第 2 章 行列式

本章整理排列与逆序数、$n$ 阶行列式的定义、行列式的性质、按行（列）展开、代数余子式、特殊行列式、分块行列式以及克拉默法则。行列式是判断方阵可逆性和解线性方程组的重要工具。

2.1 排列与逆序数

2.1.1 排列

  • 由 $1,2,\dots,n$ 组成的一个有序数组称为一个 $n$ 元排列，记作 $j_1j_2\cdots j_n$。
  • $n$ 元排列共有 $n!$ 个。

2.1.2 逆序数与奇偶性

在一个排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 中，若 $s<t$ 但 $j_s>j_t$，则称 $j_s$ 与 $j_t$ 构成一个逆序。排列中逆序的总数称为逆序数，记作 $\tau(j_1j_2\cdots j_n)$。

  • 逆序数为偶数的排列称为偶排列，为奇数的排列称为奇排列。
  • 对换排列中任意两个元素，排列的奇偶性改变。
  • 排列 $12\cdots n$ 的逆序数为 $0$，是偶排列。

2.1.3 排列的符号

$$\operatorname{sgn}(j_1j_2\cdots j_n)=(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} =\begin{cases}1,&\text{偶排列},\-1,&\text{奇排列}.\end{cases}$$

2.2 $n$ 阶行列式的定义

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵，定义 $$\det A=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots&&\vdots\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} =\sum_{j_1j_2\cdots j_n}\operatorname{sgn}(j_1j_2\cdots j_n) a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n},$$ 其中求和遍历所有 $n$ 元排列 $j_1j_2\cdots j_n$。

  • 行列式是一个数，不是矩阵。

行列式的几何意义

  • $n$ 阶行列式共有 $n!$ 项，每项是取自不同行、不同列的 $n$ 个元素之积，并带符号。
  • 二阶行列式： $$\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.$$
  • 三阶行列式： $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.$$
  • 行列式也记作 $|A|$。

2.3 行列式的性质

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。

2.3.1 转置不变

$$|A^{\mathrm T}|=|A|.$$

  • 因此，行列式对行成立的性质对列也成立。

2.3.2 交换两行（列）

  • 交换 $A$ 的任意两行（列），行列式变号。
  • 若两行（列）相同，则行列式为 $0$。

2.3.3 数乘一行（列）

  • 某一行（列）的所有元素乘以 $k$，行列式乘以 $k$： $$|kA|=k^n|A|.$$
  • 某一行（列）有公因子时，可以提到行列式外面。

2.3.4 行的线性性

  • 若某一行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和。
  • 若两行（列）成比例，则行列式为 $0$。
  • 若某行（列）全为 $0$，则行列式为 $0$。

2.3.5 倍加变换

  • 把某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式不变。
  • 这是计算行列式最常用的变换。

2.3.6 乘积的行列式

对同阶方阵 $A,B$， $$|AB|=|A|,|B|.$$

  • 推论： $$|A^k|=|A|^k,\qquad |A^{-1}|=\frac1{|A|}\quad(|A|\ne0).$$
  • 注意：$|A+B|\ne|A|+|B|$（一般情形）。

2.4 按行（列）展开

2.4.1 余子式与代数余子式

  • 划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。
  • 代数余子式： $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$$

2.4.2 展开定理

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和： $$|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}\quad(\text{按第 }i\text{ 行展开}),$$ $$|A|=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}\quad(\text{按第 }j\text{ 列展开}).$$

  • 异乘为零： $$\sum_{j=1}^na_{kj}A_{ij}=0\quad(k\ne i).$$
  • 即 $A$ 的某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为 $0$。

2.4.3 伴随矩阵

设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵，称 $$A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\ \vdots&\vdots&&\vdots\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}$$ 为 $A$ 的伴随矩阵，其中 $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。

  • 伴随矩阵满足 $$AA^*=A^*A=|A|I_n.$$
  • 若 $|A|\ne0$，则 $$A^{-1}=\frac1{|A|}A^*.$$
  • 若 $|A|=0$，则 $A^*$ 的秩不超过 $1$（当 $n\ge2$）。

2.5 特殊行列式

2.5.1 三角行列式

上三角行列式和对角行列式都等于主对角线元素之积： $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$$

  • 下三角行列式同理。

2.5.2 范德蒙德行列式

$$V_n=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\ x_1&x_2&\cdots&x_n\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\ \vdots&\vdots&&\vdots\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$

  • 当 $x_i$ 互不相同时，$V_n\ne0$。
  • 范德蒙德行列式在插值、线性无关性判断中常用。

2.5.3 分块行列式

  • 分块上三角： $$\begin{vmatrix}A&C\0&B\end{vmatrix}=|A|,|B|.$$
  • 分块下三角： $$\begin{vmatrix}A&0\C&B\end{vmatrix}=|A|,|B|.$$
  • 分块对角： $$\begin{vmatrix}A&0\0&B\end{vmatrix}=|A|,|B|.$$
  • 一般分块矩阵的行列式不能简单相乘，但可用舒尔补公式： $$\begin{vmatrix}A&B\C&D\end{vmatrix}=|A|,|D-CA^{-1}B|\quad(|A|\ne0).$$

2.5.4 常用行列式技巧

  1. 用倍加变换化为三角行列式。
  2. 按含零较多的行或列展开。
  3. 提取公因子。
  4. 制造零元素。
  5. 利用范德蒙德行列式。
  6. 递推法：把 $n$ 阶行列式表示为低阶行列式的递推关系。
  7. 加边法：增加一行一列，使结构更整齐。

2.6 克拉默法则

设线性方程组 $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\ \cdots\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}$$ 的系数行列式 $D=|A|\ne0$，则方程组有唯一解 $$x_j=\frac{D_j}{D}\quad(j=1,2,\dots,n),$$ 其中 $D_j$ 是把 $D$ 的第 $j$ 列换成常数项列后得到的行列式。

  • 克拉默法则只适用于方程个数等于未知量个数且系数行列式非零的情形。
  • 计算量大，实际求解常用消元法；克拉默法则主要用于理论推导和特殊情形。
  • 齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解当且仅当 $|A|=0$。
  • 若 $|A|\ne0$，则齐次方程组只有零解。

2.7 行列式与矩阵可逆性

  • $n$ 阶方阵 $A$ 可逆当且仅当 $|A|\ne0$。
  • 若 $|A|=0$，则 $A$ 不可逆，称为奇异矩阵；若 $|A|\ne0$，则 $A$ 非奇异。
  • 对同阶方阵 $A,B$，若 $AB=I$，则 $BA=I$，且 $B=A^{-1}$。
  • 若 $A$ 可逆，则 $|A^{-1}|=\dfrac1{|A|}$。

练习

  1. 计算二阶行列式 $$\begin{vmatrix}1&2\3&4\end{vmatrix}.$$

  2. 计算三阶行列式 $$\begin{vmatrix}2&0&1\1&3&2\0&1&1\end{vmatrix}.$$

  3. 计算范德蒙德行列式 $$\begin{vmatrix}1&1&1\1&2&3\1&4&9\end{vmatrix}.$$

  4. 计算 $$\begin{vmatrix}1&1&1\a&b&c\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}.$$

  5. 计算上三角行列式 $$\begin{vmatrix}1&2&3\0&4&5\0&0&6\end{vmatrix}.$$

  6. 计算 $$\begin{vmatrix}0&1&2\1&2&3\2&3&4\end{vmatrix}.$$

  7. 用克拉默法则解方程组 $$\begin{cases}x+y=3,\2x-y=0.\end{cases}$$

  8. 计算 $$\begin{vmatrix}1&2&3&4\0&1&2&3\0&0&1&2\0&0&0&1\end{vmatrix}.$$

  9. 计算 $$\begin{vmatrix}a&b\b&a\end{vmatrix}.$$

  10. 求 $\lambda$，使齐次线性方程组 $$\begin{cases}x+\lambda y=0,\\lambda x+y=0\end{cases}$$ 有非零解。

  11. 计算四阶行列式 $$\begin{vmatrix} 2&1&1&1\ 1&2&1&1\ 1&1&2&1\ 1&1&1&2 \end{vmatrix}.$$

  12. 设 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵。证明 $$\begin{vmatrix}A&0\0&B\end{vmatrix}=|A|,|B|.$$

检测题

  1. 计算 $$\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}.$$

  2. 计算 $$\begin{vmatrix}2&1&0\1&2&1\0&1&2\end{vmatrix}.$$

  3. 计算 $$\begin{vmatrix}1&1&1\1&2&4\1&4&16\end{vmatrix}.$$

  4. 计算 $$\begin{vmatrix}1&1&1\1&-1&2\1&1&4\end{vmatrix}.$$

  5. 用克拉默法则解方程组 $$\begin{cases}x+2y=4,\3x-y=1.\end{cases}$$

  6. 求 $a$，使矩阵 $$\begin{pmatrix}a&1\1&a\end{pmatrix}$$ 奇异。

  7. 计算 $$\begin{vmatrix}1&1&0\1&0&1\0&1&1\end{vmatrix}.$$

  8. 计算三阶全 $1$ 矩阵的行列式。

  9. 计算 $$\begin{vmatrix}1&0&0\2&3&0\4&5&6\end{vmatrix}.$$

  10. 设 $A$ 可逆，证明 $$|A^{-1}|=\frac1{|A|}.$$

参考答案与提示

  1. $$\begin{vmatrix}1&2\3&4\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=-2.$$
  2. 按第一行展开： $$2\begin{vmatrix}3&2\1&1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&3\0&1\end{vmatrix} =2(3-2)+1=3.$$
  3. 范德蒙德行列式，$x_1=1,x_2=2,x_3=3$： $$(2-1)(3-1)(3-2)=2.$$
  4. 范德蒙德行列式： $$(b-a)(c-a)(c-b).$$
  5. 上三角行列式等于对角线元素之积： $$1\cdot4\cdot6=24.$$
  6. 第三行减去第二行、第二行减去第一行，均得到 $(1,1,1)$，两行相同，故行列式为 $0$。
  7. 系数行列式 $$D=\begin{vmatrix}1&1\2&-1\end{vmatrix}=-3.$$ $$D_x=\begin{vmatrix}3&1\0&-1\end{vmatrix}=-3,\qquad D_y=\begin{vmatrix}1&3\2&0\end{vmatrix}=-6.$$ 故 $x=1$，$y=2$。
  8. 上三角行列式： $$1\cdot1\cdot1\cdot1=1.$$
  9. $$\begin{vmatrix}a&b\b&a\end{vmatrix}=a^2-b^2.$$
  10. 齐次方程组有非零解当且仅当系数行列式为 $0$： $$\begin{vmatrix}1&\lambda\\lambda&1\end{vmatrix}=1-\lambda^2=0,$$ 故 $\lambda=\pm1$。
  11. 把第二、三、四行都减去第一行，再将第二、三、四列加到第一列，可化为三角行列式，结果为 $5$。
  12. 对 $|A|$ 和 $|B|$ 分别按行列式定义展开，分块对角矩阵的非零项必须分别取自 $A$ 和 $B$，故 $$\begin{vmatrix}A&0\0&B\end{vmatrix}=|A|,|B|.$$

检测题参考答案

  1. 第三行减去第二行、第二行减去第一行，均得到 $(3,3,3)$，故行列式为 $0$。
  2. 按第一行展开： $$2\begin{vmatrix}2&1\1&2\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\0&2\end{vmatrix} =2(4-1)-2=4.$$
  3. 范德蒙德行列式，$x_1=1,x_2=2,x_3=4$： $$(2-1)(4-1)(4-2)=6.$$
  4. 范德蒙德行列式，$x_1=1,x_2=-1,x_3=2$： $$(-1-1)(2-1)(2-(-1))=(-2)\cdot1\cdot3=-6.$$
  5. $$D=\begin{vmatrix}1&2\3&-1\end{vmatrix}=-7,$$ $$D_x=\begin{vmatrix}4&2\1&-1\end{vmatrix}=-6,\qquad D_y=\begin{vmatrix}1&4\3&1\end{vmatrix}=-11.$$ 故 $$x=\frac67,\qquad y=\frac{11}7.$$
  6. 矩阵奇异当且仅当行列式为 $0$： $$\begin{vmatrix}a&1\1&a\end{vmatrix}=a^2-1=0,$$ 故 $a=\pm1$。
  7. 按第一行展开： $$\begin{vmatrix}1&1&0\1&0&1\0&1&1\end{vmatrix} =1(0-1)-1(1-0)+0=-2.$$
  8. 三阶全 $1$ 矩阵的三行相同，故行列式为 $0$。
  9. 下三角行列式等于对角线元素之积： $$1\cdot3\cdot6=18.$$
  10. 由 $AA^{-1}=I$，取行列式得 $$|A|,|A^{-1}|=1,$$ 故 $$|A^{-1}|=\frac1{|A|}.$$