第 4 章矩阵

本章整理矩阵的运算、转置与迹、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换与初等矩阵、分块矩阵、矩阵的秩、矩阵的幂与多项式以及常见特殊矩阵。矩阵是高等代数最基本的计算对象。

4.1 矩阵的运算

4.1.1 矩阵的定义

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 排成的矩形阵列 $$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots&&\vdots\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}$$ 称为 $m\times n$ 矩阵，记作 $A=(a_{ij})_{m\times n}$。

当 $m=n$ 时，称为 $n$ 阶方阵。
行向量、列向量、零矩阵 $O$、单位矩阵 $I_n$。
两个矩阵相等当且仅当它们同型且对应元素相等。

4.1.2 加法与数乘

同型矩阵可以相加：$(A+B){ij}=a{ij}+b_{ij}$。
数乘：$(kA){ij}=ka{ij}$。
运算性质： $$A+B=B+A,\qquad (A+B)+C=A+(B+C),$$ $$k(A+B)=kA+kB,\qquad (kl)A=k(lA).$$
记 $-A=(-1)A$，$A-B=A+(-B)$。

4.1.3 矩阵乘法

设 $A=(a_{ij}){m\times s}$，$B=(b{ij}){s\times n}$，定义 $$(AB){ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\quad(i=1,\dots,m;\ j=1,\dots,n).$$ $AB$ 是 $m\times n$ 矩阵。

矩阵乘法要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
运算性质（在定义有意义时）： $$(AB)C=A(BC),\qquad A(B+C)=AB+AC,\qquad (A+B)C=AC+BC,$$ $$k(AB)=(kA)B=A(kB).$$
矩阵乘法一般不满足交换律：$AB\ne BA$。
矩阵乘法没有消去律：由 $AB=AC$ 且 $A\ne O$ 不能推出 $B=C$。
存在非零矩阵 $A,B$，使 $AB=O$。

4.1.4 转置与迹

转置：$(A^{\mathrm T}){ij}=a{ji}$。
性质： $$(A+B)^{\mathrm T}=A^{\mathrm T}+B^{\mathrm T},\qquad (kA)^{\mathrm T}=kA^{\mathrm T},\qquad (AB)^{\mathrm T}=B^{\mathrm T}A^{\mathrm T},\qquad (A^{\mathrm T})^{\mathrm T}=A.$$
方阵的迹： $$\operatorname{tr}A=\sum_{i=1}^na_{ii}.$$
迹的性质： $$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B,\qquad \operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}A,\qquad \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).$$
$\operatorname{tr}(A^{\mathrm T})=\operatorname{tr}A$。

4.2 逆矩阵

4.2.1 定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若存在 $n$ 阶方阵 $B$，使 $$AB=BA=I_n,$$ 则称 $A$ 可逆，$B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。

逆矩阵若存在，则唯一。
$A$ 可逆当且仅当 $|A|\ne0$。
若 $A$ 可逆，则 $$(A^{-1})^{-1}=A,\qquad (A^{\mathrm T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm T},\qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$$
$(kA)^{-1}=\dfrac1kA^{-1}$（$k\ne0$）。

4.2.2 伴随矩阵求逆

伴随矩阵 $A^*$ 的元素是 $A$ 的代数余子式的转置排列。
基本关系： $$AA^*=A^*A=|A|I_n.$$
当 $|A|\ne0$ 时， $$A^{-1}=\frac1{|A|}A^*.$$
对二阶矩阵： $$\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}^{-1} =\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}.$$

4.2.3 逆矩阵的性质

若 $A$ 可逆，则 $A$ 的每一行、每一列都线性无关。
若 $A$ 可逆，则 $A$ 可表示为若干初等矩阵的乘积。
若 $A,B$ 可逆，则 $AB$ 可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
$|A^{-1}|=\dfrac1{|A|}$。
$(A^*)^{-1}=\dfrac{A}{|A|}$（$|A|\ne0$）。

4.3 初等变换与初等矩阵

4.3.1 初等行（列）变换

交换两行（列）。
用非零常数乘某一行（列）。
把某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）。
初等行变换不改变矩阵的秩，也不改变线性方程组的解集。
初等列变换不改变矩阵的秩，但会改变方程组的解。

4.3.2 初等矩阵

对单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
三类初等矩阵：
- $E_{ij}$：交换 $I$ 的第 $i,j$ 行（列）；
- $E_i(k)$：用 $k\ne0$ 乘 $I$ 的第 $i$ 行（列）；
- $E_{ij}(k)$：把 $I$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行（或第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列）。
性质：
- 初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍是同类型初等矩阵。
- 左乘初等矩阵相当于对 $A$ 作相应的初等行变换；
- 右乘初等矩阵相当于对 $A$ 作相应的初等列变换。

4.3.3 矩阵的等价

若 $A$ 经过有限次初等变换化为 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价。
任意 $m\times n$ 矩阵 $A$ 都等价于 $$\begin{pmatrix}I_r&O\O&O\end{pmatrix},$$ 其中 $r=r(A)$。
两个同型矩阵等价当且仅当它们的秩相等。
可逆矩阵可以表示为初等矩阵的乘积。

4.3.4 用初等变换求逆

对 $(A\mid I)$ 作初等行变换，若 $A$ 可逆，则可化为 $(I\mid A^{-1})$。

对 $(A\mid B)$ 作初等行变换，若 $A$ 可逆，则可化为 $(I\mid A^{-1}B)$，从而解矩阵方程 $AX=B$。

4.4 分块矩阵

4.4.1 分块运算

将矩阵按行、列分成若干小块，称为分块矩阵。
分块矩阵的加法、数乘、乘法可按块进行，但要求分块方式相容。
分块乘法：若 $A=(A_{ij})$，$B=(B_{ij})$，且各块的乘法有意义，则 $$(AB){ij}=\sum_kA{ik}B_{kj}.$$

4.4.2 分块对角与分块三角

分块对角矩阵： $$\operatorname{diag}(A_1,A_2,\dots,A_s)= \begin{pmatrix} A_1&O&\cdots&O\ O&A_2&\cdots&O\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ O&O&\cdots&A_s \end{pmatrix}.$$
分块对角矩阵的行列式： $$|\operatorname{diag}(A_1,\dots,A_s)|=|A_1|\cdots|A_s|.$$
若各 $A_i$ 可逆，则 $$\operatorname{diag}(A_1,\dots,A_s)^{-1} =\operatorname{diag}(A_1^{-1},\dots,A_s^{-1}).$$
分块上三角矩阵： $$\begin{pmatrix}A&C\O&B\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\O&B^{-1}\end{pmatrix} \quad(|A|\ne0,\ |B|\ne0).$$

4.4.3 舒尔补

对分块矩阵 $$M=\begin{pmatrix}A&B\C&D\end{pmatrix},$$ 若 $A$ 可逆，则 $D-CA^{-1}B$ 称为 $A$ 的舒尔补。
行列式公式： $$|M|=|A|,|D-CA^{-1}B|.$$
若 $D$ 可逆，则 $$|M|=|D|,|A-BD^{-1}C|.$$

4.5 矩阵的秩

$r(A)$ 的定义与性质见第 3 章。
常用结论：
- $r(A)=r(A^{\mathrm T})$；
- 初等变换不改变秩；
- $r(AB)\le\min{r(A),r(B)}$；
- $r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$（$A$ 为 $m\times n$，$B$ 为 $n\times s$）；
- $r(A+B)\le r(A)+r(B)$；
- 若 $A$ 可逆，则 $r(AB)=r(B)$，$r(CA)=r(C)$。
$r(A)=n$ 当且仅当 $A$ 可逆（$A$ 为 $n$ 阶方阵）。
$r(A)<n$ 当且仅当 $|A|=0$。

4.6 矩阵的幂与多项式

4.6.1 矩阵的幂

$A^0=I$，$A^k=A^{k-1}A$。
若 $A,B$ 可交换，则 $$(A+B)^n=\sum_{k=0}^n\mathrm C_n^kA^kB^{n-k}.$$
若 $AB\ne BA$，二项式展开不成立。
常见幂：
- 对角矩阵的幂：$\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)$。
- 幂零矩阵：若 $A^m=O$，则 $A$ 为幂零矩阵。
- $A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$，则 $A^n=\begin{pmatrix}1&n\0&1\end{pmatrix}$。

4.6.2 矩阵多项式

对多项式 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$，定义 $$f(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_0I.$$
若 $f,g$ 是多项式，则 $f(A)g(A)=g(A)f(A)$。
矩阵多项式可用于计算矩阵的幂和判断矩阵是否满足某些方程。

4.7 特殊矩阵

对称矩阵：$A^{\mathrm T}=A$。
反对称矩阵：$A^{\mathrm T}=-A$，其主对角线元素为 $0$。
对角矩阵：非对角元素全为 $0$。
数量矩阵：$kI$。
上（下）三角矩阵：主对角线下方（上方）元素全为 $0$。
正交矩阵：$A^{\mathrm T}A=AA^{\mathrm T}=I$，即 $A^{-1}=A^{\mathrm T}$。
幂等矩阵：$A^2=A$。
幂零矩阵：存在 $m$，使 $A^m=O$。
对合矩阵：$A^2=I$。
埃尔米特矩阵：$A^=A$（复矩阵，$A^$ 为共轭转置）。
酉矩阵：$A^A=AA^=I$。

练习

设 $$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}.$$ 求 $AB$ 与 $BA$。
求 $$\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}^{-1}.$$
求 $$\begin{pmatrix}1&1&0\0&1&1\1&0&1\end{pmatrix}^{-1}.$$
设 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}.$$ 求 $A^n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。
设 $A^2=A$。证明 $A^k=A$（$k\in\mathbb{N}^*$），且 $(I-A)^2=I-A$。
设 $A$ 可逆。证明 $$(A^{\mathrm T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm T}.$$
设 $A$ 为 $3\times2$ 矩阵，$r(A)=2$；$B$ 为 $2\times3$ 矩阵，$r(B)=2$。求 $r(AB)$。
设 $$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}.$$ 验证 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$。
设 $$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}.$$ 解矩阵方程 $AX=I_2$。
证明：反对称矩阵的主对角线元素全为 $0$。
证明：$(AB)^{\mathrm T}=B^{\mathrm T}A^{\mathrm T}$。
设 $$M=\begin{pmatrix}I&X\O&I\end{pmatrix}.$$ 求 $M^{-1}$。

检测题

设 $$A=\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}.$$ 计算 $(A+B)^2$ 与 $A^2+2AB+B^2$，并说明二者不同的原因。
求 $$\begin{pmatrix}2&1\1&1\end{pmatrix}^{-1}.$$
求 $$\begin{pmatrix}1&2&3\0&1&4\0&0&1\end{pmatrix}^{-1}.$$
证明：若 $A,B$ 可逆，则 $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$$
求 $$\begin{pmatrix}1&2\2&4\end{pmatrix}$$ 的秩。
设 $A^2=O$。证明 $A$ 不可逆。
求 $\operatorname{tr}\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$。
设 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}.$$ 求满足 $AX=I_2$ 的矩阵 $X$。
证明：$r(A+B)\le r(A)+r(B)$。
证明：分块上三角矩阵 $$\begin{pmatrix}A&B\O&C\end{pmatrix}$$ 的行列式等于 $|A|,|C|$。

参考答案与提示

$$AB=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix},$$ $$BA=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&4\1&2\end{pmatrix}.$$ 故 $AB\ne BA$。
行列式为 $-2$，故 $$\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}^{-1} =-\frac12\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&1\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}.$$
行列式为 $2$，伴随矩阵为 $$\begin{pmatrix}1&-1&1\1&1&-1\-1&1&1\end{pmatrix},$$ 故 $$\begin{pmatrix}1&1&0\0&1&1\1&0&1\end{pmatrix}^{-1} =\frac12\begin{pmatrix}1&-1&1\1&1&-1\-1&1&1\end{pmatrix}.$$
直接计算得 $$A^n=\begin{pmatrix}1&n\0&1\end{pmatrix}.$$
由 $A^2=A$，用归纳法得 $A^k=A$。且 $$(I-A)^2=I-2A+A^2=I-2A+A=I-A.$$
由 $AA^{-1}=I$，两边转置得 $$(A^{-1})^{\mathrm T}A^{\mathrm T}=I.$$ 故 $(A^{\mathrm T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm T}$。
由西尔维斯特不等式， $$r(AB)\ge r(A)+r(B)-2=2+2-2=2,$$ 又 $r(AB)\le\min{r(A),r(B)}=2$，故 $r(AB)=2$。
$$AB=\begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}3&4\1&2\end{pmatrix}.$$ 两者迹都为 $5$。
$X=A^{-1}$，由第 2 题， $$X=\begin{pmatrix}-2&1\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}.$$
设 $A=(a_{ij})$ 反对称，则 $a_{ij}=-a_{ji}$。取 $i=j$，得 $a_{ii}=-a_{ii}$，故 $a_{ii}=0$。
设 $A=(a_{ij}){m\times s}$，$B=(b{ij}){s\times n}$。则 $$(AB){ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}.$$ 于是 $$((AB)^{\mathrm T}){ij}=(AB){ji}=\sum_{k=1}^sa_{jk}b_{ki} =\sum_{k=1}^s(B^{\mathrm T}){ik}(A^{\mathrm T}){kj} =(B^{\mathrm T}A^{\mathrm T})_{ij}.$$
直接验证： $$\begin{pmatrix}I&X\O&I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I&-X\O&I\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}I&O\O&I\end{pmatrix},$$ 故 $$M^{-1}=\begin{pmatrix}I&-X\O&I\end{pmatrix}.$$

检测题参考答案

$$A+B=\begin{pmatrix}1&1\0&0\end{pmatrix},\qquad (A+B)^2=\begin{pmatrix}1&1\0&0\end{pmatrix}.$$ 而 $$A^2+2AB+B^2=A+2AB+O =\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&2\0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2\0&0\end{pmatrix}.$$ 二者不同，因为 $AB\ne BA$，二项式展开不成立。
行列式为 $1$，故 $$\begin{pmatrix}2&1\1&1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}1&-1\-1&2\end{pmatrix}.$$
由回代或伴随矩阵可得 $$\begin{pmatrix}1&2&3\0&1&4\0&0&1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}1&-2&5\0&1&-4\0&0&1\end{pmatrix}.$$
直接验证： $$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I,$$ 同理 $(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$，故结论成立。
第二行是第一行的 $2$ 倍，故秩为 $1$。
若 $A$ 可逆，则由 $A^2=O$ 两边左乘 $A^{-1}$ 得 $A=O$，与 $A$ 可逆矛盾。故 $A$ 不可逆。
$$\operatorname{tr}\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}=1+4=5.$$
$X=A^{-1}$： $$X=\begin{pmatrix}1&-1\0&1\end{pmatrix}.$$
$A+B$ 的每一列都是 $A$ 的列与 $B$ 的列的线性组合，故 $$\operatorname{Col}(A+B)\subseteq\operatorname{Col}(A)+\operatorname{Col}(B),$$ 从而 $$r(A+B)\le\dim[\operatorname{Col}(A)+\operatorname{Col}(B)] \le r(A)+r(B).$$
对 $A$ 的阶数作归纳，或对分块矩阵作初等变换化为分块对角矩阵，可得 $$\begin{vmatrix}A&B\O&C\end{vmatrix}=|A|,|C|.$$

第04章-矩阵

第 4 章 矩阵

4.1 矩阵的运算

4.1.1 矩阵的定义

4.1.2 加法与数乘

4.1.3 矩阵乘法

4.1.4 转置与迹

4.2 逆矩阵

4.2.1 定义

4.2.2 伴随矩阵求逆

4.2.3 逆矩阵的性质

4.3 初等变换与初等矩阵

4.3.1 初等行（列）变换

4.3.2 初等矩阵

4.3.3 矩阵的等价

4.3.4 用初等变换求逆

4.4 分块矩阵

4.4.1 分块运算

4.4.2 分块对角与分块三角

4.4.3 舒尔补

4.5 矩阵的秩

4.6 矩阵的幂与多项式

4.6.1 矩阵的幂

4.6.2 矩阵多项式

4.7 特殊矩阵

练习

检测题

参考答案与提示

检测题参考答案

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