大学高等代数讲义（浓缩教材）

这套讲义是什么

• 按知识主题组织高等代数的内容，覆盖通常“高等代数一、二”两个学期的范围，但不按册次拆目录。
• 不包含抽象代数内容（群、环、域的一般理论，模，伽罗瓦理论等）。
• 只保留定义、定理、公式、方法和推理格式等实质内容，不含情境引入、例题、探究活动、阅读材料等教学性内容。
• 每章包含三部分：知识点、练习（巩固基本概念和常规方法）、检测题（综合性、灵活性较强，用于检验是否真正掌握）。
• 每章末尾附参考答案与提示，方便自检。
• 公式使用 LaTeX 书写，Typora 可直接渲染；插图使用 SVG，放在 assets/ 目录中。

使用说明

1. 建议按章顺序阅读。多项式与行列式是代数运算的基础，线性方程组与矩阵是核心工具，线性空间与线性变换是理论主线，二次型、欧氏空间、若尔当标准形是重要专题。
2. 先读知识点，再做“练习”；做完后对照答案。确认基本方法无误后，再独立完成“检测题”。
3. 证明题必须写清所用定理的条件。高等代数中大量结论依赖“数域”“有限维”“可逆”“正定”等条件，去掉条件后结论可能不成立。
4. 计算题要保留关键步骤，尤其是行列式变换、矩阵消元、特征值计算和若尔当标准形的推导。
5. 本讲义按高等代数的知识体系编写，不依赖某一套教材的具体编排。

目录

符号约定

• 用 $\mathbb{F}$ 表示数域，常见的有 $\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$。
• 用 $\mathbb{F} $ 表示数域 $\mathbb{F}$ 上的一元多项式环，$\deg f$ 表示多项式 $f$ 的次数。
• 用 $\gcd(f,g)$ 表示最大公因式（约定为首一多项式），$\operatorname{lcm}(f,g)$ 表示最小公倍式。
• 用 $M_{m\times n}(\mathbb{F})$ 表示数域 $\mathbb{F}$ 上的 $m\times n$ 矩阵集合，$M_n(\mathbb{F})$ 表示 $n$ 阶方阵集合。
• 用 $A^{\mathrm T}$ 表示矩阵 $A$ 的转置，$A^*$ 表示伴随矩阵，$A^{-1}$ 表示逆矩阵，$\operatorname{tr}A$ 表示迹，$\operatorname{rank}A$ 或 $r(A)$ 表示秩，$\det A$ 或 $|A|$ 表示行列式。
• 用 $I_n$ 或 $E$ 表示 $n$ 阶单位矩阵，$O$ 表示零矩阵。
• 用 $\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma$ 表示向量，$\dim V$ 表示线性空间 $V$ 的维数，$\operatorname{span}{\boldsymbol\alpha_1,\dots,\boldsymbol\alpha_m}$ 表示由这些向量张成的子空间。
• 用 $\ker T$ 表示线性变换 $T$ 的核，$\operatorname{Im}T$ 表示像，$T|_W$ 表示 $T$ 在不变子空间 $W$ 上的限制。
• 用 $\lambda$ 表示特征值，$|\lambda I-A|$ 表示特征多项式，$m_A(\lambda)$ 表示最小多项式。
• 用 $\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle$ 表示内积，$|\boldsymbol\alpha|$ 表示范数，$\boldsymbol\alpha\perp\boldsymbol\beta$ 表示正交，$W^\perp$ 表示正交补。