第 6 章 线性空间

本章整理线性空间的定义与例子、线性组合与线性相关、基与维数、坐标与过渡矩阵、子空间、交与和以及直和。线性空间是高等代数从矩阵计算走向抽象理论的核心概念。

6.1 线性空间的定义

设 $V$ 是一个非空集合，$\mathbb{F}$ 是一个数域。若在 $V$ 上定义了加法（对任意 $\alpha,\beta\in V$，有唯一的 $\alpha+\beta\in V$）和数乘（对任意 $k\in\mathbb{F}$、$\alpha\in V$，有唯一的 $k\alpha\in V$），并满足以下八条公理：

  1. $\alpha+\beta=\beta+\alpha$；
  2. $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$；
  3. 存在零向量 $\mathbf0$，使 $\alpha+\mathbf0=\alpha$；
  4. 对每个 $\alpha$，存在负向量 $-\alpha$，使 $\alpha+(-\alpha)=\mathbf0$；
  5. $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$；
  6. $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$；
  7. $k(l\alpha)=(kl)\alpha$；
  8. $1\alpha=\alpha$， 则称 $V$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间（向量空间），$V$ 中的元素称为向量。
  • 零向量唯一，负向量唯一。
  • $0\alpha=\mathbf0$，$k\mathbf0=\mathbf0$，$(-1)\alpha=-\alpha$。
  • 若 $k\alpha=\mathbf0$，则 $k=0$ 或 $\alpha=\mathbf0$。

6.1.1 常见例子

  • $\mathbb{F}^n$：$n$ 元有序数组，按分量加法和数乘。
  • $M_{m\times n}(\mathbb{F})$：$m\times n$ 矩阵，按矩阵加法和数乘。
  • $\mathbb{F} $：数域 $\mathbb{F}$ 上的一元多项式，按多项式加法和数乘。
  • $P_n $：次数不超过 $n$ 的多项式（包括零多项式），维数为 $n+1$。
  • $C[a,b]$：闭区间上连续函数，按函数加法和数乘。
  • 齐次线性方程组的解空间。
  • $\mathbb{C}$ 可以看作 $\mathbb{R}$ 上的二维线性空间，也可以看作 $\mathbb{C}$ 上的一维线性空间。

6.2 线性组合与线性相关性

6.2.1 线性组合与张成

设 $\alpha_1,\dots,\alpha_m\in V$。若存在 $k_1,\dots,k_m\in\mathbb{F}$，使 $$\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m,$$ 则称 $\beta$ 是 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 的线性组合，或称 $\beta$ 可由它们线性表示。

  • 由 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 的所有线性组合构成的集合称为它们的张成（生成子空间），记作 $$\operatorname{span}{\alpha_1,\dots,\alpha_m}.$$
  • $\operatorname{span}{\alpha_1,\dots,\alpha_m}$ 是 $V$ 的包含这些向量的最小子空间。

6.2.2 线性相关与线性无关

若存在不全为零的数 $k_1,\dots,k_m$，使 $$k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m=\mathbf0,$$ 则称 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性相关；否则称它们线性无关。

  • 线性无关等价于：若 $k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m=\mathbf0$，则 $k_1=\cdots=k_m=0$。
  • 单个向量 $\alpha$ 线性相关当且仅当 $\alpha=\mathbf0$。
  • 含零向量的向量组必线性相关。
  • 向量组线性相关当且仅当其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
  • 向量组线性无关，添加分量后仍线性无关；向量组线性相关，去掉分量后仍可能相关。
  • 若向量组线性无关，则它的任意非空子组也线性无关；若某个子组线性相关，则整个向量组线性相关。

6.2.3 线性相关性的判别

  • 对 $\mathbb{F}^n$ 中的列向量 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$，令 $A=(\alpha_1,\dots,\alpha_m)$。则 $$\alpha_1,\dots,\alpha_m\text{ 线性相关}\iff r(A)<m.$$
  • 特别地，$n$ 个 $n$ 维向量线性无关当且仅当以它们为列的行列式非零。
  • 若 $m>n$，则 $\mathbb{F}^n$ 中任意 $m$ 个向量必线性相关。

6.3 基与维数

6.3.1 基

若线性空间 $V$ 中的向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 满足： （1）$\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性无关； （2）$V$ 中任意向量都可由它们线性表示， 则称 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基，$n$ 称为 $V$ 的维数，记作 $\dim V=n$。

  • 只含零向量的线性空间维数为 $0$，没有基。
  • 若 $V$ 中存在有限个向量张成，则称 $V$ 为有限维线性空间；否则为无限维线性空间。
  • 有限维线性空间的任意两组基所含向量个数相同。
  • 若 $\dim V=n$，则 $V$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量构成一组基；任意 $n+1$ 个向量必线性相关。
  • 基不唯一，但维数唯一。

6.3.2 坐标

设 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基，$\alpha\in V$。若 $$\alpha=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n,$$ 则称 $(x_1,\dots,x_n)^{\mathrm T}$ 是 $\alpha$ 在这组基下的坐标。

  • 坐标由基和向量唯一确定。
  • 同一个向量在不同基下的坐标一般不同。
  • 在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下，向量与它的坐标一一对应，$V$ 与 $\mathbb{F}^n$ 同构。

基与坐标

6.3.3 过渡矩阵

设 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 和 $\beta_1,\dots,\beta_n$ 是 $V$ 的两组基，且 $$\beta_j=\sum_{i=1}^np_{ij}\alpha_i\quad(j=1,\dots,n),$$ 则矩阵 $P=(p_{ij})$ 称为从基 $\alpha$ 到基 $\beta$ 的过渡矩阵。

  • 过渡矩阵 $P$ 可逆。
  • 若向量 $\gamma$ 在基 $\alpha$ 下的坐标为 $x$，在基 $\beta$ 下的坐标为 $y$，则 $$x=Py.$$
  • 反过来，从基 $\beta$ 到基 $\alpha$ 的过渡矩阵为 $P^{-1}$。

6.3.4 基变换与坐标变换

  • 基变换公式： $$(\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)P.$$
  • 坐标变换公式： $$x_{\alpha}=Px_{\beta}.$$
  • 若 $P$ 是正交矩阵，则基变换保持内积，坐标变换是正交变换。

6.4 子空间

6.4.1 定义

设 $W$ 是线性空间 $V$ 的非空子集。若 $W$ 对 $V$ 的加法和数乘封闭，即对任意 $\alpha,\beta\in W$、$k\in\mathbb{F}$，都有 $$\alpha+\beta\in W,\qquad k\alpha\in W,$$ 则称 $W$ 是 $V$ 的子空间。

  • 子空间本身也是线性空间。
  • 判断子空间：非空、对加法封闭、对数乘封闭。
  • 零子空间 ${\mathbf0}$ 和 $V$ 本身都是 $V$ 的子空间。
  • 齐次线性方程组的解空间是 $\mathbb{F}^n$ 的子空间。
  • 矩阵的零空间、列空间、行空间都是子空间。

6.4.2 子空间的交与和

  • 交： $$U\cap W={\alpha\mid\alpha\in U\text{ 且 }\alpha\in W}.$$ $U\cap W$ 是子空间。
  • 和： $$U+W={\alpha+\beta\mid\alpha\in U,\ \beta\in W}.$$ $U+W$ 是子空间，且是包含 $U$ 和 $W$ 的最小子空间。
  • 维数公式： $$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).$$
  • 若 $U_1,\dots,U_s$ 是子空间，则 $$\dim(U_1+\cdots+U_s)\le\dim U_1+\cdots+\dim U_s.$$

6.4.3 直和

若 $U+W$ 中每个向量都能唯一地表示为 $u+w$（$u\in U$，$w\in W$），则称 $U+W$ 为直和，记作 $$U\oplus W.$$

  • 以下条件等价：
    1. $U+W$ 是直和；
    2. $U\cap W={\mathbf0}$；
    3. $\dim(U+W)=\dim U+\dim W$；
    4. 若 $u+w=\mathbf0$（$u\in U,w\in W$），则 $u=w=\mathbf0$。
  • 多个子空间的直和： $$V=U_1\oplus\cdots\oplus U_s$$ 当且仅当每个向量表示唯一，且 $$U_i\cap\left(\sum_{j\ne i}U_j\right)={\mathbf0}\quad(i=1,\dots,s).$$
  • 若 $V=U\oplus W$，则称 $W$ 是 $U$ 的补子空间。补子空间不唯一（除 $V$ 为低维特殊情形）。

6.5 生成子空间与矩阵的秩

  • 矩阵 $A$ 的列向量张成的子空间称为列空间： $$\operatorname{Col}A=\operatorname{span}{\text{列向量}}.$$
  • 行向量张成的子空间称为行空间。
  • 列空间的维数等于 $r(A)$，行空间的维数也等于 $r(A)$。
  • 齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间（零空间）维数为 $n-r(A)$。
  • 若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则 $$\dim\operatorname{Col}A+\dim N(A)=n.$$
  • 这是线性映射秩-零化度定理的矩阵形式。

6.6 线性空间的同构

设 $V,W$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间。若存在一一映射 $\varphi:V\to W$，使对任意 $\alpha,\beta\in V$、$k\in\mathbb{F}$， $$\varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta),\qquad \varphi(k\alpha)=k\varphi(\alpha),$$ 则称 $V$ 与 $W$ 同构，$\varphi$ 为同构映射。

  • 同构关系具有自反性、对称性、传递性。
  • 两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相同。
  • 任意 $n$ 维线性空间都同构于 $\mathbb{F}^n$。
  • 同构保持线性组合、线性相关性、基与维数。

6.7 线性空间的直和分解

  • 若 $V=U\oplus W$，则 $\dim V=\dim U+\dim W$。
  • 若 $V$ 的一组基可以分成两组，分别张成 $U$ 和 $W$，则 $V=U\oplus W$。
  • 直和分解是研究线性变换不变子空间和若尔当标准形的基础。

练习

  1. 判断向量组 $$\alpha_1=(1,1,0),\quad\alpha_2=(1,0,1),\quad\alpha_3=(0,1,1)$$ 是否为 $\mathbb{R}^3$ 的一组基。

  2. 求向量组 $$(1,2,3),\quad(2,4,6),\quad(1,0,1)$$ 的张成空间的维数。

  3. 求向量 $(1,2,3)$ 在基 $$\alpha_1=(1,0,0),\quad\alpha_2=(1,1,0),\quad\alpha_3=(1,1,1)$$ 下的坐标。

  4. 判断 $1,x,x^2$ 是否为 $P_2 $ 的一组基。

  5. 求子空间 $$W={(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid x_1+x_2+x_3+x_4=0,\ x_1-x_2=0}$$ 的维数。

  6. 求平面 $x+y+z=0$ 与 $x-y=0$ 的交空间的维数和一组基。

  7. 设 $$U={(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}},\qquad W={(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}}.$$ 证明 $\mathbb{R}^3=U\oplus W$。

  8. 设 $\alpha_1,\alpha_2$ 是一组基， $$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\qquad\beta_2=\alpha_1-\alpha_2.$$ 求从基 $\alpha$ 到基 $\beta$ 的过渡矩阵。

  9. 证明 $1,1+x,1+x+x^2$ 是 $P_2 $ 的一组基，并求 $x^2$ 在这组基下的坐标。

  10. 设 $U,W$ 是有限维子空间。证明 $$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).$$

  11. 证明：向量组张成的子空间是包含该向量组的最小子空间。

  12. 证明 $\mathbb{C}$ 作为 $\mathbb{R}$ 上的线性空间是二维的，并给出一组基。

检测题

  1. 判断 $(1,2),(2,4)$ 是否为 $\mathbb{R}^2$ 的一组基。

  2. 求向量组 $$(1,1,1),\quad(1,2,3),\quad(2,3,4)$$ 的张成空间的维数。

  3. 求向量 $(2,3)$ 在基 $(1,1),(1,-1)$ 下的坐标。

  4. 求平面 $x+y+z=0$ 的一组基。

  5. 证明 $P_n $ 的维数为 $n+1$。

  6. 设 $$U=\operatorname{span}{(1,0,0),(0,1,0)},\qquad W=\operatorname{span}{(0,1,0),(0,0,1)}.$$ 求 $U\cap W$ 与 $U+W$ 的维数。

  7. 证明：$U+W$ 是直和当且仅当 $U\cap W={\mathbf0}$。

  8. 设 $\alpha_1,\alpha_2$ 是基， $$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\qquad\beta_2=\alpha_1-\alpha_2.$$ 写出从基 $\beta$ 到基 $\alpha$ 的过渡矩阵。

  9. 证明：向量在给定基下的坐标是唯一的。

  10. 证明维数公式 $$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).$$

参考答案与提示

  1. 以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为列作行列式： $$\begin{vmatrix}1&1&0\1&0&1\0&1&1\end{vmatrix}=-2\ne0,$$ 故三向量线性无关，构成 $\mathbb{R}^3$ 的一组基。
  2. 第二个向量是第一个向量的 $2$ 倍，第一、三向量不成比例，故张成空间维数为 $2$。
  3. 设 $$(1,2,3)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1).$$ 由第三分量得 $c=3$；由第二分量得 $b+c=2$，故 $b=-1$；由第一分量得 $a+b+c=1$，故 $a=-1$。坐标为 $(-1,-1,3)^{\mathrm T}$。
  4. $1,x,x^2$ 线性无关，且任意次数不超过 $2$ 的多项式都可由它们线性表示，故是 $P_2 $ 的一组基。
  5. 约束方程组的系数矩阵为 $$\begin{pmatrix}1&1&1&1\1&-1&0&0\end{pmatrix},$$ 秩为 $2$，故 $$\dim W=4-2=2.$$
  6. 交空间满足 $x=y$，$2x+z=0$，即 $z=-2x$。一组基为 $(1,1,-2)$，维数为 $1$。
  7. 任意 $(x,y,z)=(x,y,0)+(0,0,z)$，故 $\mathbb{R}^3=U+W$。又 $U\cap W={\mathbf0}$，故为直和。
  8. 过渡矩阵为 $$P=\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix}.$$
  9. 设 $$a\cdot1+b(1+x)+c(1+x+x^2)=0.$$ 比较系数得 $c=0$，$b+c=0$，$a+b+c=0$，故 $a=b=c=0$，线性无关；三个向量张成 $P_2 $，故为基。由 $$x^2=(1+x+x^2)-(1+x),$$ 坐标为 $(0,-1,1)^{\mathrm T}$。
  10. 取 $U\cap W$ 的一组基 $\gamma_1,\dots,\gamma_k$，扩充为 $U$ 的基 $\gamma_1,\dots,\gamma_k,\alpha_1,\dots,\alpha_m$，再扩充为 $W$ 的基 $\gamma_1,\dots,\gamma_k,\beta_1,\dots,\beta_n$。则 $\gamma_1,\dots,\gamma_k,\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_n$ 是 $U+W$ 的基，故 $$\dim(U+W)=k+m+n=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).$$
  11. 设 $S=\operatorname{span}{\alpha_1,\dots,\alpha_m}$。$S$ 对加法和数乘封闭，是子空间且包含每个 $\alpha_i$。若 $W$ 是包含所有 $\alpha_i$ 的子空间，则由封闭性，$W$ 包含它们的所有线性组合，故 $S\subseteq W$。因此 $S$ 是最小子空间。
  12. 任意复数可唯一写成 $a+b\mathrm i$（$a,b\in\mathbb{R}$），且 $1,\mathrm i$ 线性无关，故 $\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2$，基为 $1,\mathrm i$。

检测题参考答案

  1. $(2,4)=2(1,2)$，两向量线性相关，故不是基。
  2. 第三个向量等于前两个向量之和，且前两个向量不成比例，故秩为 $2$，张成空间维数为 $2$。
  3. 设 $$(2,3)=a(1,1)+b(1,-1).$$ 则 $a+b=2$，$a-b=3$，解得 $a=\dfrac52$，$b=-\dfrac12$。坐标为 $\left(\dfrac52,-\dfrac12\right)^{\mathrm T}$。
  4. 取 $x=1,y=0$，得 $z=-1$；取 $x=0,y=1$，得 $z=-1$。基为 $(1,0,-1)$、$(0,1,-1)$。
  5. $1,x,\dots,x^n$ 线性无关，且任意次数不超过 $n$ 的多项式都可由它们线性表示，故为基，维数为 $n+1$。
  6. $U\cap W=\operatorname{span}{(0,1,0)}$，维数为 $1$；$U+W=\mathbb{R}^3$，维数为 $3$。
  7. 若 $U+W$ 是直和，则由表示唯一性，零向量的表示 $0=0+0$ 唯一，故 $U\cap W={\mathbf0}$。反之，若 $U\cap W={\mathbf0}$，且 $u_1+w_1=u_2+w_2$，则 $u_1-u_2=w_2-w_1\in U\cap W$，故为零，从而 $u_1=u_2$，$w_1=w_2$，表示唯一。
  8. 由 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_1-\alpha_2$，解得 $$\alpha_1=\frac12\beta_1+\frac12\beta_2,\qquad \alpha_2=\frac12\beta_1-\frac12\beta_2.$$ 过渡矩阵为 $$\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}.$$
  9. 设 $\alpha=\sum x_i\alpha_i=\sum y_i\alpha_i$，则 $\sum(x_i-y_i)\alpha_i=0$。由基的线性无关性，$x_i=y_i$，故坐标唯一。
  10. 同练习第 10 题。