第 5 章 二次型
本章整理二次型及其矩阵表示、合同变换、配方法、正交变换法、惯性定理以及正定性的判别。二次型是线性代数与解析几何、优化理论之间的重要桥梁。
5.1 二次型及其矩阵
5.1.1 定义
设 $x_1,\dots,x_n$ 是变量，形如 $$f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$ 的二次齐次多项式称为二次型，其中 $a_{ij}=a_{ji}$。
- 二次型可以写成矩阵形式： $$f(x)=x^{\mathrm T}Ax,$$ 其中 $x=(x_1,\dots,x_n)^{\mathrm T}$，$A=(a_{ij})$ 为对称矩阵。
- $A$ 称为二次型的矩阵，$r(A)$ 称为二次型的秩。
- 二次型与对称矩阵一一对应。
5.1.2 标准形与规范形
- 只含平方项的二次型 $$f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2$$ 称为标准形。
- 若标准形中的系数只取 $1,-1,0$，则称为规范形。
- 化二次型为标准形，就是寻找可逆线性变换 $x=Cy$，使 $$f(x)=y^{\mathrm T}(C^{\mathrm T}AC)y$$ 为对角形。
5.2 合同变换
5.2.1 定义
设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵。若存在可逆矩阵 $C$，使 $$B=C^{\mathrm T}AC,$$ 则称 $A$ 与 $B$ 合同。
- 合同关系具有自反性、对称性、传递性。
- 合同的矩阵有相同的秩。
- 二次型在可逆线性变换下，其矩阵作合同变换。
- 实对称矩阵合同于对角矩阵。
5.2.2 合同与相似的区别
- 相似：$B=P^{-1}AP$，描述同一线性变换在不同基下的矩阵。
- 合同：$B=C^{\mathrm T}AC$，描述同一二次型在不同坐标下的矩阵。
- 相似不一定是合同，合同不一定是相似；实对称矩阵的正交相似同时也是合同。
5.3 化二次型为标准形
5.3.1 配方法（拉格朗日法）
- 若二次型中含有某个变量的平方项，例如 $a_{11}\ne0$：
- 把含 $x_1$ 的项集中，配方；
- 令新变量为配方后的线性式；
- 对其余变量重复上述步骤。
- 若二次型中没有平方项，但有交叉项，例如 $x_1x_2$： 作变换 $$x_1=y_1+y_2,\qquad x_2=y_1-y_2,$$ 则 $$x_1x_2=y_1^2-y_2^2.$$
- 配方法适用于任意数域，计算量较小。
5.3.2 正交变换法
- 对实对称矩阵 $A$，存在正交矩阵 $Q$，使 $$Q^{\mathrm T}AQ=Q^{-1}AQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),$$ 其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
- 令 $x=Qy$，则 $$f=x^{\mathrm T}Ax=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.$$
- 正交变换保持向量的长度和夹角，因此标准形的系数就是特征值。
- 正交变换法需要求特征值和特征向量，计算量较大，但标准形具有明确的几何意义。
5.3.3 初等变换法
- 对矩阵 $A$ 同时作初等行变换和相应的初等列变换（合同变换），可将 $A$ 化为对角形。
- 具体操作：对 $(A\mid I)$ 作行变换，同时对 $A$ 作相应的列变换，最终得到 $(D\mid C^{\mathrm T})$，其中 $D=C^{\mathrm T}AC$。
- 该方法适合手工计算，但需要保持行、列变换的对应关系。
5.4 惯性定理
设实二次型 $f$ 经可逆线性变换化为标准形 $$f=d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2,$$ 其中非零系数的个数、正系数的个数、负系数的个数都不依赖于所选的变换。
- 正惯性指数 $p$：正系数的个数。
- 负惯性指数 $q$：负系数的个数。
- 符号差（符号差）：$p-q$。
- 秩：$r=p+q$。
- 规范形： $$f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2.$$
- 两个实对称矩阵合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数。
5.5 正定性
5.5.1 定义
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$f(x)=x^{\mathrm T}Ax$。
- 若对任意 $x\ne0$，都有 $f(x)>0$，则称 $A$（或 $f$）正定。
- 若对任意 $x$，都有 $f(x)\ge0$，且存在 $x\ne0$ 使 $f(x)=0$，则称半正定。
- 若对任意 $x\ne0$，都有 $f(x)<0$，则称负定。
- 若对任意 $x$，都有 $f(x)\le0$，且存在 $x\ne0$ 使 $f(x)=0$，则称半负定。
- 若既存在 $x$ 使 $f(x)>0$，又存在 $x$ 使 $f(x)<0$，则称不定。
5.5.2 正定的判别法
特征值判别法：实对称矩阵 $A$ 正定当且仅当 $A$ 的全部特征值都大于 $0$。
顺序主子式判别法（西尔维斯特判别法）：实对称矩阵 $A$ 正定当且仅当 $A$ 的所有顺序主子式都大于 $0$： $$\Delta_1>0,\quad \Delta_2>0,\quad\dots,\quad\Delta_n>0.$$
合同判别法：$A$ 正定当且仅当 $A$ 合同于单位矩阵 $I_n$。
- 正定矩阵的行列式大于 $0$。
- 正定矩阵的主对角线元素都大于 $0$。
- 正定矩阵的任意主子式都大于 $0$。
- 若 $A$ 正定，则 $A^{-1}$ 也正定。
- 若 $A$ 正定，$C$ 为可逆矩阵，则 $C^{\mathrm T}AC$ 正定。
- 若 $A$ 正定，则存在可逆矩阵 $C$，使 $A=C^{\mathrm T}C$（乔列斯基分解的变体）。
5.5.3 半正定与负定
- $A$ 半正定当且仅当 $A$ 的全部特征值非负。
- $A$ 半正定当且仅当 $A$ 的所有主子式都非负（注意：不能只检查顺序主子式）。
- $A$ 负定当且仅当 $-A$ 正定，即全部特征值为负，或奇数阶顺序主子式为负、偶数阶顺序主子式为正。
- $A$ 不定当且仅当 $A$ 既有正特征值又有负特征值。
5.5.4 正定性的应用
- 多元函数极值的二阶判别：海森矩阵正定 ⇒ 极小值；负定 ⇒ 极大值；不定 ⇒ 鞍点。
- 最小二乘与协方差矩阵。
- 二次曲面的分类。
- 瑞利商： $$R(x)=\frac{x^{\mathrm T}Ax}{x^{\mathrm T}x},$$ 其最大值和最小值分别为 $A$ 的最大和最小特征值。
5.6 二次曲面与二次型
- 二次曲线 $$ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ 的二次项部分对应二次型。通过正交变换消去交叉项后，可判断曲线的类型。
- 二次曲面同理，可通过正交变换化为标准形，再按特征值的符号分类。
- 正惯性指数、负惯性指数和零特征值个数决定了二次曲面的类型。
5.7 化标准形的步骤
- 写出二次型的对称矩阵 $A$。
- 选择方法：
- 需要保持长度和夹角：用正交变换法；
- 只需标准形：用配方法或初等变换法。
- 用配方法时，按变量顺序逐次配方；没有平方项时先作变换产生平方项。
- 写出可逆线性变换 $x=Cy$。
- 验证 $C^{\mathrm T}AC$ 为对角形。
- 根据系数符号写出正、负惯性指数和规范形。
练习
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写出二次型 $f(x,y)=x^2+2xy+3y^2$ 的矩阵。
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写出二次型 $$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3$$ 的矩阵。
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用配方法化 $f(x,y)=x^2+4xy+5y^2$ 为标准形。
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用配方法化 $f(x,y)=x^2+2xy+y^2$ 为标准形，并求秩和正惯性指数。
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判断矩阵 $$\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$$ 是否正定。
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求 $a$ 的取值范围，使 $$\begin{pmatrix}1&a\a&1\end{pmatrix}$$ 正定。
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求矩阵 $$\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$$ 的特征值，并判断其正定性。
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用可逆线性变换化 $f(x_1,x_2)=2x_1x_2$ 为标准形。
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求二次型 $$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2-x_3^2$$ 的秩、正惯性指数、负惯性指数和符号差。
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证明：正定矩阵的主对角线元素都大于 $0$。
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设 $A$ 正定。证明 $A^{-1}$ 正定。
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求 $a,b$ 满足的条件，使 $f(x,y)=x^2+2axy+by^2$ 正定。
检测题
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写出二次型 $f(x,y)=2x^2-4xy+3y^2$ 的矩阵。
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用配方法化 $f(x,y)=x^2+2xy+2y^2$ 为标准形，并判断正定性。
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求 $t$ 的取值范围，使 $$\begin{pmatrix}1&t\t&4\end{pmatrix}$$ 正定。
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判断矩阵 $$\begin{pmatrix}-1&0\0&-2\end{pmatrix}$$ 的正定性。
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判断矩阵 $$\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix}$$ 的正定性。
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求二次型 $$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$$ 的秩和正惯性指数。
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证明：若 $A$ 正定，则 $A$ 的所有主子式都大于 $0$。
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判断二次型 $f(x,y)=x^2+y^2$ 是否正定，并写出其标准形。
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证明：正定矩阵的行列式大于 $0$。
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证明：$A$ 正定当且仅当存在可逆矩阵 $C$，使 $A=C^{\mathrm T}C$。
参考答案与提示
- 二次型矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}1&1\1&3\end{pmatrix}.$$
- 对称矩阵为 $$A=\begin{pmatrix} 1&2&3\ 2&2&0\ 3&0&3 \end{pmatrix}.$$
- 配方： $$f=x^2+4xy+5y^2=(x+2y)^2+y^2.$$ 令 $u=x+2y$，$v=y$，则 $f=u^2+v^2$，正定。
- $$f=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2.$$ 令 $u=x+y$，$v=y$，则 $f=u^2$。秩为 $1$，正惯性指数为 $1$，半正定。
- 顺序主子式： $$\Delta_1=2>0,\qquad \Delta_2=\begin{vmatrix}2&1\1&2\end{vmatrix}=3>0,$$ 故正定。
- 顺序主子式： $$\Delta_1=1>0,\qquad \Delta_2=1-a^2>0,$$ 故 $|a|<1$。
- 特征多项式： $$|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&-1\-1&\lambda-2\end{vmatrix} =(\lambda-2)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3).$$ 特征值为 $3,1$，都大于 $0$，故正定。
- 令 $$x_1=y_1+y_2,\qquad x_2=y_1-y_2,$$ 则 $$2x_1x_2=2(y_1+y_2)(y_1-y_2)=2y_1^2-2y_2^2.$$ 标准形为 $2y_1^2-2y_2^2$。
- 已是标准形。秩为 $3$，正惯性指数为 $2$，负惯性指数为 $1$，符号差为 $1$。
- 设 $A$ 正定，$e_i$ 为第 $i$ 个标准单位向量，则 $$a_{ii}=e_i^{\mathrm T}Ae_i>0.$$
- $A$ 正定，其特征值 $\lambda_i>0$。$A^{-1}$ 的特征值为 $1/\lambda_i>0$，故 $A^{-1}$ 正定。
- 顺序主子式： $$\Delta_1=1>0,\qquad \Delta_2=b-a^2>0.$$ 故 $b>a^2$。
检测题参考答案
- 矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}2&-2\-2&3\end{pmatrix}.$$
- 配方： $$f=(x+y)^2+y^2.$$ 令 $u=x+y$，$v=y$，则 $f=u^2+v^2$，正定。
- 顺序主子式： $$\Delta_1=1>0,\qquad \Delta_2=4-t^2>0,$$ 故 $|t|<2$。
- 特征值为 $-1,-2$，都小于 $0$，故负定。
- 特征多项式： $$|\lambda I-A|=(\lambda-1)^2-4=(\lambda-3)(\lambda+1),$$ 特征值为 $3,-1$，一正一负，故不定。
- 矩阵为 $I+J$，其中 $J$ 为全 $1$ 矩阵。$J$ 的特征值为 $3,0,0$，故 $A$ 的特征值为 $4,1,1$。秩为 $3$，正惯性指数为 $3$，正定。
- 设 $A$ 正定，任取主子式对应的坐标子空间，$A$ 在该子空间上的限制仍正定，故该主子式大于 $0$。
- $f=x^2+y^2$ 正定，标准形就是 $x^2+y^2$。
- 正定矩阵的特征值都大于 $0$，故 $$|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n>0.$$
- 若 $A=C^{\mathrm T}C$ 且 $C$ 可逆，则对 $x\ne0$，$Cx\ne0$，故 $$x^{\mathrm T}Ax=(Cx)^{\mathrm T}(Cx)>0,$$ 所以 $A$ 正定。反之，若 $A$ 正定，由正交对角化 $A=Q\Lambda Q^{\mathrm T}$，其中 $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，$\lambda_i>0$。令 $$C=\Lambda^{1/2}Q^{\mathrm T},$$ 其中 $\Lambda^{1/2}=\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n})$，则 $C$ 可逆，且 $$C^{\mathrm T}C=Q\Lambda Q^{\mathrm T}=A.$$