第 3 章线性方程组与矩阵的秩

本章整理高斯消元法、矩阵的秩、齐次线性方程组解空间、基础解系、非齐次线性方程组解的结构以及有解判别。线性方程组是高等代数最核心的计算与理论问题之一。

3.1 消元法

3.1.1 线性方程组

一般的 $m$ 个方程、$n$ 个未知量的线性方程组为 $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\ \cdots\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m. \end{cases}$$

矩阵形式： $$Ax=b,$$ 其中 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，$x=(x_1,\dots,x_n)^{\mathrm T}$，$b=(b_1,\dots,b_m)^{\mathrm T}$。
增广矩阵： $$\overline A=(A\mid b).$$

3.1.2 初等行变换

交换两行。
用非零常数乘某一行。
把某一行的 $k$ 倍加到另一行。
初等行变换不改变线性方程组的解集。
对增广矩阵作初等行变换，把方程组化为阶梯形或行简化阶梯形，是解方程组的基本方法。

3.1.3 行阶梯形与行简化阶梯形

行阶梯形矩阵：
- 每个非零行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边；
- 全零行在下方。
行简化阶梯形矩阵：
- 是行阶梯形；
- 每个主元为 $1$；
- 主元所在列的其他元素全为 $0$。
用初等行变换可把任意矩阵化为行简化阶梯形，且结果唯一。

3.1.4 高斯消元法

写出增广矩阵 $\overline A=(A\mid b)$。
用初等行变换化为行阶梯形。
判断是否有形如 $(0\ \cdots\ 0\mid c)$（$c\ne0$）的矛盾行；若有，则方程组无解。
否则，主元对应的变量为基本变量，其余变量为自由变量。
回代或用行简化阶梯形，把基本变量用自由变量表示。

3.2 矩阵的秩

3.2.1 定义

矩阵 $A$ 的行向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为 $A$ 的行秩；列向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为 $A$ 的列秩。

定理：矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩，记作 $\operatorname{rank}A$ 或 $r(A)$。

秩是矩阵在初等行变换和初等列变换下的不变量。
行阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数。
若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则 $$0\le r(A)\le\min{m,n}.$$
$r(A)=0$ 当且仅当 $A=O$。

3.2.2 子式判别

$r(A)\ge k$ 当且仅当 $A$ 中存在一个 $k$ 阶非零子式。
$r(A)=k$ 当且仅当存在 $k$ 阶非零子式，而所有 $k+1$ 阶子式（若存在）全为零。
对 $n$ 阶方阵 $A$： $$r(A)=n\iff |A|\ne0.$$

3.2.3 秩的常用性质

$r(A^{\mathrm T})=r(A)$。
$r(kA)=r(A)$（$k\ne0$）。
初等变换不改变秩。
$r(AB)\le\min{r(A),r(B)}$。
西尔维斯特不等式： $$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n,$$ 其中 $A$ 为 $m\times n$，$B$ 为 $n\times s$。
$r(A+B)\le r(A)+r(B)$。
若 $A$ 可逆，则 $r(AB)=r(B)$，$r(CA)=r(C)$。
$r(A^)=n$（$r(A)=n$）；$r(A^)=1$（$r(A)=n-1$）；$r(A^*)=0$（$r(A)\le n-2$）。

3.3 齐次线性方程组

3.3.1 解空间

齐次线性方程组 $$Ax=0$$ 的解集 $N(A)={x\mid Ax=0}$ 是 $\mathbb{F}^n$ 的子空间，称为解空间（零空间）。

解空间对加法和数乘封闭。
解空间的维数： $$\dim N(A)=n-r(A).$$
若 $r(A)=n$，则只有零解。
若 $r(A)<n$，则存在非零解。

3.3.2 基础解系

齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间的一组基称为基础解系。

若 $r(A)=r<n$，则基础解系含 $n-r$ 个线性无关的解向量 $\eta_1,\dots,\eta_{n-r}$。
通解： $$x=c_1\eta_1+c_2\eta_2+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r},$$ 其中 $c_i$ 为任意常数。
求基础解系的步骤：
1. 对系数矩阵 $A$ 作初等行变换，化为行简化阶梯形；
2. 确定主元列和自由变量；
3. 令自由变量依次取 $(1,0,\dots,0)$、$(0,1,\dots,0)$ 等，求出对应的基本变量；
4. 得到基础解系。

3.3.3 解空间的性质

解空间是 $\mathbb{F}^n$ 的子空间。
若 $\eta_1,\dots,\eta_k$ 是基础解系，则任意解可唯一表示为它们的线性组合。
齐次方程组的两组基础解系所含向量个数相同，都等于 $n-r(A)$。

3.4 非齐次线性方程组

3.4.1 有解判别

线性方程组 $Ax=b$ 有解当且仅当 $$r(A)=r(\overline A),$$ 其中 $\overline A=(A\mid b)$ 是增广矩阵。

若 $r(A)<r(\overline A)$，则方程组无解。
若 $r(A)=r(\overline A)=n$，则方程组有唯一解。
若 $r(A)=r(\overline A)<n$，则方程组有无穷多解。

3.4.2 解的结构

若 $Ax=b$ 有解，$\eta_0$ 是它的一个特解，$\eta_1,\dots,\eta_{n-r}$ 是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系，则 $Ax=b$ 的通解为 $$x=\eta_0+c_1\eta_1+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r},$$ 其中 $c_i$ 为任意常数。

非齐次方程组的任意两个解之差是对应齐次方程组的解。
非齐次方程组的通解 = 一个特解 + 对应齐次方程组的通解。
求特解时，可令所有自由变量为 $0$，解出基本变量。

3.4.3 解的几何意义

在 $\mathbb{R}^2$ 中，两个二元一次方程表示两条直线：
- 相交：唯一解；
- 平行：无解；
- 重合：无穷多解。
在 $\mathbb{R}^3$ 中，方程表示平面，解集可能是点、直线、平面或空集。
齐次方程组的解空间总是过原点的子空间。

线性方程组的三种情形

3.5 克拉默法则

若 $n$ 个方程、$n$ 个未知量的线性方程组 $Ax=b$ 的系数行列式 $|A|\ne0$，则方程组有唯一解 $$x_j=\frac{D_j}{|A|}\quad(j=1,\dots,n),$$ 其中 $D_j$ 是把 $|A|$ 的第 $j$ 列换成 $b$ 后得到的行列式。

克拉默法则给出了唯一解的显式公式，但计算量大。
齐次方程组 $Ax=0$ 有非零解当且仅当 $|A|=0$。
对 $|A|=0$ 的情形，克拉默法则不适用，需要用秩判别。

3.6 解线性方程组的步骤总结

写出增广矩阵 $\overline A=(A\mid b)$。
用初等行变换化为行简化阶梯形。
比较 $r(A)$ 与 $r(\overline A)$：
- 若 $r(A)<r(\overline A)$，无解；
- 若 $r(A)=r(\overline A)=n$，唯一解；
- 若 $r(A)=r(\overline A)<n$，无穷多解。
对无穷多解，写出基础解系和一个特解，得到通解。
对含参数的方程组，按参数分类讨论秩。

3.7 矩阵方程

$AX=B$ 有解当且仅当 $r(A)=r(A\mid B)$。
若 $A$ 可逆，则 $X=A^{-1}B$ 是唯一解。
$XA=B$ 可类似处理；若 $A$ 可逆，则 $X=BA^{-1}$。
$AXB=C$：若 $A,B$ 都可逆，则 $X=A^{-1}CB^{-1}$。

练习

解线性方程组 $$\begin{cases} x+y+z=3,\ x-y+z=1,\ 2x+y-z=2. \end{cases}$$
判断线性方程组 $$\begin{cases} x+y=1,\ 2x+2y=3 \end{cases}$$ 是否有解。
解线性方程组 $$\begin{cases} x+y+z=1,\ x-y+z=1. \end{cases}$$
求矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&6\1&1&1\end{pmatrix}$$ 的秩。
求矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&2&1\0&1&3\1&3&4\end{pmatrix}$$ 的秩。
求齐次线性方程组 $$\begin{cases} x+2y+3z=0,\ 2x+4y+6z=0,\ x+y+z=0 \end{cases}$$ 的基础解系。
讨论 $a$ 取何值时，方程组 $$\begin{cases} x+y+z=1,\ x+ay+z=1,\ x+y+az=1 \end{cases}$$ 有唯一解、无穷多解或无解。
求齐次线性方程组 $$\begin{cases} x_1+x_2-x_3-x_4=0,\ x_1-x_2+x_3-x_4=0 \end{cases}$$ 的基础解系。
解线性方程组 $$\begin{cases} x+y+z=3,\ x-y+z=1,\ 2x+y-z=2. \end{cases}$$
解线性方程组 $$\begin{cases} x+2y+3z=6,\ 2x+4y+6z=12,\ x+y+z=3. \end{cases}$$
讨论 $a$ 取何值时，矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&1&1\1&a&1\1&1&a\end{pmatrix}$$ 的秩分别为 $1,2,3$。
证明：若齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数，则它必有非零解。

检测题

解线性方程组 $$\begin{cases} 2x+y=5,\ x-y=1. \end{cases}$$
求齐次线性方程组 $$\begin{cases} x+y+z=0,\ 2x+2y+2z=0,\ x-y+z=0 \end{cases}$$ 的基础解系。
判断线性方程组 $$\begin{cases} x+y+z=1,\ x-y+z=1,\ 2x+2z=2 \end{cases}$$ 是否有解；若有解，说明解的自由度。
求矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix}$$ 的秩。
讨论 $a$ 取何值时，方程组 $$\begin{cases} x+y=1,\ ax+ay=2 \end{cases}$$ 有解。
解线性方程组 $$\begin{cases} x+2y+z=4,\ 2x+4y+2z=8,\ x-y+z=1. \end{cases}$$
求齐次线性方程组 $$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0,\ x_1-x_2+x_3=0 \end{cases}$$ 的基础解系。
讨论 $a$ 取何值时，矩阵 $$\begin{pmatrix}1&a\a&1\end{pmatrix}$$ 的秩为 $1,2$。
求线性方程组 $$\begin{cases} x+y+z=2,\ x-y=0 \end{cases}$$ 的通解。
证明：对任意 $m\times n$ 矩阵 $A$， $$r(A)\le\min{m,n}.$$

参考答案与提示

第一式减第二式得 $2y=2$，故 $y=1$。由第一式得 $x+z=2$，由第三式得 $2x+1-z=2$，即 $2x-z=1$。联立解得 $x=1$，$z=1$。故唯一解为 $(1,1,1)$。
第二式减第一式的 $2$ 倍得 $0=1$，矛盾，故无解。
两式相减得 $2y=0$，故 $y=0$。于是 $x+z=1$。通解为 $$(x,y,z)=(t,0,1-t)\quad(t\in\mathbb{R}).$$
第二行是第一行的 $2$ 倍，第一、三行不成比例，故 $r(A)=2$。
第三行等于第一行加第二行，故 $r(A)=2$。
第二个方程是第一个方程的 $2$ 倍。由第一、三式消元得 $y+2z=0$，$x=z$。取 $z=1$，得基础解系 $$\eta=(1,-2,1)^{\mathrm T}.$$
系数行列式 $$D=\begin{vmatrix}1&1&1\1&a&1\1&1&a\end{vmatrix}=(a-1)^2.$$ 当 $a\ne1$ 时，$D\ne0$，有唯一解。当 $a=1$ 时，三个方程都化为 $x+y+z=1$，有无穷多解（自由度为 $2$）。无解情形不存在。
两式相加得 $2x_1-2x_4=0$，即 $x_1=x_4$；两式相减得 $2x_2-2x_3=0$，即 $x_2=x_3$。基础解系为 $$\eta_1=(1,0,0,1)^{\mathrm T},\qquad \eta_2=(0,1,1,0)^{\mathrm T}.$$
同第 1 题，唯一解为 $(1,1,1)$。
第二式是第一式的 $2$ 倍。由第三式 $x=3-y-z$，代入第一式得 $$3-y-z+2y+3z=6,$$ 即 $y+2z=3$。于是 $x=z$，通解为 $$(x,y,z)=(t,3-2t,t)\quad(t\in\mathbb{R}).$$
当 $a=1$ 时，矩阵三行相同，$r(A)=1$。当 $a\ne1$ 时，第一行与另外两行不成比例，且任意两行不成比例，故 $r(A)=3$。不存在秩为 $2$ 的情形。
设方程组有 $m$ 个方程、$n$ 个未知量，$m<n$。系数矩阵 $A$ 为 $m\times n$，故 $$r(A)\le m<n.$$ 解空间维数为 $$n-r(A)\ge n-m>0,$$ 故存在非零解。

检测题参考答案

两式相加得 $3x=6$，故 $x=2$。代入第一式得 $y=1$。解为 $(2,1)$。
第二个方程是第一个方程的 $2$ 倍。由第一、三式相加得 $2x+2z=0$，即 $x=-z$；相减得 $2y=0$，即 $y=0$。基础解系为 $$\eta=(-1,0,1)^{\mathrm T}.$$
第三个方程等于前两个方程之和，故方程组有解。由于 $r(A)=r(\overline A)=2<3$，解的自由度为 $3-2=1$。
第二行减第一行得 $(3,3,3)$，第三行减第二行也得 $(3,3,3)$，故 $$r(A)=2.$$
若 $a=0$，则第二个方程为 $0=2$，无解。若 $a\ne0$，第二个方程为 $x+y=2/a$。与第一个方程 $x+y=1$ 比较，有解当且仅当 $2/a=1$，即 $a=2$。故 $a=2$ 时有解（且有无穷多解）。
第二个方程是第一个方程的 $2$ 倍。第三式减第一式得 $$-3y=-3,$$ 故 $y=1$。于是 $x+z=2$。通解为 $$(x,y,z)=(t,1,2-t)\quad(t\in\mathbb{R}).$$
两式相加得 $2x_1+2x_3=0$，即 $x_1=-x_3$；两式相减得 $2x_2=0$，即 $x_2=0$。基础解系为 $$\eta=(-1,0,1)^{\mathrm T}.$$
行列式为 $1-a^2$。当 $a\ne\pm1$ 时，$r(A)=2$；当 $a=\pm1$ 时，两行成比例，$r(A)=1$。
由 $x-y=0$ 得 $y=x$。代入 $x+y+z=2$ 得 $z=2-2x$。通解为 $$(x,y,z)=t(1,1,-2)+(0,0,2)\quad(t\in\mathbb{R}).$$
$A$ 有 $m$ 行、$n$ 列。行秩不超过行数 $m$，列秩不超过列数 $n$，而行秩等于列秩，故 $$r(A)\le\min{m,n}.$$

第03章-线性方程组与矩阵的秩

第 3 章 线性方程组与矩阵的秩