第 12 章 最小多项式与矩阵分解

本章整理最小多项式、零化多项式、哈密顿-凯莱定理、准素分解、根子空间、若尔当分解以及矩阵函数初步。最小多项式刻画了矩阵满足的最低次代数方程，是矩阵结构理论的收束。

12.1 零化多项式与最小多项式

12.1.1 零化多项式

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若多项式 $f(\lambda)$ 满足 $$f(A)=O,$$ 则称 $f$ 为 $A$ 的零化多项式。

  • 零多项式的零化多项式集合记作 $$\operatorname{Ann}(A)={f\in\mathbb{F}[\lambda]\mid f(A)=O}.$$
  • $\operatorname{Ann}(A)$ 是 $\mathbb{F}[\lambda]$ 的理想。
  • 由哈密顿-凯莱定理，特征多项式 $f_A(\lambda)$ 是 $A$ 的零化多项式，故 $\operatorname{Ann}(A)$ 非零。

12.1.2 最小多项式

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。$\operatorname{Ann}(A)$ 中次数最低的首一多项式称为 $A$ 的最小多项式，记作 $m_A(\lambda)$。

  • 最小多项式存在且唯一。
  • 最小多项式整除任何零化多项式，特别地 $$m_A(\lambda)\mid f_A(\lambda).$$
  • $m_A(\lambda)$ 与 $f_A(\lambda)$ 有相同的根（不计重数）。
  • $\deg m_A\le n$。
  • 若 $A$ 可对角化且特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$（互不相同），则 $$m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_s).$$
  • 若 $A$ 的最小多项式为 $m_A$，则 $m_A(A)=O$，且任何次数小于 $\deg m_A$ 的非零多项式都不能零化 $A$。

12.1.3 最小多项式的求法

  1. 求特征多项式 $f_A(\lambda)$ 并分解。
  2. 写出 $f_A$ 的所有可能的首一因式（每个不可约因式的幂次不超过其在 $f_A$ 中的重数）。
  3. 从小到大检验这些因式是否零化 $A$。
  4. 第一个使 $g(A)=O$ 的首一多项式即为 $m_A$。
  • 对低阶矩阵，也可由特征矩阵的最大不变因子直接读出 $m_A$。
  • 对若尔当标准形，$m_A$ 是各特征值对应最大若尔当块阶数的乘积： $$m_A(\lambda)=\prod_{\lambda_i}(\lambda-\lambda_i)^{k_i},$$ 其中 $k_i$ 是特征值 $\lambda_i$ 的最大若尔当块阶数。

12.2 哈密顿-凯莱定理

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$f_A(\lambda)=|\lambda I-A|$，则 $$f_A(A)=O.$$

  • 哈密顿-凯莱定理保证最小多项式的存在性。
  • 由 $m_A\mid f_A$，最小多项式的次数不超过 $n$。
  • 对二阶矩阵： $$A^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)I=O.$$
  • 应用：
    • 降低矩阵多项式的次数；
    • 求逆矩阵；
    • 证明矩阵的幂满足递推关系。

12.3 最小多项式与可对角化

$A$ 可对角化当且仅当其最小多项式是互不相同的一次因式之积： $$m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_s),$$ 其中 $\lambda_i$ 互不相同。

  • 若 $m_A$ 有重根，则 $A$ 不可对角化。
  • 该判别法对复数域上的矩阵最常用；在一般数域上要求 $m_A$ 在该数域上分解为一次因式。
  • 例：
    • $A=\operatorname{diag}(1,2,2)$，$m_A=(\lambda-1)(\lambda-2)$，无重根，可对角化。
    • $A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$，$m_A=(\lambda-1)^2$，有重根，不可对角化。

12.4 准素分解

准素分解定理：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，最小多项式分解为 $$m_A(\lambda)=p_1^{e_1}(\lambda)p_2^{e_2}(\lambda)\cdots p_s^{e_s}(\lambda),$$ 其中 $p_i$ 是互不相同的不可约多项式，则全空间分解为不变子空间的直和： $$V=\ker p_1^{e_1}(A)\oplus\cdots\oplus\ker p_s^{e_s}(A).$$

  • 每个 $\ker p_i^{e_i}(A)$ 都是 $A$ 的不变子空间。
  • 在复数域上，$p_i(\lambda)=\lambda-\lambda_i$，于是 $$V=\bigoplus_{i=1}^s\ker(A-\lambda_iI)^{e_i}.$$
  • 这些子空间称为根子空间（广义特征子空间）。
  • 每个根子空间上的限制 $A|_{\ker(A-\lambda_iI)^{e_i}}$ 只有一个特征值 $\lambda_i$，且可分解为若尔当块。
  • 准素分解是若尔当标准形存在的理论基础。

12.4.1 根子空间

  • 属于 $\lambda_i$ 的根子空间： $$G_{\lambda_i}=\ker(A-\lambda_iI)^{e_i}.$$
  • $\dim G_{\lambda_i}$ 等于 $\lambda_i$ 的代数重数。
  • 特征子空间 $E_{\lambda_i}\subseteq G_{\lambda_i}$。
  • 全空间分解： $$\mathbb{C}^n=\bigoplus_{\lambda_i}G_{\lambda_i}.$$

12.4.2 准素投影

  • 由准素分解可构造投影算子 $P_i:V\to G_{\lambda_i}$。
  • $P_i$ 是 $A$ 的多项式，且 $$P_iP_j=0\ (i\ne j),\qquad P_i^2=P_i,\qquad \sum_iP_i=I.$$
  • 这些投影给出 $A$ 的谱分解。

12.5 若尔当分解

若尔当分解定理：设 $A$ 为复矩阵，则存在唯一的分解 $$A=D+N,$$ 其中 $D$ 可对角化，$N$ 幂零，且 $$DN=ND.$$

  • $D$ 称为 $A$ 的半单部分，$N$ 称为 $A$ 的幂零部分。
  • $D$ 和 $N$ 都是 $A$ 的多项式。
  • $D$ 与 $A$ 有相同的特征值，$N$ 的特征值全为 $0$。
  • 若 $A$ 本身可对角化，则 $N=O$。
  • 若 $A$ 是若尔当块 $J_k(\lambda_0)=\lambda_0I+N$，则 $D=\lambda_0I$，$N$ 为幂零部分。
  • 若尔当分解可用于定义矩阵函数： $$f(A)=f(D)+f'(D)N+\frac{f''(D)}{2!}N^2+\cdots.$$

12.6 矩阵函数初步

12.6.1 矩阵多项式

  • 若 $f(\lambda)$ 是多项式，则 $f(A)$ 由矩阵乘法和加法定义。
  • 若 $A=PJP^{-1}$，则 $f(A)=Pf(J)P^{-1}$。
  • 对若尔当块， $$f(J_k(\lambda_0))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{f^{(j)}(\lambda_0)}{j!}N^j.$$

12.6.2 矩阵指数

  • 定义 $$\mathrm e^{A}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}.$$
  • 对若尔当块， $$\mathrm e^{J_k(\lambda_0)t} =\mathrm e^{\lambda_0t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^j}{j!}N^j.$$
  • 性质： $$\mathrm e^{A+B}=\mathrm e^A\mathrm e^B\quad(AB=BA),$$ $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\mathrm e^{At}=A\mathrm e^{At},$$ $$\det\mathrm e^A=\mathrm e^{\operatorname{tr}A}.$$
  • 线性微分方程组： $$x'=Ax,\qquad x(0)=x_0$$ 的解为 $$x(t)=\mathrm e^{At}x_0.$$

12.6.3 矩阵函数的插值定义

  • 若 $f$ 在 $A$ 的谱上（包括重数）有定义且足够光滑，则 $f(A)$ 可由埃尔米特插值多项式确定。
  • 对每个特征值 $\lambda_i$，需要知道 $$f(\lambda_i),\quad f'(\lambda_i),\quad\dots,\quad f^{(k_i-1)}(\lambda_i),$$ 其中 $k_i$ 是 $\lambda_i$ 的最大若尔当块阶数。
  • 这保证了矩阵函数的定义与若尔当标准形无关。

12.7 最小多项式的应用

  1. 判断可对角化：$m_A$ 无重根 ⇔ 可对角化。
  2. 计算矩阵的幂：由 $m_A$ 得到递推关系，降低幂次。
  3. 求逆矩阵：由 $m_A(A)=O$ 解出 $A^{-1}$ 为 $A$ 的多项式。
  4. 确定若尔当标准形：$m_A$ 给出最大若尔当块的阶数。
  5. 矩阵函数：由谱上的值和导数确定 $f(A)$。
  6. 准素分解：把空间分解为根子空间的直和。

练习

  1. 求矩阵 $$\operatorname{diag}(1,2,2)$$ 的最小多项式。

  2. 求矩阵 $$J_2(1)\oplus J_1(1)$$ 的最小多项式。

  3. 求矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$$ 的最小多项式。

  4. 求矩阵 $2I_3$ 的最小多项式。

  5. 对矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix},$$ 验证哈密顿-凯莱定理。

  6. 证明：最小多项式整除特征多项式。

  7. 判断 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$$ 是否可对角化，并用最小多项式说明。

  8. 求 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$$ 的若尔当分解。

  9. 计算 $$\mathrm e^{Jt},\qquad J=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}.$$

  10. 设 $A^2=A$。证明 $A$ 可对角化。

  11. 设 $$A=\operatorname{diag}(1,1,2).$$ 写出 $A$ 的准素分解。

  12. 证明最小多项式的唯一性。

检测题

  1. 求矩阵 $$\operatorname{diag}(1,2,3)$$ 的最小多项式。

  2. 求若尔当块 $J_3(2)$ 的最小多项式。

  3. 求矩阵 $$\begin{pmatrix}2&1\0&2\end{pmatrix}$$ 的最小多项式。

  4. 设 $A^2=I$。证明 $A$ 可对角化（在特征不等于 $2$ 的域上）。

  5. 求 $$A=\begin{pmatrix}2&1\0&2\end{pmatrix}$$ 的若尔当分解。

  6. 计算 $$\mathrm e^{At},\qquad A=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}.$$

  7. 写出 $$A=\operatorname{diag}(1,1,2)$$ 的准素分解。

  8. 证明：最小多项式整除特征多项式。

  9. 设 $A$ 幂零。证明 $A$ 的特征值全为 $0$，且最小多项式为 $\lambda^k$。

  10. 设 $$A=\operatorname{diag}(1,2,2).$$ 求 $f(A)$，其中 $f(\lambda)=\lambda^2+1$。

参考答案与提示

  1. 特征值为 $1,2$，最小多项式为 $$m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2).$$
  2. 最大若尔当块为 $J_2(1)$，故 $$m_A(\lambda)=(\lambda-1)^2.$$
  3. 特征多项式为 $(\lambda-1)^2$，且 $A-I\ne O$，故 $$m_A(\lambda)=(\lambda-1)^2.$$
  4. $2I_3$ 的特征值只有 $2$，且 $2I_3-2I=O$，故 $$m_A(\lambda)=\lambda-2.$$
  5. 特征多项式为 $$|\lambda I-A|=\lambda^2-5\lambda-2.$$ 直接计算得 $$A^2-5A-2I=O,$$ 故哈密顿-凯莱定理成立。
  6. 由哈密顿-凯莱定理，$f_A(A)=O$，故 $f_A$ 是零化多项式。最小多项式整除任何零化多项式，故 $$m_A\mid f_A.$$
  7. 最小多项式为 $(\lambda-1)^2$，有重根，故不可对角化。
  8. 写 $$A=I+N,\qquad N=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}.$$ 则 $I$ 可对角化，$N$ 幂零，且 $IN=NI$，故若尔当分解为 $$D=I,\qquad N=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}.$$
  9. $J^2=O$，故 $$\mathrm e^{Jt}=I+Jt=\begin{pmatrix}1&t\0&1\end{pmatrix}.$$
  10. 由 $A^2=A$，得 $A^2-A=O$，故最小多项式整除 $\lambda(\lambda-1)$。由于 $\lambda(\lambda-1)$ 无重根，$A$ 可对角化。
  11. 最小多项式为 $(\lambda-1)(\lambda-2)$，故 $$V=\ker(A-I)\oplus\ker(A-2I).$$
  12. 设 $m_1,m_2$ 都是最小多项式。由最小性，$\deg m_1=\deg m_2$，且 $m_1\mid m_2$、$m_2\mid m_1$。由于两者都是首一多项式，故 $m_1=m_2$。

检测题参考答案

  1. 特征值 $1,2,3$ 互不相同，故 $$m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3).$$
  2. $J_3(2)$ 的最小多项式为 $$(\lambda-2)^3.$$
  3. 特征多项式为 $(\lambda-2)^2$，且 $A-2I\ne O$，故 $$m_A(\lambda)=(\lambda-2)^2.$$
  4. 由 $A^2=I$，得 $A^2-I=O$，故最小多项式整除 $\lambda^2-1=(\lambda-1)(\lambda+1)$。在特征不等于 $2$ 的域上，$\lambda-1$ 与 $\lambda+1$ 互素，故最小多项式无重根，$A$ 可对角化。
  5. 写 $$A=2I+N,\qquad N=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}.$$ 则 $$D=2I,\qquad N=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}.$$
  6. $A^2=O$，故 $$\mathrm e^{At}=I+At=\begin{pmatrix}1&t\0&1\end{pmatrix}.$$
  7. 最小多项式为 $(\lambda-1)(\lambda-2)$，故 $$V=\ker(A-I)\oplus\ker(A-2I).$$
  8. 同练习第 6 题。
  9. 设 $A^k=O$。若 $\lambda$ 是特征值，则 $\lambda^k=0$，故 $\lambda=0$。最小多项式整除 $\lambda^k$，故形如 $\lambda^m$。
  10. $$f(A)=A^2+I=\operatorname{diag}(2,5,5).$$