰为一次多项式；
    • 在实数域 $\mathbb{R}$ 上，不可约多项式为一次多项式或判别式小于 $0$ 的二次多项式；
    • 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上，存在任意次数的不可约多项式。
  • 不可约多项式的性质：
    • 若 $p$ 不可约且 $p\mid fg$，则 $p\mid f$ 或 $p\mid g$；
    • 若 $p$ 不可约，则 $p$ 与任何多项式要么互素，要么整除它。

1.5.2 唯一因式分解定理

数域 $\mathbb{F}$ 上每个次数 $\ge1$ 的多项式 $f$ 都可以分解为有限个不可约多项式的乘积： $$f=cp_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_s^{k_s},$$ 其中 $c$ 为非零常数，$p_i$ 为互不相同的首一不可约多项式，$k_i\in\mathbb{N}^*$。分解在相差常数因子和因子次序的意义下唯一。

  • 该定理说明 $\mathbb{F} $ 是唯一分解整环。
  • 标准分解式可用于求最大公因式和最小公倍式： $$\gcd(f,g)=\prod p_i^{\min(k_i,l_i)},\qquad \operatorname{lcm}(f,g)=\prod p_i^{\max(k_i,l_i)}.$$

1.5.3 重因式

若 $p^k\mid f$ 但 $p^{k+1}\nmid f$，则称 $p$ 是 $f$ 的 $k$ 重因式。

  • 重因式与导数有关：
    • 若 $p$ 是 $f$ 的 $k$ 重因式（$k\ge2$），则 $p$ 是 $f'$ 的 $k-1$ 重因式；
    • $f$ 无重因式当且仅当 $\gcd(f,f')=1$。
  • 去除重因式： $$g=\frac f{\gcd(f,f')}$$ 与 $f$ 有相同的不可约因式，但每个因式都是一重的。

1.5.4 多项式的导数

  • 形式导数： $$f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1.$$
  • 求导法则与微积分中相同： $$(f\pm g)'=f'\pm g',\qquad (fg)'=f'g+fg',\qquad (cf)'=cf'.$$
  • 导数可用于判断重根和重因式。

1.6 多项式函数与根

1.6.1 余数定理与因式定理

余数定理：多项式 $f(x)$ 除以 $x-a$ 的余式为 $f(a)$。

因式定理：$(x-a)\mid f(x)$ 当且仅当 $f(a)=0$。

  • 若 $f(a)=0$，则称 $a$ 是 $f$ 的一个根（零点）。
  • 若 $(x-a)^k\mid f(x)$ 但 $(x-a)^{k+1}\nmid f(x)$，则称 $a$ 是 $f$ 的 $k$ 重根。
  • $a$ 是 $f$ 的 $k$ 重根当且仅当 $$f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0,\qquad f^{(k)}(a)\ne0.$$

1.6.2 根的个数

  • 次数为 $n$ 的非零多项式在数域中至多有 $n$ 个根（按重数计算）。
  • 若两个次数不超过 $n$ 的多项式在 $n+1$ 个不同点处取值相同，则它们相等。
  • 若 $f$ 在 $\mathbb{F}$ 上有 $n$ 个根（$n=\deg f$，计重数），则 $$f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n).$$

1.6.3 韦达定理

设 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$ 的根为 $x_1,\dots,x_n$（计重数），则

$$\sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n},$$

$$\sum_{i<j}x_ix_j=\frac{a_{n-2}}{a_n},$$

$$\sum_{i<j<k}x_ix_jx_k=-\frac{a_{n-3}}{a_n},$$

$$\cdots$$

$$x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}.$$

1.7 复系数与实系数多项式

1.7.1 代数基本定理

每个次数 $\ge1$ 的复系数多项式在复数域中至少有一个根。

  • 推论：每个 $n$ 次复系数多项式在 $\mathbb{C}$ 中恰有 $n$ 个根（计重数），且可分解为 $$f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n).$$
  • 因此，复数域上不可约多项式恰为一次多项式。

1.7.2 实系数多项式

  • 若 $f$ 是实系数多项式，$z$ 是 $f$ 的复根，则 $\bar z$ 也是 $f$ 的根，且重数相同。
  • 实系数多项式可分解为一次因式与判别式小于 $0$ 的二次因式的乘积： $$f(x)=a\prod_i(x-a_i)^{k_i}\prod_j(x^2+b_jx+c_j)^{l_j},\qquad b_j^2-4c_j<0.$$
  • 实系数多项式若有奇次，则至少有一个实根。

1.8 有理系数多项式

1.8.1 本原多项式与高斯引理

  • 若整系数多项式 $f$ 的系数互素（最大公因数为 $1$），则称 $f$ 为本原多项式。
  • 每个非零有理系数多项式可写成 $$f(x)=c f_1(x),$$ 其中 $c\in\mathbb{Q}^*$，$f_1$ 为本原整系数多项式。
  • 高斯引理：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。
  • 若整系数多项式在 $\mathbb{Q}$ 上可约，则它在 $\mathbb{Z}$ 上也可分解为两个次数较低的整系数多项式之积。

1.8.2 有理根定理

设 $$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ 是整系数多项式，$a_n\ne0$，$a_0\ne0$。若 $\dfrac pq$（$p,q$ 互素）是 $f$ 的有理根，则 $$p\mid a_0,\qquad q\mid a_n.$$

  • 因此，有理根只可能在有限个候选值中。
  • 若 $a_n=1$，则有理根必为整数，且整除 $a_0$。

1.8.3 艾森斯坦判别法

设 $$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ 是整系数多项式。若存在素数 $p$，使： （1）$p\nmid a_n$； （2）$p\mid a_i$（$i=0,1,\dots,n-1$）； （3）$p^2\nmid a_0$， 则 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

  • 艾森斯坦判别法是充分条件，不是必要条件。
  • 通过代换 $x\mapsto x+a$ 或其他变换，可以判断更多多项式的不可约性。

1.9 多元多项式初步

1.9.1 单项式与多项式

  • 多元单项式： $$x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n},\qquad k_i\in\mathbb{N}.$$
  • 单项式的次数为 $k_1+\cdots+k_n$。
  • 多元多项式是有限个单项式的线性组合。
  • 字典序与次数序可用于排列单项式。

1.9.2 对称多项式

  • 若多项式 $f(x_1,\dots,x_n)$ 在任意交换两个变量时不变，则称它为对称多项式。
  • 基本对称多项式： $$\sigma_1=x_1+\cdots+x_n,$$ $$\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j,$$ $$\cdots$$ $$\sigma_n=x_1x_2\cdots x_n.$$
  • 对称多项式基本定理：任何对称多项式都可以唯一地表示为基本对称多项式的多项式。

练习

  1. 求 $f(x)=x^3-2x^2+3x-1$ 除以 $g(x)=x-1$ 的商和余式。

  2. 求 $f(x)=x^3-1$ 与 $g(x)=x^2-1$ 的最大公因式。

  3. 求 $f(x)=x^3+2x^2-x-2$ 与 $g(x)=x^2+x-2$ 的最大公因式。

  4. 求 $a,b$，使 $(x-1)^2\mid x^3+ax+b$。

  5. 求 $x=1$ 是 $f(x)=x^4-2x^3+2x^2-2x+1$ 的几重根。

  6. 将 $x^4-1$ 分别在 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 上分解为不可约因式的乘积。

  7. 求 $f(x)=2x^3-3x^2-11x+6$ 的全部有理根，并分解因式。

  8. 用艾森斯坦判别法证明 $x^4+2x+2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

  9. 设 $x_1,x_2,x_3$ 是 $x^3-6x^2+11x-6$ 的三个根，验证韦达定理。

  10. 证明：若 $(x-1)\mid f(x^n)$，则 $f(1)=0$。

  11. 求 $x^{100}$ 除以 $x^2-1$ 的余式。

  12. 设 $\gcd(f,g)=1$，且 $f\mid gh$。证明 $f\mid h$。

检测题

  1. 求 $2x^4-3x^3+x^2-5x+2$ 除以 $x^2+x-1$ 的商和余式。

  2. 求 $f(x)=x^3-2x^2-x+2$ 与 $g(x)=x^3-x^2-4x+4$ 的最大公因式。

  3. 求 $k$，使 $x-1$ 整除 $x^3+kx^2-3x+2$。

  4. 求 $x=0$ 是 $f(x)=x^4-2x^3+x^2$ 的几重根。

  5. 将 $x^3-1$ 在 $\mathbb{C}$ 上分解为一次因式的乘积。

  6. 求 $f(x)=3x^3-4x^2-5x+2$ 的全部有理根。

  7. 用艾森斯坦判别法证明 $x^4+6x^3+12x^2+6$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

  8. 说明 $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可约，在 $\mathbb{C}$ 上可约。

  9. 求 $x^{100}+1$ 除以 $x+1$ 的余式。

  10. 设 $\gcd(f,g)=1$，且 $f\mid gh$。证明 $f\mid h$。

参考答案与提示

  1. 作带余除法： $$x^3-2x^2+3x-1=(x-1)(x^2-x+2)+1.$$ 商为 $x^2-x+2$，余式为 $1$。
  2. $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，故 $$\gcd(x^3-1,x^2-1)=x-1.$$
  3. $f(x)=(x+2)(x-1)(x+1)$，$g(x)=(x+2)(x-1)$，故 $$\gcd(f,g)=(x+2)(x-1)=x^2+x-2.$$
  4. 设 $f(x)=x^3+ax+b$。由 $(x-1)^2\mid f$，得 $f(1)=0$ 且 $f'(1)=0$。于是 $$1+a+b=0,\qquad 3+a=0,$$ 解得 $a=-3$，$b=2$。此时 $f(x)=(x-1)^2(x+2)$。
  5. $f(1)=1-2+2-2+1=0$，$f'(x)=4x^3-6x^2+4x-2$，$f'(1)=0$。$f''(1)=12-12+4=4\ne0$，故 $x=1$ 是二重根。
  6. 在 $\mathbb{R}$ 上： $$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1).$$ 在 $\mathbb{C}$ 上： $$x^4-1=(x-1)(x+1)(x-\mathrm i)(x+\mathrm i).$$
  7. 可能的有理根为 $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm\dfrac12,\pm\dfrac32$。代入得 $x=3$、$x=-2$、$x=\dfrac12$ 是根。于是 $$f(x)=(x-3)(x+2)(2x-1).$$
  8. 取 $p=2$：首项系数 $1$ 不被 $2$ 整除；其余系数 $2,0,0,2$ 都被 $2$ 整除；常数项 $2$ 不被 $4$ 整除。由艾森斯坦判别法，$x^4+2x+2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
  9. 多项式为 $(x-1)(x-2)(x-3)$，三个根为 $1,2,3$。则 $$\sum x_i=6,\qquad \sum_{i<j}x_ix_j=2+3+6=11,\qquad x_1x_2x_3=6,$$ 与多项式系数 $x^3-6x^2+11x-6$ 一致。
  10. 因为 $x\equiv1\pmod{x-1}$，所以 $x^n\equiv1\pmod{x-1}$，从而 $$f(x^n)\equiv f(1)\pmod{x-1}.$$ 由 $(x-1)\mid f(x^n)$ 得 $f(1)=0$。
  11. 因为 $x^2\equiv1\pmod{x^2-1}$，所以 $$x^{100}=(x^2)^{50}\equiv1\pmod{x^2-1}.$$ 余式为 $1$。
  12. 由 $\gcd(f,g)=1$，存在 $u,v$，使 $uf+vg=1$。两边乘以 $h$： $$ufh+vgh=h.$$ 因为 $f\mid f$，$f\mid gh$，所以 $f$ 整除左端每一项，故 $f\mid h$。

检测题参考答案

  1. 作长除法： $$2x^4-3x^3+x^2-5x+2=(x^2+x-1)(2x^2-5x+8)+(-18x+10).$$ 商为 $2x^2-5x+8$，余式为 $-18x+10$。
  2. 分解： $$f(x)=(x-1)(x-2)(x+1),$$ $$g(x)=(x-1)(x-2)(x+2).$$ 故 $$\gcd(f,g)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2.$$
  3. 由因式定理，$f(1)=0$： $$1+k-3+2=k=0.$$ 故 $k=0$。
  4. $f(x)=x^2(x-1)^2$，故 $x=0$ 是二重根。
  5. 设 $\omega=\mathrm e^{2\pi\mathrm i/3}$，则 $$x^3-1=(x-1)(x-\omega)(x-\omega^2).$$
  6. 候选有理根为 $\pm1,\pm2,\pm\dfrac13,\pm\dfrac23$。代入得 $x=2$、$x=-1$、$x=\dfrac13$ 是根，故 $$f(x)=(x-2)(x+1)(3x-1).$$
  7. 取 $p=3$：首项系数 $1$ 不被 $3$ 整除；其余系数 $6,12,0,6$ 都被 $3$ 整除；常数项 $6$ 不被 $9$ 整除。由艾森斯坦判别法，多项式在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
  8. $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上没有实根，故不能分解为两个一次实系数多项式之积，因此在 $\mathbb{R}$ 上不可约。在 $\mathbb{C}$ 上， $$x^2+1=(x-\mathrm i)(x+\mathrm i),$$ 故可约。
  9. 由余数定理，余式为 $$(-1)^{100}+1=2.$$
  10. 同练习第 12 题。