第 7 章 线性变换

本章整理线性变换的定义与例子、核与像、秩-零化度定理、线性变换的矩阵表示、基变换与相似、线性变换的运算以及不变子空间。线性变换是线性空间之间保持线性结构的映射。

7.1 线性变换的定义

设 $V,W$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间。映射 $T:V\to W$ 若满足： （1）$T(\alpha+\beta)=T(\alpha)+T(\beta)$； （2）$T(k\alpha)=kT(\alpha)$， 对任意 $\alpha,\beta\in V$、$k\in\mathbb{F}$ 成立，则称 $T$ 为从 $V$ 到 $W$ 的线性映射。当 $V=W$ 时，称 $T$ 为 $V$ 上的线性变换。

  • 等价条件： $$T(k\alpha+l\beta)=kT(\alpha)+lT(\beta).$$
  • 线性变换保持零向量和负向量： $$T(\mathbf0)=\mathbf0,\qquad T(-\alpha)=-T(\alpha).$$
  • 线性变换保持线性组合： $$T\left(\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i\right)=\sum_{i=1}^mk_iT(\alpha_i).$$

7.1.1 常见例子

  • 零变换 $T(\alpha)=\mathbf0$。
  • 恒等变换 $T(\alpha)=\alpha$。
  • 数乘变换 $T(\alpha)=k\alpha$。
  • 投影变换 $T(x,y)=(x,0)$。
  • 旋转变换。
  • 多项式求导变换 $T(f)=f'$。
  • 多项式积分变换。
  • 矩阵乘法变换 $T(X)=AX$。
  • 线性方程组的解映射。

7.1.2 线性变换的性质

  • $T$ 是单射当且仅当 $\ker T={\mathbf0}$。
  • $T$ 是满射当且仅当 $\operatorname{Im}T=W$。
  • 若 $\dim V=\dim W$ 且 $T$ 是单射，则 $T$ 是满射，从而是同构。
  • 线性变换由它在基上的像唯一确定。

7.2 核与像

7.2.1 定义

设 $T:V\to W$ 是线性映射。

  • 核： $$\ker T={\alpha\in V\mid T(\alpha)=\mathbf0}.$$
  • 像： $$\operatorname{Im}T={T(\alpha)\mid\alpha\in V}.$$
  • $\ker T$ 是 $V$ 的子空间。
  • $\operatorname{Im}T$ 是 $W$ 的子空间。
  • $T$ 是单射当且仅当 $\ker T={\mathbf0}$。

7.2.2 秩-零化度定理

设 $V$ 是有限维线性空间，$T:V\to W$ 是线性映射，则 $$\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim V.$$

  • $\dim\ker T$ 称为 $T$ 的零化度。
  • $\dim\operatorname{Im}T$ 称为 $T$ 的秩，记作 $r(T)$。
  • 若 $\dim V=\dim W$，则 $T$ 可逆当且仅当 $\ker T={\mathbf0}$，也当且仅当 $r(T)=\dim V$。

核与像

7.2.3 核与像的计算

  1. 写出 $T$ 在某组基下的矩阵 $A$。
  2. $\ker T$ 对应齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间，维数为 $n-r(A)$。
  3. $\operatorname{Im}T$ 对应 $A$ 的列空间，维数为 $r(A)$。
  4. 求 $\operatorname{Im}T$ 的基时，取 $A$ 的列向量组的极大线性无关组，再回到 $W$ 中。

7.3 线性变换的矩阵

7.3.1 定义

设 $T$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基。若 $$T(\alpha_j)=\sum_{i=1}^na_{ij}\alpha_i\quad(j=1,\dots,n),$$ 则矩阵 $A=(a_{ij})$ 称为 $T$ 在这组基下的矩阵。

  • 矩阵 $A$ 的第 $j$ 列是 $T(\alpha_j)$ 在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下的坐标。
  • 若 $\alpha$ 的坐标为 $x$，则 $T(\alpha)$ 的坐标为 $Ax$。
  • 线性变换与矩阵一一对应（在取定基之后）。
  • 线性变换的加法、数乘、乘法分别对应矩阵的加法、数乘、乘法。
  • $T$ 可逆当且仅当其矩阵 $A$ 可逆，且 $T^{-1}$ 的矩阵为 $A^{-1}$。

7.3.2 基变换与相似

设 $T$ 在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下的矩阵为 $A$，在基 $\beta_1,\dots,\beta_n$ 下的矩阵为 $B$。若从基 $\alpha$ 到基 $\beta$ 的过渡矩阵为 $P$，则 $$B=P^{-1}AP.$$

  • 称 $A$ 与 $B$ 相似。
  • 相似矩阵描述同一个线性变换在不同基下的矩阵。
  • 相似矩阵有相同的秩、迹、行列式和特征多项式。
  • 选择适当的基，可以使线性变换的矩阵尽量简单（对角形、若尔当标准形等）。

7.3.3 线性变换与矩阵的对应

  • 记 $\operatorname{Hom}(V,W)$ 为从 $V$ 到 $W$ 的线性映射全体，它对加法和数乘构成线性空间。
  • 若 $\dim V=n$，$\dim W=m$，则 $$\operatorname{Hom}(V,W)\cong M_{m\times n}(\mathbb{F}),$$ 从而 $$\dim\operatorname{Hom}(V,W)=mn.$$
  • 当 $V=W$ 时，$\operatorname{End}(V)$ 对乘法构成环，并与 $M_n(\mathbb{F})$ 同构。

7.4 线性变换的运算

7.4.1 加法与数乘

对 $T,S\in\operatorname{Hom}(V,W)$、$k\in\mathbb{F}$，定义 $$(T+S)(\alpha)=T(\alpha)+S(\alpha),\qquad (kT)(\alpha)=kT(\alpha).$$

  • 在取定基下，$T+S$、$kT$ 的矩阵分别为 $A+B$、$kA$。

7.4.2 复合与逆

  • 复合： $$(T\circ S)(\alpha)=T(S(\alpha)).$$
  • 在取定基下，$T\circ S$ 的矩阵为 $AB$（其中 $A$ 是 $T$ 的矩阵，$B$ 是 $S$ 的矩阵）。
  • 注意矩阵乘法顺序：先作用 $S$，再作用 $T$，矩阵为 $AB$。
  • 若 $T$ 可逆，则 $T^{-1}$ 的矩阵为 $A^{-1}$。
  • $(T\circ S)^{-1}=S^{-1}\circ T^{-1}$。

7.4.3 幂与多项式

  • $T^0=I$，$T^k=T^{k-1}\circ T$。
  • 对多项式 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$，定义 $$f(T)=a_nT^n+\cdots+a_1T+a_0I.$$
  • 若 $T$ 的矩阵为 $A$，则 $f(T)$ 的矩阵为 $f(A)$。

7.5 不变子空间

7.5.1 定义

设 $T$ 是 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $V$ 的子空间。若对任意 $\alpha\in W$，都有 $T(\alpha)\in W$，则称 $W$ 是 $T$ 的不变子空间（$T$-不变子空间）。

  • 零子空间和 $V$ 本身是任何线性变换的不变子空间。
  • $\ker T$ 和 $\operatorname{Im}T$ 都是 $T$ 的不变子空间。
  • 若 $W$ 是 $T$ 的不变子空间，则 $T$ 在 $W$ 上的限制 $T|_W:W\to W$ 是 $W$ 上的线性变换。
  • 若 $V=W_1\oplus\cdots\oplus W_s$，且每个 $W_i$ 都是 $T$ 的不变子空间，则 $T$ 的矩阵在适当基下为分块对角形。

7.5.2 一维不变子空间与特征向量

  • 一维子空间 $W=\operatorname{span}{\alpha}$ 是 $T$ 的不变子空间当且仅当 $$T(\alpha)=\lambda\alpha$$ 对某个 $\lambda\in\mathbb{F}$ 成立。
  • 此时 $\alpha$ 是 $T$ 的特征向量，$\lambda$ 是对应的特征值。
  • 特征值与特征向量的系统理论见第 8 章。

7.5.3 不变子空间的应用

  • 若 $T$ 在某个基下的矩阵为分块上三角： $$\begin{pmatrix}A&C\O&B\end{pmatrix},$$ 则第一个坐标子空间是 $T$ 的不变子空间。
  • 若矩阵为分块对角，则对应直和分解为不变子空间。
  • 若尔当标准形把空间分解成一维广义特征子空间的直和（详见第 11、12 章）。

7.6 线性变换的确定

设 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基，$\beta_1,\dots,\beta_n$ 是 $W$ 中任意 $n$ 个向量，则存在唯一的线性映射 $T:V\to W$，使 $$T(\alpha_i)=\beta_i\quad(i=1,\dots,n).$$

  • 因此，线性变换完全由它在基上的像决定。
  • 求线性变换的矩阵，只需求出基向量的像，再把它们表示为基的线性组合。

7.7 同构与可逆变换

  • 线性变换 $T:V\to V$ 可逆当且仅当它是双射，也当且仅当 $\ker T={\mathbf0}$（有限维情形），也当且仅当其矩阵可逆。
  • 可逆线性变换的逆变换仍是线性变换。
  • $V$ 上的可逆线性变换全体构成一般线性群 $GL(V)$。
  • 取定基后，$GL(V)$ 与 $GL_n(\mathbb{F})$ 同构。

练习

  1. 求线性变换 $T(x,y)=(x+y,x-y)$ 在标准基下的矩阵。

  2. 求 $T(x,y)=(x+y,0)$ 的核与像，并验证秩-零化度定理。

  3. 求多项式求导变换 $T(f)=f'$ 在 $P_2 $ 的基 $1,x,x^2$ 下的矩阵。

  4. 求 $T(x,y,z)=(x+y,y+z,z)$ 在标准基下的矩阵。

  5. 判断 $T(x,y)=(2x+y,x+y)$ 是否可逆；若可逆，求 $T^{-1}$。

  6. 设 $T$ 在标准基下的矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}1&2\0&3\end{pmatrix}.$$ 取新基 $$\beta_1=(1,1),\qquad\beta_2=(1,-1).$$ 求 $T$ 在新基下的矩阵。

  7. 设 $T(x,y)=(x,0)$。求 $\ker T$、$\operatorname{Im}T$，并验证 $T^2=T$。

  8. 求绕原点旋转 $90^\circ$ 的线性变换在标准基下的矩阵，并验证 $T^4=I$。

  9. 证明：线性变换把零向量映为零向量。

  10. 设 $T(x,y,z)=(x,y,0)$。求 $\ker T$、$\operatorname{Im}T$ 的维数，并验证秩-零化度定理。

  11. 设 $T(x,y)=(x+y,y)$，$W=\operatorname{span}{(1,0)}$。证明 $W$ 是 $T$ 的不变子空间。

  12. 设 $$S(x,y)=(x+y,y),\qquad T(x,y)=(x,2y).$$ 求 $T\circ S$ 的矩阵。

检测题

  1. 求线性变换 $T(x,y)=(3x-2y,x+4y)$ 在标准基下的矩阵。

  2. 求 $T(x,y,z)=(x,y,0)$ 的核的维数。

  3. 求线性变换 $T(x,y,z)=(x+y,y+z,x+2y+z)$ 的秩。

  4. 判断 $T(x,y)=(x+y,x-y)$ 是否可逆，并说明理由。

  5. 求多项式求导变换在 $P_3 $ 的基 $1,x,x^2,x^3$ 下的矩阵。

  6. 设 $A,B$ 相似。证明 $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B$，$|A|=|B|$。

  7. 设 $T^2=T$。证明 $T(I-T)=0$，并说明 $T$ 不一定可逆。

  8. 设 $T$ 在标准基下的矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}1&2\0&3\end{pmatrix},$$ 新基为 $\beta_1=(1,1)$、$\beta_2=(1,-1)$。求 $T$ 在新基下的矩阵。

  9. 证明：线性变换由它在基上的像唯一确定。

  10. 叙述并证明有限维线性空间的秩-零化度定理。

参考答案与提示

  1. $$T(1,0)=(1,1),\qquad T(0,1)=(1,-1),$$ 故矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix}.$$
  2. $$\ker T={(x,-x)\mid x\in\mathbb{R}}=\operatorname{span}{(1,-1)},$$ $$\operatorname{Im}T={(u,0)\mid u\in\mathbb{R}}=\operatorname{span}{(1,0)}.$$ 两者维数均为 $1$，且 $1+1=2=\dim\mathbb{R}^2$。
  3. $T(1)=0$，$T(x)=1$，$T(x^2)=2x$，故矩阵为 $$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\ 0&0&2\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$
  4. 矩阵为 $$A=\begin{pmatrix} 1&1&0\ 0&1&1\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$
  5. 系数矩阵行列式 $$\begin{vmatrix}2&1\1&1\end{vmatrix}=1\ne0,$$ 故可逆。解 $$2x+y=u,\qquad x+y=v,$$ 得 $$x=u-v,\qquad y=-u+2v.$$ 故 $$T^{-1}(u,v)=(u-v,-u+2v).$$
  6. 从标准基到新基的过渡矩阵为 $$P=\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}.$$ 于是 $$B=P^{-1}AP =\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\frac12&-\frac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\0&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&-2\0&1\end{pmatrix}.$$
  7. $$\ker T={(0,y)\mid y\in\mathbb{R}}=\operatorname{span}{(0,1)},$$ $$\operatorname{Im}T={(x,0)\mid x\in\mathbb{R}}=\operatorname{span}{(1,0)}.$$ 且 $$T^2(x,y)=T(x,0)=(x,0)=T(x,y).$$
  8. 旋转 $90^\circ$： $$T(x,y)=(-y,x),\qquad A=\begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix}.$$ 计算得 $$A^2=\begin{pmatrix}-1&0\0&-1\end{pmatrix},\qquad A^4=I_2.$$
  9. 由线性性， $$T(\mathbf0)=T(\mathbf0+\mathbf0)=T(\mathbf0)+T(\mathbf0),$$ 两边减去 $T(\mathbf0)$ 得 $T(\mathbf0)=\mathbf0$。
  10. $\ker T={(0,0,z)}$，维数 $1$；$\operatorname{Im}T={(x,y,0)}$，维数 $2$。两者之和为 $3$，等于 $\dim\mathbb{R}^3$。
  11. $T(1,0)=(1,0)\in W$，故 $W$ 中任意向量 $k(1,0)$ 的像 $k(1,0)\in W$，所以 $W$ 是 $T$ 的不变子空间。
  12. $S$ 的矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix},$$ $T$ 的矩阵为 $$B=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix}.$$ $T\circ S$ 的矩阵为 $$BA=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\0&2\end{pmatrix}.$$

检测题参考答案

  1. $$A=\begin{pmatrix}3&-2\1&4\end{pmatrix}.$$
  2. $\ker T={(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}}$，维数为 $1$。
  3. 矩阵为 $$\begin{pmatrix}1&1&0\0&1&1\1&2&1\end{pmatrix}.$$ 第三行等于第一行加第二行，故秩为 $2$。
  4. 系数矩阵 $$\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix}$$ 的行列式为 $-2\ne0$，故可逆。
  5. $T(1)=0$，$T(x)=1$，$T(x^2)=2x$，$T(x^3)=3x^2$，故矩阵为 $$\begin{pmatrix} 0&1&0&0\ 0&0&2&0\ 0&0&0&3\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$
  6. 设 $B=P^{-1}AP$。则 $$\operatorname{tr}B=\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(APP^{-1})=\operatorname{tr}A,$$ $$|B|=|P^{-1}|,|A|,|P|=|A|.$$
  7. 由 $T^2=T$， $$T(I-T)=T-T^2=T-T=0.$$ $T$ 不一定可逆，例如投影变换 $T(x,y)=(x,0)$ 满足 $T^2=T$，但 $\ker T\ne{\mathbf0}$。
  8. 同练习第 6 题，结果为 $$\begin{pmatrix}3&-2\0&1\end{pmatrix}.$$
  9. 设 $T,S$ 在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 上的像分别相同。则对任意 $\alpha=\sum x_i\alpha_i$， $$T(\alpha)=\sum x_iT(\alpha_i)=\sum x_iS(\alpha_i)=S(\alpha),$$ 故 $T=S$。
  10. 设 $\dim V=n$，$\dim\ker T=k$。取 $\ker T$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_k$，扩充为 $V$ 的基 $$\alpha_1,\dots,\alpha_k,\beta_1,\dots,\beta_{n-k}.$$ 则 $T(\beta_1),\dots,T(\beta_{n-k})$ 线性无关，且张成 $\operatorname{Im}T$。故 $$\dim\operatorname{Im}T=n-k,$$ 从而 $$\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=n.$$