第 8 章特征值、相似与对角化

本章整理特征值与特征向量、特征多项式、相似矩阵、可对角化判别、实对称矩阵、哈密顿-凯莱定理以及最小多项式初步。对角化是矩阵理论的核心问题之一。

8.1 特征值与特征向量

8.1.1 定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若存在数 $\lambda$ 和非零列向量 $x$，使 $$Ax=\lambda x,$$ 则称 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$x$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

特征向量必须非零。
若 $x$ 是特征向量，则 $kx$（$k\ne0$）也是同一特征值的特征向量。
特征值可以是实数或复数，取决于数域。
几何意义：特征向量在 $A$ 的作用下方向不变，只改变长度（或反向）。

特征向量的方向不变

8.1.2 特征多项式

称 $$f_A(\lambda)=|\lambda I-A|= \begin{vmatrix} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{vmatrix}$$ 为 $A$ 的特征多项式。

$f_A(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的 $n$ 次首一多项式。
$\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值当且仅当 $f_A(\lambda_0)=0$。
特征多项式的展开： $$f_A(\lambda)=\lambda^n-(\operatorname{tr}A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|.$$
特征值的和等于迹： $$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}A.$$
特征值的积等于行列式： $$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|.$$
$A$ 可逆当且仅当所有特征值非零。

8.1.3 特征子空间

属于特征值 $\lambda_0$ 的全部特征向量加上零向量构成的集合 $$E_{\lambda_0}={x\mid Ax=\lambda_0x}=\ker(\lambda_0I-A)$$ 称为 $A$ 的属于 $\lambda_0$ 的特征子空间。

$E_{\lambda_0}$ 是 $\mathbb{F}^n$ 的子空间。
几何重数： $$\dim E_{\lambda_0}=n-r(\lambda_0I-A).$$
代数重数：$\lambda_0$ 作为特征多项式根的重数。
总有 $$1\le\dim E_{\lambda_0}\le\text{代数重数}.$$
若几何重数小于代数重数，则矩阵不能对角化。

8.1.4 特征值与特征向量的求法

计算特征多项式 $f_A(\lambda)=|\lambda I-A|$。
解特征方程 $f_A(\lambda)=0$，求出全部特征值。
对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(\lambda_iI-A)x=0$。
写出基础解系，即为属于 $\lambda_i$ 的线性无关特征向量。
若需要，将所有特征向量单位化、正交化。

8.2 相似矩阵

8.2.1 定义

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵。若存在可逆矩阵 $P$，使 $$B=P^{-1}AP,$$ 则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$。

相似关系具有自反性、对称性、传递性。
相似矩阵描述同一个线性变换在不同基下的矩阵。
相似矩阵有相同的：
- 特征多项式；
- 特征值（计重数）；
- 迹；
- 行列式；
- 秩；
- 最小多项式。
相似矩阵不一定合同；实对称矩阵的正交相似也是合同。

8.2.2 相似不变量

若 $B=P^{-1}AP$，则 $$f_B(\lambda)=|\lambda I-P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda I-A)P|=f_A(\lambda).$$
因此相似矩阵的特征多项式相同。
反之，特征多项式相同不一定相似。例如 $$\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$$ 与 $I_2$ 的特征多项式都是 $(\lambda-1)^2$，但它们不相似（单位矩阵只与自身相似）。

8.2.3 相似与对角化

$A$ 可对角化当且仅当 $A$ 相似于对角矩阵： $$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).$$
此时 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。
对角矩阵 $\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 的特征值就是 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$。

8.3 可对角化的判别

8.3.1 基本判别法

$n$ 阶方阵 $A$ 可对角化当且仅当 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

等价条件：
1. $A$ 的特征多项式在数域上分解为一次因式的乘积，且每个特征值的几何重数等于代数重数；
2. 所有特征子空间的维数之和等于 $n$： $$\sum_{\lambda}\dim E_\lambda=n;$$
3. $A$ 相似于对角矩阵。

8.3.2 充分条件

若 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 可对角化。

属于不同特征值的特征向量线性无关。
因此，特征值互异是充分条件，不是必要条件。
例如 $I_n$ 只有特征值 $1$，但已是对角矩阵。

8.3.3 不可对角化的典型例子

$$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}.$$

特征多项式 $(\lambda-1)^2$，特征值 $1$（代数重数 $2$）。
特征子空间： $$E_1=\ker(I-A)=\ker\begin{pmatrix}0&-1\0&0\end{pmatrix} =\operatorname{span}{(1,0)},$$ 几何重数为 $1<2$。
故 $A$ 不可对角化。

8.3.4 对角化的步骤

求特征多项式及全部特征值。
对每个特征值求特征子空间的基础解系。
若所有特征子空间的维数之和等于 $n$，则把各基础解系按列排成 $P$。
则 $$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),$$ 其中对角元素的顺序与 $P$ 的列向量顺序一致。

8.4 哈密顿-凯莱定理

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$f_A(\lambda)=|\lambda I-A|$ 是它的特征多项式，则 $$f_A(A)=O.$$

即矩阵满足自己的特征方程。
对二阶矩阵 $A$： $$A^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)I=O.$$
哈密顿-凯莱定理可用于降低矩阵多项式的次数、求逆矩阵等。
由 $f_A(A)=O$，若 $A$ 可逆，则 $$A^{-1}=-\frac1{a_0}(A^{n-1}+a_1A^{n-2}+\cdots+a_{n-1}I),$$ 其中 $a_0=(-1)^n|A|\ne0$。

8.5 实对称矩阵

设 $A$ 为实对称矩阵，则：（1）$A$ 的特征值全是实数；（2）属于不同特征值的特征向量相互正交；（3）存在正交矩阵 $Q$，使 $$Q^{\mathrm T}AQ=Q^{-1}AQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).$$

实对称矩阵一定可正交对角化。
正交矩阵 $Q$ 的列向量是 $A$ 的一组标准正交特征向量。
若 $A$ 有重特征值，需对相应特征子空间作格拉姆-施密特正交化。
实对称矩阵的正、负特征值个数分别等于其正、负惯性指数。

8.6 最小多项式初步

使 $m(A)=O$ 的首一多项式 $m(\lambda)$ 中次数最低者称为 $A$ 的最小多项式，记作 $m_A(\lambda)$。

最小多项式存在且唯一。
最小多项式整除任何零化多项式，特别地 $$m_A(\lambda)\mid f_A(\lambda).$$
$m_A(\lambda)$ 与 $f_A(\lambda)$ 有相同的根（不计重数）。
$A$ 可对角化当且仅当 $m_A(\lambda)$ 是互不相同的一次因式之积： $$m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_s).$$
最小多项式的详细理论见第 12 章。

8.7 特征值的应用

8.7.1 矩阵的幂

若 $A$ 可对角化，$A=PDP^{-1}$，则 $$A^k=PD^kP^{-1}.$$

这比直接计算矩阵乘法简便得多。
若 $A$ 不可对角化，可用若尔当标准形计算 $A^k$（见第 11 章）。

8.7.2 矩阵函数

若 $f$ 是多项式或收敛的幂级数，且 $A=PDP^{-1}$，则 $$f(A)=P\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n))P^{-1}.$$

例如 $$\mathrm e^{A}=P\operatorname{diag}(\mathrm e^{\lambda_1},\dots,\mathrm e^{\lambda_n})P^{-1}.$$
矩阵函数在微分方程、线性系统和数值分析中有广泛应用。

8.7.3 差分方程与微分方程

线性差分方程组 $x_{k+1}=Ax_k$ 的解为 $x_k=A^kx_0$，可通过对角化求解。
线性微分方程组 $x'=Ax$ 的解为 $x(t)=\mathrm e^{At}x_0$。
特征值决定系统的稳定性：实部全为负时渐近稳定。

练习

求矩阵 $$\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$$ 的特征值和特征向量。
求矩阵 $$\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix}$$ 的特征值。
求矩阵 $$\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}$$ 在实数域和复数域上的特征值。
将矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&2\end{pmatrix}$$ 对角化。
判断矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$$ 是否可对角化，并说明理由。
对矩阵 $$A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix},$$ 验证特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式。
对矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix},$$ 验证哈密顿-凯莱定理。
求三角矩阵 $$\begin{pmatrix}1&0&0\2&2&0\3&4&3\end{pmatrix}$$ 的特征值。
证明：相似矩阵有相同的特征多项式。
求正交矩阵 $Q$，使 $$Q^{\mathrm T}\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}Q$$ 为对角矩阵。
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。证明 $\lambda^2$ 是 $A^2$ 的特征值。
设 $A$ 可逆，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值。证明 $\lambda^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值。

检测题

求矩阵 $$\begin{pmatrix}3&0\0&-1\end{pmatrix}$$ 的特征值和特征向量。
求矩阵 $$\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}$$ 的特征多项式。
将矩阵 $$A=\begin{pmatrix}2&0\1&3\end{pmatrix}$$ 对角化。
判断矩阵 $$\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$$ 是否可对角化。
对矩阵 $$A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix},$$ 验证哈密顿-凯莱定理。
设 $A\sim B$。证明 $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B$。
求矩阵 $$\begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix}$$ 在复数域上的特征值。
设 $A^2=I$。证明 $A$ 的特征值只能是 $1$ 或 $-1$（在复数域上）。
求正交矩阵 $Q$，使 $$Q^{\mathrm T}\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix}Q$$ 为对角矩阵。
求矩阵 $$\operatorname{diag}(1,2,2)$$ 的最小多项式。

参考答案与提示

特征多项式 $$|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&-1\-1&\lambda-2\end{vmatrix} =(\lambda-1)(\lambda-3).$$ 特征值为 $1,3$。属于 $1$ 的特征向量满足 $(I-A)x=0$，即 $-x-y=0$，故可取 $(1,-1)^{\mathrm T}$；属于 $3$ 的特征向量满足 $(3I-A)x=0$，即 $x-y=0$，故可取 $(1,1)^{\mathrm T}$。
特征多项式 $$(\lambda-1)^2-4=(\lambda-3)(\lambda+1),$$ 特征值为 $3,-1$。
特征多项式 $\lambda^2+1$。在 $\mathbb{R}$ 上无特征值；在 $\mathbb{C}$ 上特征值为 $\pm\mathrm i$。
特征值为 $1,2$。属于 $1$ 的特征向量可取 $(1,0)^{\mathrm T}$，属于 $2$ 的特征向量可取 $(1,1)^{\mathrm T}$。令 $$P=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix},$$ 则 $$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(1,2).$$
不可对角化。特征值只有 $1$，特征子空间 $$E_1=\operatorname{span}{(1,0)}$$ 的维数为 $1<2$，故没有两个线性无关的特征向量。
特征值为 $1,3$，和为 $4=\operatorname{tr}A$，积为 $3=|A|$。
特征多项式 $$|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\-3&\lambda-4\end{vmatrix} =\lambda^2-5\lambda-2.$$ 直接计算： $$A^2=\begin{pmatrix}7&10\15&22\end{pmatrix},\qquad 5A=\begin{pmatrix}5&10\15&20\end{pmatrix},\qquad 2I=\begin{pmatrix}2&0\0&2\end{pmatrix},$$ 故 $A^2-5A-2I=O$。
下三角矩阵的特征值为主对角线元素：$1,2,3$。
设 $B=P^{-1}AP$。则 $$|\lambda I-B|=|\lambda I-P^{-1}AP| =|P^{-1}(\lambda I-A)P|=|\lambda I-A|.$$
特征值为 $1,3$，对应单位特征向量分别为 $$\frac1{\sqrt2}(1,-1)^{\mathrm T},\qquad \frac1{\sqrt2}(1,1)^{\mathrm T}.$$ 令 $$Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\-1&1\end{pmatrix},$$ 则 $$Q^{\mathrm T}AQ=\operatorname{diag}(1,3).$$
由 $Ax=\lambda x$（$x\ne0$），得 $$A^2x=A(\lambda x)=\lambda Ax=\lambda^2x,$$ 故 $\lambda^2$ 是 $A^2$ 的特征值。
由 $Ax=\lambda x$，两边左乘 $A^{-1}$，得 $$x=\lambda A^{-1}x,$$ 即 $$A^{-1}x=\frac1\lambda x.$$ 故 $\lambda^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值。

检测题参考答案

特征值为 $3,-1$。属于 $3$ 的特征向量为 $(1,0)^{\mathrm T}$，属于 $-1$ 的特征向量为 $(0,1)^{\mathrm T}$。
$$|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1\-1&\lambda-1\end{vmatrix} =(\lambda-1)^2-1=\lambda(\lambda-2).$$
特征值为 $2,3$。属于 $2$ 的特征向量： $$(2I-A)=\begin{pmatrix}0&0\-1&-1\end{pmatrix},$$ 解得 $y=-x$，取 $(1,-1)$。属于 $3$ 的特征向量： $$(3I-A)=\begin{pmatrix}1&0\-1&0\end{pmatrix},$$ 解得 $x=0$，取 $(0,1)$。令 $$P=\begin{pmatrix}1&0\-1&1\end{pmatrix},$$ 则 $$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(2,3).$$
不可对角化。特征值只有 $1$，特征子空间维数为 $1<2$。
特征多项式 $$|\lambda I-A|=(\lambda-2)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3.$$ 直接计算得 $A^2-4A+3I=O$。
设 $B=P^{-1}AP$。由迹的性质， $$\operatorname{tr}B=\operatorname{tr}(P^{-1}AP) =\operatorname{tr}(APP^{-1})=\operatorname{tr}A.$$
特征多项式 $\lambda^2+1$，特征值为 $\pm\mathrm i$。
设 $Ax=\lambda x$（$x\ne0$）。则 $$x=A^2x=\lambda^2x,$$ 故 $\lambda^2=1$，即 $\lambda=\pm1$。
特征值为 $-1,3$。单位特征向量分别为 $$\frac1{\sqrt2}(1,-1)^{\mathrm T},\qquad \frac1{\sqrt2}(1,1)^{\mathrm T}.$$ 令 $$Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\-1&1\end{pmatrix},$$ 则 $$Q^{\mathrm T}\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix}Q =\operatorname{diag}(-1,3).$$
$\operatorname{diag}(1,2,2)$ 的最小多项式为 $$(\lambda-1)(\lambda-2).$$

第08章-特征值、相似与对角化

第 8 章 特征值、相似与对角化