第 10 章 双线性函数与对偶空间

本章整理对偶空间与对偶基、零化子、双线性函数及其矩阵、非退化双线性函数、对称与反对称双线性函数、伴随变换以及辛空间初步。双线性函数是内积和二次型的推广。

10.1 对偶空间

10.1.1 线性函数

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间。若映射 $f:V\to\mathbb{F}$ 满足 $$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta),\qquad f(k\alpha)=kf(\alpha),$$ 则称 $f$ 为 $V$ 上的线性函数（线性泛函）。

  • 线性函数是 $V$ 到 $\mathbb{F}$ 的线性映射。
  • 零函数、坐标函数都是线性函数。

10.1.2 对偶空间

$V$ 上全体线性函数构成的集合记作 $V^*$，按加法和数乘构成线性空间，称为 $V$ 的对偶空间。

  • 若 $\dim V=n$，则 $$\dim V^*=n.$$
  • $V^*$ 中的元素是线性函数，不是 $V$ 中的向量。

10.1.3 对偶基

设 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基。定义 $f_i\in V^$ 满足 $$f_i(\alpha_j)=\delta_{ij} =\begin{cases}1,&i=j,\0,&i\ne j,\end{cases}$$ 则 $f_1,\dots,f_n$ 是 $V^$ 的一组基，称为 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 的对偶基。

  • 若 $\alpha=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i$，则 $$f_i(\alpha)=x_i.$$ 即 $f_i$ 是取第 $i$ 个坐标的线性函数。
  • 若 $f\in V^*$，则 $$f=\sum_{i=1}^nf(\alpha_i)f_i.$$

10.1.4 对偶映射

设 $T:V\to W$ 是线性映射，定义 $T^:W^\to V^$ 为 $$(T^g)(\alpha)=g(T(\alpha))\quad(g\in W^,\ \alpha\in V),$$ 则 $T^$ 是线性映射，称为 $T$ 的对偶映射（转置映射）。

  • $T^*$ 的矩阵是 $T$ 的矩阵的转置（在相应的对偶基下）。
  • $(T+S)^=T^+S^$，$(kT)^=kT^$，$(TS)^=S^T^$。
  • 若 $T$ 可逆，则 $T^$ 可逆，且 $(T^)^{-1}=(T^{-1})^*$。
  • $\ker T^=(\operatorname{Im}T)^0$，$\operatorname{Im}T^=(\ker T)^0$。

10.2 零化子

设 $U$ 是 $V$ 的子空间，称 $$U^0={f\in V^*\mid f(u)=0\text{ 对一切 }u\in U}$$ 为 $U$ 的零化子（annihilator）。

  • $U^0$ 是 $V^*$ 的子空间。
  • 维数公式： $$\dim U^0=\dim V-\dim U.$$
  • 若 $U\subseteq W$，则 $W^0\subseteq U^0$。
  • 在自然等同 $(V^)^\cong V$ 下，$(U^0)^0=U$。
  • 若 $V=U\oplus W$，则 $V^*=U^0\oplus W^0$（在自然对应下）。

10.3 双线性函数

10.3.1 定义

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间。若映射 $B:V\times V\to\mathbb{F}$ 对两个变量都是线性的，即 $$B(k\alpha+\beta,\gamma)=kB(\alpha,\gamma)+B(\beta,\gamma),$$ $$B(\alpha,k\beta+\gamma)=kB(\alpha,\beta)+B(\alpha,\gamma),$$ 则称 $B$ 为 $V$ 上的双线性函数（双线性型）。

  • 双线性函数对两个变量分别线性。
  • 内积是双线性函数，但双线性函数不一定正定或对称。

10.3.2 双线性函数的矩阵

设 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基，定义 $$A=(a_{ij}),\qquad a_{ij}=B(\alpha_i,\alpha_j).$$ 称 $A$ 为 $B$ 在这组基下的矩阵。

  • 若 $\alpha=\sum x_i\alpha_i$，$\beta=\sum y_i\alpha_i$，则 $$B(\alpha,\beta)=x^{\mathrm T}Ay.$$
  • 双线性函数与矩阵一一对应（在取定基之后）。
  • 基变换 $\beta_j=\sum p_{ij}\alpha_i$ 下，矩阵变换为 $$A'=P^{\mathrm T}AP.$$ 即双线性函数的矩阵作合同变换。
  • 双线性函数的秩定义为矩阵的秩，合同变换不改变秩。

10.3.3 非退化双线性函数

若 $B$ 满足：对任意 $\alpha\ne\mathbf0$，都存在 $\beta$，使 $B(\alpha,\beta)\ne0$；且对任意 $\beta\ne\mathbf0$，都存在 $\alpha$，使 $B(\alpha,\beta)\ne0$，则称 $B$ 非退化。

  • $B$ 非退化当且仅当它在任意基下的矩阵可逆（行列式非零）。
  • 非退化双线性函数诱导线性空间的同构： $$\flat:V\to V^*,\qquad \flat(\alpha)(\beta)=B(\alpha,\beta).$$
  • 若 $B$ 非退化，则对任意线性函数 $f\in V^*$，存在唯一的 $\alpha\in V$，使 $$f(\beta)=B(\alpha,\beta)\quad(\beta\in V).$$ 这是里斯表示定理的推广。

10.4 对称与反对称双线性函数

10.4.1 对称双线性函数

若对任意 $\alpha,\beta$，都有 $$B(\alpha,\beta)=B(\beta,\alpha),$$ 则称 $B$ 对称。

  • 对称双线性函数在任意基下的矩阵是对称矩阵。
  • 对称双线性函数与二次型一一对应： $$Q(\alpha)=B(\alpha,\alpha).$$
  • 由极化公式可恢复 $B$： $$B(\alpha,\beta)=\frac12\left[Q(\alpha+\beta)-Q(\alpha)-Q(\beta)\right].$$
  • 对称双线性函数可经合同变换化为标准形，标准形的系数由惯性定理确定。

10.4.2 反对称双线性函数

若对任意 $\alpha,\beta$，都有 $$B(\alpha,\beta)=-B(\beta,\alpha),$$ 则称 $B$ 反对称。

  • 反对称双线性函数在任意基下的矩阵是反对称矩阵。
  • 对任意 $\alpha$，$B(\alpha,\alpha)=0$。
  • 反对称矩阵的主对角线元素为 $0$，奇数阶反对称矩阵的行列式为 $0$。
  • 非退化反对称双线性函数只存在于偶数维空间，且可化为标准形 $$\begin{pmatrix}0&I_k\-I_k&0\end{pmatrix}.$$
  • 带有非退化反对称双线性函数的线性空间称为辛空间。

10.5 伴随变换

设 $V$ 是有限维欧几里得空间，$T$ 是 $V$ 上的线性变换。若存在线性变换 $T^$，使 $$\langle T(\alpha),\beta\rangle=\langle\alpha,T^(\beta)\rangle$$ 对任意 $\alpha,\beta$ 成立，则称 $T^*$ 为 $T$ 的伴随变换（共轭变换）。

  • 在标准正交基下，$T^*$ 的矩阵是 $T$ 的矩阵的转置。
  • 一般地，若 $T$ 的矩阵为 $A$，度量矩阵为 $G$，则 $T^*$ 的矩阵为 $$G^{-1}A^{\mathrm T}G.$$
  • 性质： $$(T+S)^=T^+S^,\qquad (kT)^=kT^,\qquad (TS)^=S^T^,\qquad (T^)^=T.$$
  • $T$ 自伴（$T=T^*$）当且仅当其在标准正交基下的矩阵为实对称矩阵。
  • 自伴变换的特征值为实数，属于不同特征值的特征向量正交，且可正交对角化。

10.6 辛空间初步

  • 辛空间是带有非退化反对称双线性函数的有限维线性空间，维数必为偶数。
  • 标准辛形式： $$\omega(x,y)=x_1y_{k+1}+\cdots+x_ky_{2k}-x_{k+1}y_1-\cdots-x_{2k}y_k.$$
  • 辛空间中没有非零向量与自身正交，因此不存在通常意义下的正交补直和分解。
  • 辛几何是分析力学、哈密顿系统和几何量子化的重要数学基础。

10.7 对偶与零化子的应用

  • 线性方程组的解空间可看作零化子：
    • 齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间是行空间的正交补（在标准内积下）。
  • 若 $U\subseteq V$，则 $$\dim U^0=\dim V-\dim U.$$
  • 对偶基可用于把线性函数表示为坐标函数。
  • 双线性函数的矩阵与合同变换是二次型理论的基础。
  • 伴随变换是正交变换、自伴变换和奇异值分解的基础。

练习

  1. 求 $\mathbb{R}^2$ 的标准基 $e_1,e_2$ 的对偶基。

  2. 求基 $$\alpha_1=(1,1),\qquad\alpha_2=(1,-1)$$ 的对偶基。

  3. 求 $\operatorname{span}{(1,0)}$ 在 $(\mathbb{R}^2)^*$ 中的零化子。

  4. 求双线性函数 $$B((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+2x_2y_2$$ 在标准基下的矩阵。

  5. 判断第 4 题中的双线性函数是否非退化。

  6. 设 $P_1$ 是次数不超过 $1$ 的多项式空间，定义 $$B(f,g)=f(0)g(0)+f(1)g(1).$$ 说明 $B$ 是双线性函数，并求其在基 $1,x$ 下的矩阵。

  7. 写出 $\mathbb{R}^2$ 上反对称双线性函数 $$B(x,y)=x_1y_2-x_2y_1$$ 的矩阵。

  8. 设 $T(x,y)=(x+y,2y)$。在标准内积下，求 $T$ 的伴随变换的矩阵。

  9. 证明：有限维线性空间 $V$ 与其对偶空间 $V^*$ 同构。

  10. 证明：$\dim U^0=\dim V-\dim U$。

  11. 验证 $$B(f,g)=\int_0^1f(x)g(x),\mathrm dx$$ 是 $P_n $ 上的内积。

  12. 验证标准辛形式 $$\omega((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_2-x_2y_1$$ 是非退化反对称双线性函数。

检测题

  1. 求基 $(2,0),(0,3)$ 的对偶基。

  2. 求平面 $x+y+z=0$ 在 $(\mathbb{R}^3)^*$ 中的零化子。

  3. 求双线性函数 $$B((x_1,x_2),(y_1,y_2))=2x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2$$ 的矩阵。

  4. 判断第 3 题中的双线性函数是否非退化。

  5. 证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为 $0$。

  6. 设 $T(x,y)=(2x+y,x-y)$。在标准内积下，求 $T$ 的伴随变换的矩阵。

  7. 证明：若 $\dim V=n$，则 $\dim V^*=n$。

  8. 证明零化子的维数公式。

  9. 设 $W$ 是欧几里得空间 $V$ 的子空间。说明 $W^\perp$ 与 $W^0$ 在里斯同构下的关系。

  10. 证明标准辛形式 $\omega$ 非退化且反对称。

参考答案与提示

  1. 标准基的对偶基为 $$f_1(x,y)=x,\qquad f_2(x,y)=y.$$
  2. 设 $f_1(x,y)=ax+by$。由 $f_1(1,1)=1$，$f_1(1,-1)=0$，得 $$a+b=1,\qquad a-b=0,$$ 故 $a=b=\dfrac12$。类似地， $$f_2(x,y)=\frac{x-y}2.$$
  3. 设 $f(x,y)=ax+by$。由 $f(1,0)=a=0$，故零化子为 $${f(x,y)=by\mid b\in\mathbb{R}}.$$
  4. $$A=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix}.$$
  5. $|A|=2\ne0$，故非退化。
  6. $B$ 对 $f,g$ 分别线性，且 $B(f,g)=B(g,f)$。在基 $1,x$ 下： $$B(1,1)=1+1=2,\qquad B(1,x)=0+1=1,\qquad B(x,x)=0+1=1,$$ 故矩阵为 $$\begin{pmatrix}2&1\1&1\end{pmatrix}.$$
  7. 矩阵为 $$\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}.$$
  8. $T$ 的矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&2\end{pmatrix},$$ 在标准内积下伴随变换的矩阵为 $A^{\mathrm T}$： $$A^{\mathrm T}=\begin{pmatrix}1&0\1&2\end{pmatrix}.$$
  9. 取 $V$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$，其对偶基 $f_1,\dots,f_n$ 是 $V^$ 的基，故 $\dim V^=n=\dim V$，从而同构。
  10. 取 $U$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_k$，扩充为 $V$ 的基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$。设 $f=\sum c_if_i$，其中 $f_i$ 为对偶基。$f\in U^0$ 当且仅当 $f(\alpha_j)=0$（$j=1,\dots,k$），即 $c_j=0$。故 $U^0$ 由 $f_{k+1},\dots,f_n$ 张成，维数为 $n-k$。
  11. 线性性和对称性显然。正定性：若 $B(f,f)=0$，则 $$\int_0^1f^2(x),\mathrm dx=0.$$ 由于 $f^2$ 连续非负，故 $f\equiv0$。因此 $B$ 是内积。
  12. 双线性性和反对称性直接验证。矩阵为 $$\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix},$$ 行列式为 $1\ne0$，故非退化。

检测题参考答案

  1. 对偶基为 $$f_1(x,y)=\frac x2,\qquad f_2(x,y)=\frac y3.$$
  2. 零化子为 $$\operatorname{span}{f(x,y,z)=x+y+z}.$$
  3. 矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}2&-1\-1&3\end{pmatrix}.$$
  4. $|A|=6-1=5\ne0$，故非退化。
  5. 设 $A$ 为奇数阶反对称矩阵，则 $A^{\mathrm T}=-A$，故 $$|A|=|A^{\mathrm T}|=|-A|=(-1)^n|A|=-|A|,$$ 从而 $|A|=0$。
  6. $T$ 的矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}2&1\1&-1\end{pmatrix},$$ 它是对称矩阵，故 $T$ 自伴，伴随变换矩阵为 $A$ 本身。
  7. 取 $V$ 的基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$，对偶基 $f_1,\dots,f_n$ 线性无关且张成 $V^$，故 $\dim V^=n$。
  8. 同练习第 10 题。
  9. 在标准内积下，里斯同构 $\flat:V\to V^*$ 把 $\alpha$ 映为 $f_\alpha(\beta)=\langle\alpha,\beta\rangle$。则 $$\flat(W^\perp)=W^0.$$
  10. 双线性性和反对称性直接验证。其矩阵为 $$\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix},$$ 行列式为 $1\ne0$，故非退化。