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附录-公式定理速查
附录 公式定理速查
一、多项式
- 带余除法：
$$f=qg+r,\qquad \deg r<\deg g.$$
- 最大公因式：辗转相除法；裴蜀等式
$$uf+vg=\gcd(f,g).$$
- 互素：$\gcd(f,g)=1$ 当且仅当存在 $u,v$，使 $uf+vg=1$。
- 若 $\gcd(f,g)=1$ 且 $f\mid gh$，则 $f\mid h$。
- 不可约因式分解：
$$f=cp_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}.$$
- 重因式：$f$ 无重因式当且仅当 $\gcd(f,f')=1$。
- 余数定理：$f(x)$ 除以 $x-a$ 的余式为 $f(a)$。
- 因式定理：$(x-a)\mid f(x)\iff f(a)=0$。
- $a$ 是 $k$ 重根：
$$f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0,\qquad f^{(k)}(a)\ne0.$$
- 韦达定理：
$$\sum x_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\qquad
\sum_{i<j}x_ix_j=\frac{a_{n-2}}{a_n},\qquad
x_1\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}.$$
- 代数基本定理：$n$ 次复系数多项式在 $\mathbb{C}$ 中恰有 $n$ 个根（计重数）。
- 有理根定理：有理根 $\dfrac pq$ 满足 $p\mid a_0$，$q\mid a_n$。
- 艾森斯坦判别法：存在素数 $p$，$p\nmid a_n$，$p\mid a_i$（$i<n$），$p^2\nmid a_0$，则不可约。
二、行列式
- 二阶：
$$\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.$$
- 三角行列式：
$$\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\
0&\ddots&\vdots\
0&0&a_{nn}
\end{vmatrix}=a_{11}\cdots a_{nn}.$$
- 转置不变：$|A^{\mathrm T}|=|A|$。
- 交换两行（列）变号；两行（列）相同或成比例时行列式为 $0$。
- 倍加变换不改变行列式。
- 数乘一行（列）提取因子；$|kA|=k^n|A|$。
- 按行（列）展开：
$$|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij},\qquad
A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$$
- 伴随矩阵：
$$AA^*=A^A=|A|I,\qquad A^{-1}=\frac1{|A|}A^.$$
- 乘积：
$$|AB|=|A|,|B|,\qquad |A^{-1}|=\frac1{|A|}.$$
- 范德蒙德行列式：
$$\begin{vmatrix}
1&1&\cdots&1\
x_1&x_2&\cdots&x_n\
\vdots&\vdots&&\vdots\
x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$
- 分块三角：
$$\begin{vmatrix}A&C\O&B\end{vmatrix}=|A|,|B|.$$
- 克拉默法则：$|A|\ne0$ 时，
$$x_j=\frac{D_j}{|A|}.$$
三、线性方程组与秩
- $Ax=b$ 有解 $\iff r(A)=r(A\mid b)$。
- 唯一解 $\iff r(A)=r(A\mid b)=n$。
- 无穷多解 $\iff r(A)=r(A\mid b)<n$。
- 齐次方程组 $Ax=0$：
- 只有零解 $\iff r(A)=n$；
- 有非零解 $\iff r(A)<n$。
- 解空间维数：
$$\dim N(A)=n-r(A).$$
- 通解：
$$x=\eta_0+c_1\eta_1+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r}.$$
- 秩的性质：
$$r(A^{\mathrm T})=r(A),\qquad r(AB)\le\min{r(A),r(B)},$$
$$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n,\qquad r(A+B)\le r(A)+r(B).$$
- $A$ 为 $n$ 阶方阵：$r(A)=n\iff|A|\ne0$。
四、矩阵
- 转置：
$$(AB)^{\mathrm T}=B^{\mathrm T}A^{\mathrm T}.$$
- 逆：
$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\qquad (A^{\mathrm T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm T}.$$
- 迹：
$$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\qquad
\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B.$$
- 二阶逆：
$$\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}^{-1}
=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}.$$
- 分块对角：
$$\operatorname{diag}(A_1,\dots,A_s)^{-1}
=\operatorname{diag}(A_1^{-1},\dots,A_s^{-1}).$$
- 分块上三角逆：
$$\begin{pmatrix}A&C\O&B\end{pmatrix}^{-1}
=\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\O&B^{-1}\end{pmatrix}.$$
- 舒尔补：
$$\begin{vmatrix}A&B\C&D\end{vmatrix}=|A|,|D-CA^{-1}B|.$$
- 二项式展开（$AB=BA$）：
$$(A+B)^n=\sum_{k=0}^n\mathrm C_n^kA^kB^{n-k}.$$
五、二次型
- 矩阵表示：
$$f(x)=x^{\mathrm T}Ax,\qquad A=A^{\mathrm T}.$$
- 合同：
$$B=C^{\mathrm T}AC.$$
- 标准形：
$$f=d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2.$$
- 规范形：
$$f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2.$$
- 惯性定理：正惯性指数 $p$、负惯性指数 $q$ 由二次型唯一确定。
- 正定：
- 全部特征值 $>0$；
- 全部顺序主子式 $>0$；
- 合同于 $I_n$；
- 存在可逆 $C$，$A=C^{\mathrm T}C$。
- 半正定：全部特征值 $\ge0$；全部主子式 $\ge0$。
- 负定：$-A$ 正定。
- 瑞利商：
$$\lambda_{\min}\le\frac{x^{\mathrm T}Ax}{x^{\mathrm T}x}\le\lambda_{\max}.$$
六、线性空间
- 维数公式：
$$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).$$
- 直和：
$$U\oplus W\iff U\cap W={\mathbf0}
\iff\dim(U+W)=\dim U+\dim W.$$
- 坐标变换：
$$x_{\alpha}=Px_{\beta},\qquad
(\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)P.$$
- 同构：有限维线性空间同构当且仅当维数相同。
- 秩-零化度：
$$\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim V.$$
七、线性变换
- 矩阵表示：
$$T(\alpha_j)=\sum_{i=1}^na_{ij}\alpha_i.$$
- 坐标作用：
$$[T(\alpha)]=A[\alpha].$$
- 基变换：
$$B=P^{-1}AP.$$
- 复合：
$$[T\circ S]=AB.$$
- 可逆：
$$T\text{ 可逆}\iff A\text{ 可逆}\iff\ker T={\mathbf0}.$$
- 不变子空间：$T(W)\subseteq W$。
- 一维不变子空间与特征向量：
$$T(\alpha)=\lambda\alpha.$$
- 分块对角与不变子空间直和对应。
八、特征值与对角化
- 特征方程：
$$|\lambda I-A|=0.$$
- 特征多项式：
$$f_A(\lambda)=\lambda^n-(\operatorname{tr}A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|.$$
- 特征值之和：
$$\sum\lambda_i=\operatorname{tr}A.$$
- 特征值之积：
$$\prod\lambda_i=|A|.$$
- 几何重数：
$$\dim E_\lambda=n-r(\lambda I-A).$$
- 几何重数 $\le$ 代数重数。
- 可对角化：
$$\sum_\lambda\dim E_\lambda=n.$$
- 特征值互异 $\Rightarrow$ 可对角化。
- 哈密顿-凯莱：
$$f_A(A)=O.$$
- 实对称矩阵：
$$Q^{\mathrm T}AQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),\qquad Q^{\mathrm T}Q=I.$$
- 相似不变量：特征多项式、特征值、迹、行列式、秩、最小多项式。
- 最小多项式与对角化：
$$A\text{ 可对角化}\iff m_A\text{ 无重根}.$$
九、欧几里得空间
- 内积：
$$\langle x,y\rangle=\sum x_iy_i.$$
- 范数：
$$|\alpha|=\sqrt{\langle\alpha,\alpha\rangle}.$$
- 柯西-施瓦茨：
$$|\langle\alpha,\beta\rangle|\le|\alpha|,|\beta|.$$
- 三角不等式：
$$|\alpha+\beta|\le|\alpha|+|\beta|.$$
- 勾股定理：
$$\alpha\perp\beta\Rightarrow|\alpha+\beta|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2.$$
- 格拉姆-施密特：
$$\beta_k=\alpha_k-\sum_{j=1}^{k-1}
\frac{\langle\alpha_k,\beta_j\rangle}{\langle\beta_j,\beta_j\rangle}\beta_j.$$
- 正交补：
$$V=W\oplus W^\perp,\qquad\dim W^\perp=\dim V-\dim W.$$
- 正交投影：
$$\alpha_W=\sum_{i=1}^k\langle\alpha,e_i\rangle e_i.$$
- 正交矩阵：
$$A^{\mathrm T}A=AA^{\mathrm T}=I,\qquad |A|=\pm1.$$
- 最小二乘：
$$A^{\mathrm T}Ax=A^{\mathrm T}b,\qquad
x=(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}b.$$
十、双线性函数与对偶空间
- 对偶空间：
$$\dim V^*=\dim V.$$
- 对偶基：
$$f_i(\alpha_j)=\delta_{ij}.$$
- 零化子：
$$\dim U^0=\dim V-\dim U.$$
- 双线性函数的矩阵：
$$B(\alpha,\beta)=x^{\mathrm T}Ay.$$
- 基变换：
$$A'=P^{\mathrm T}AP.$$
- 非退化：
$$|A|\ne0.$$
- 对称双线性函数：
$$B(\alpha,\beta)=B(\beta,\alpha).$$
- 反对称双线性函数：
$$B(\alpha,\beta)=-B(\beta,\alpha).$$
- 伴随变换：
$$\langle T\alpha,\beta\rangle=\langle\alpha,T^*\beta\rangle.$$
- 标准内积下：
$$[T^*]=[T]^{\mathrm T}.$$
十一、λ-矩阵与若尔当标准形
- 史密斯标准形：
$$\operatorname{diag}(d_1(\lambda),\dots,d_r(\lambda),0,\dots,0),$$
$$d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_r.$$
- 不变因子与行列式因子：
$$d_k=\frac{D_k}{D_{k-1}}.$$
- 特征多项式：
$$f_A(\lambda)=d_1(\lambda)\cdots d_n(\lambda).$$
- 最小多项式：
$$m_A(\lambda)=d_n(\lambda).$$
- 若尔当块：
$$J_k(\lambda_0)=\lambda_0I_k+N_k,\qquad N_k^k=O.$$
- 若尔当标准形：
$$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1),\dots,J_{k_s}(\lambda_s)).$$
- 若尔当块个数：
$$#{\text{块}}=\dim\ker(A-\lambda_0I).$$
- 最大块阶数：
$$\text{最小多项式中 }(\lambda-\lambda_0)\text{ 的重数}.$$
- 对角化：
$$A\text{ 可对角化}\iff\text{所有若尔当块为一阶}.$$
十二、最小多项式与分解
- 最小多项式：
$$m_A\mid f_A,\qquad m_A(A)=O.$$
- 与特征多项式同根（不计重数）。
- 若尔当分解：
$$A=D+N,\qquad DN=ND,\qquad N\text{ 幂零},\qquad D\text{ 可对角化}.$$
- 根子空间分解：
$$V=\bigoplus_i\ker(A-\lambda_iI)^{e_i}.$$
- 矩阵指数：
$$\mathrm e^A=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}.$$
- 若尔当块的指数：
$$\mathrm e^{J_k(\lambda_0)t}
=\mathrm e^{\lambda_0t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^j}{j!}N^j.$$
- 微分方程组：
$$x'=Ax\Rightarrow x(t)=\mathrm e^{At}x_0.$$
- 矩阵函数：
$$f(J_k(\lambda_0))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{f^{(j)}(\lambda_0)}{j!}N^j.$$