第 11 章 λ-矩阵与若尔当标准形

本章整理 λ-矩阵、初等变换、史密斯标准形、不变因子与初等因子、特征矩阵以及若尔当标准形。若尔当标准形是复数域上矩阵相似分类的完整答案。

11.1 λ-矩阵

11.1.1 定义

元素为多项式环 $\mathbb{F}[\lambda]$ 中多项式的矩阵称为 λ-矩阵。

  • λ-矩阵可以作加法、数乘、乘法，但一般不能作除法。
  • λ-矩阵的行列式是 $\lambda$ 的多项式。
  • 若 λ-矩阵的行列式是非零常数，则称它可逆（在 $\mathbb{F}[\lambda]$ 上）。
  • 特征矩阵 $\lambda I-A$ 是最重要的 λ-矩阵。

11.1.2 初等变换

λ-矩阵的初等变换包括：

  1. 交换两行（列）。
  2. 用非零常数乘某一行（列）。
  3. 把某一行（列）的 $f(\lambda)$ 倍加到另一行（列）。
  • 与数字矩阵不同，第三种变换允许乘任意多项式，而不仅是常数。
  • 初等变换不改变 λ-矩阵的秩（在 $\mathbb{F}(\lambda)$ 上的秩）。

11.1.3 等价

若 λ-矩阵 $A(\lambda)$ 经过有限次初等变换化为 $B(\lambda)$，则称 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价。

  • 等价关系具有自反性、对称性、传递性。
  • 两个 $n$ 阶 λ-矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子。

11.2 史密斯标准形

11.2.1 史密斯标准形

任意 $m\times n$ λ-矩阵 $A(\lambda)$ 都等价于如下形式的对角矩阵： $$\begin{pmatrix} d_1(\lambda)&0&\cdots&0&\cdots&0\ 0&d_2(\lambda)&\cdots&0&\cdots&0\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\ 0&0&\cdots&d_r(\lambda)&\cdots&0\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots \end{pmatrix},$$ 其中 $d_i(\lambda)$ 是首一多项式，$r$ 是 $A(\lambda)$ 的秩，且 $$d_1(\lambda)\mid d_2(\lambda)\mid\cdots\mid d_r(\lambda).$$ 这些 $d_i(\lambda)$ 称为 $A(\lambda)$ 的不变因子。

  • 史密斯标准形在不计对角元素次序的意义下唯一。
  • 不变因子由 $A(\lambda)$ 唯一确定。

11.2.2 行列式因子

设 $D_k(\lambda)$ 为 $A(\lambda)$ 的全部 $k$ 阶子式的最大公因式（首一化），称为 $k$ 阶行列式因子。

  • $D_0=1$。
  • 不变因子与行列式因子的关系： $$d_1=D_1,\qquad d_2=\frac{D_2}{D_1},\qquad\dots,\qquad d_k=\frac{D_k}{D_{k-1}}.$$
  • $D_r(\lambda)$ 是 $A(\lambda)$ 的秩为 $r$ 时的最高阶非零行列式因子。
  • 行列式因子在初等变换下不变。

11.2.3 初等因子

把不变因子 $d_i(\lambda)$ 分解为不可约多项式的幂的乘积，所有这样的幂因子（包括重复出现的）称为初等因子。

  • 初等因子是形如 $p(\lambda)^k$ 的因子，其中 $p$ 不可约。
  • 在复数域上，初等因子形如 $(\lambda-\lambda_0)^k$。
  • 不变因子与初等因子互相确定。

11.3 特征矩阵与矩阵的不变因子

11.3.1 特征矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶数字矩阵，称 $$\lambda I-A$$ 为 $A$ 的特征矩阵。

  • 特征矩阵是 λ-矩阵。
  • 特征矩阵的行列式就是特征多项式： $$|\lambda I-A|=f_A(\lambda).$$
  • $A$ 的不变因子定义为 $\lambda I-A$ 的不变因子。

11.3.2 不变因子与特征多项式

设 $A$ 的不变因子为 $d_1(\lambda),\dots,d_n(\lambda)$，则： （1）特征多项式： $$f_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_n(\lambda);$$ （2）最小多项式： $$m_A(\lambda)=d_n(\lambda);$$ （3）$d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_n$。

  • $A$ 的特征值是不变因子的根。
  • $A$ 可对角化当且仅当所有不变因子都是一次因式的乘积且互不相同（等价地，初等因子全为一次）。
  • 两个数字矩阵相似当且仅当它们的特征矩阵有相同的不变因子（或相同的初等因子）。

11.3.3 相似分类

  • 在复数域上，矩阵的相似类由初等因子完全确定。
  • 每个初等因子 $(\lambda-\lambda_0)^k$ 对应一个 $k$ 阶若尔当块 $J_k(\lambda_0)$。
  • 因此，每个复矩阵都相似于一个若尔当标准形，且在不计块次序的意义下唯一。

11.4 若尔当标准形

11.4.1 若尔当块

形如 $$J_k(\lambda_0)=\begin{pmatrix} \lambda_0&1&0&\cdots&0\ 0&\lambda_0&1&\cdots&0\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\ 0&0&\cdots&\lambda_0&1\ 0&0&\cdots&0&\lambda_0 \end{pmatrix}_{k\times k}$$ 的矩阵称为 $k$ 阶若尔当块。

  • $J_k(\lambda_0)=\lambda_0I_k+N_k$，其中 $N_k$ 是 $k$ 阶幂零矩阵： $$N_k=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\ 0&0&1&\cdots&0\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\ 0&0&\cdots&0&1\ 0&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix},\qquad N_k^k=O.$$
  • $J_k(\lambda_0)$ 的特征多项式和最小多项式都是 $(\lambda-\lambda_0)^k$。

11.4.2 若尔当标准形

设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵。则存在可逆矩阵 $P$，使 $$P^{-1}AP=J=\operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1),\dots,J_{k_s}(\lambda_s)),$$ 其中 $J_{k_i}(\lambda_i)$ 为若尔当块。称 $J$ 为 $A$ 的若尔当标准形。

  • 若尔当标准形在不计若尔当块次序的意义下唯一。
  • 每个若尔当块对应一个初等因子 $(\lambda-\lambda_i)^{k_i}$。
  • 若 $A$ 可对角化，则所有若尔当块都是一阶的，即若尔当标准形为对角矩阵。

若尔当标准形的分块结构

11.4.3 若尔当块与特征值

对特征值 $\lambda_0$：

  • 若尔当块的个数等于几何重数： $$\dim E_{\lambda_0}=\dim\ker(A-\lambda_0I).$$
  • $\lambda_0$ 的代数重数等于对应若尔当块阶数之和。
  • 阶数至少为 $k$ 的若尔当块个数为 $$\dim\ker(A-\lambda_0I)^k-\dim\ker(A-\lambda_0I)^{k-1}.$$
  • 最大若尔当块的阶数等于 $\lambda_0$ 在最小多项式中的重数。

11.4.4 求若尔当标准形的步骤

  1. 求特征多项式，得到特征值及代数重数。
  2. 对每个特征值 $\lambda_0$，计算 $$\dim\ker(A-\lambda_0I),\quad \dim\ker(A-\lambda_0I)^2,\quad\dots$$
  3. 由这些维数确定各阶若尔当块的个数。
  4. 写出若尔当标准形。
  5. 若需要求过渡矩阵 $P$，需求出广义特征向量链： $$(A-\lambda_0I)^kv=0,\qquad (A-\lambda_0I)^{k-1}v\ne0.$$

11.4.5 广义特征向量

若 $(A-\lambda_0I)^kv=0$ 对某个正整数 $k$ 成立，则称 $v$ 为 $A$ 的属于 $\lambda_0$ 的广义特征向量。

  • 属于 $\lambda_0$ 的广义特征向量全体构成广义特征子空间： $$G_{\lambda_0}=\ker(A-\lambda_0I)^m,$$ 其中 $m$ 是 $\lambda_0$ 的代数重数。
  • 全空间分解为广义特征子空间的直和： $$\mathbb{C}^n=\bigoplus_{\lambda_0}G_{\lambda_0}.$$
  • 每个广义特征子空间可分解为若尔当链的直和。

11.5 实矩阵的若尔当标准形

  • 实矩阵的特征值可能为复数。若 $\lambda_0=a+b\mathrm i$ 是特征值，则 $\bar\lambda_0=a-b\mathrm i$ 也是。
  • 复共轭特征值对应的若尔当块可以合并为实若尔当块： $$\begin{pmatrix} C&I&0&\cdots&0\ 0&C&I&\cdots&0\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\ 0&0&\cdots&C&I\ 0&0&\cdots&0&C \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}a&-b\b&a\end{pmatrix}.$$
  • 实若尔当标准形在实相似意义下唯一。

11.6 若尔当标准形的应用

11.6.1 矩阵的幂

若 $A=PJP^{-1}$，则 $$A^k=PJ^kP^{-1}.$$

  • 若尔当块 $J_k(\lambda_0)=\lambda_0I+N$，则 $$J_k(\lambda_0)^m=\sum_{j=0}^{k-1}\mathrm C_m^j\lambda_0^{m-j}N^j.$$
  • 当 $m\ge k-1$ 时，$N^m=O$，故这是一个有限和。

11.6.2 矩阵函数

  • 对若尔当块， $$f(J_k(\lambda_0))=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{f^{(j)}(\lambda_0)}{j!}N^j.$$
  • 特别地， $$\mathrm e^{J_k(\lambda_0)t} =\mathrm e^{\lambda_0t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^j}{j!}N^j.$$
  • 这给出线性微分方程组 $x'=Ax$ 的解的结构。

11.6.3 差分方程

  • 线性差分方程组 $x_{m+1}=Ax_m$ 的解为 $$x_m=A^mx_0.$$
  • 若尔当标准形给出解的显式表达式，其中可能出现 $m^j\lambda^{m-j}$ 形式的项。

11.7 若尔当标准形与对角化

  • $A$ 可对角化当且仅当所有若尔当块都是一阶的。
  • 等价条件：
    • $A$ 的最小多项式无重根；
    • 每个特征值的几何重数等于代数重数；
    • $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
  • 若存在二阶及以上的若尔当块，则 $A$ 不可对角化。

练习

  1. 求 λ-矩阵 $$A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1\0&\lambda\end{pmatrix}$$ 的史密斯标准形。

  2. 求矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$$ 的不变因子。

  3. 求第 2 题中矩阵的若尔当标准形。

  4. 求矩阵 $$A=\begin{pmatrix}2&0\1&3\end{pmatrix}$$ 的若尔当标准形。

  5. 设 $A$ 的特征多项式为 $(\lambda-1)^3(\lambda-2)$，最小多项式为 $(\lambda-1)^2(\lambda-2)$。写出 $A$ 的若尔当标准形。

  6. 求若尔当块 $J_k(\lambda_0)$ 的特征多项式和最小多项式。

  7. 设 $A$ 的特征多项式为 $(\lambda-1)^3$，最小多项式为 $(\lambda-1)^2$。写出 $A$ 的若尔当标准形。

  8. 计算 $J_2(1)^{10}$。

  9. 证明：相似矩阵有相同的若尔当标准形（不计块的次序）。

  10. 证明：矩阵可对角化当且仅当其若尔当标准形中所有块都是一阶的。

  11. 求矩阵 $$\operatorname{diag}(1,2,2)$$ 的初等因子。

  12. 证明：若尔当标准形在不计块次序的意义下唯一。

检测题

  1. 求 λ-矩阵 $$A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda-1&0\0&(\lambda-1)^2\end{pmatrix}$$ 的史密斯标准形。

  2. 求矩阵 $$A=\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}$$ 在复数域上的不变因子和初等因子。

  3. 求矩阵 $$A=\begin{pmatrix}2&1\0&2\end{pmatrix}$$ 的若尔当标准形。

  4. 求矩阵 $$\operatorname{diag}(1,1,2)$$ 的若尔当标准形。

  5. 设 $A$ 的特征多项式为 $(\lambda-2)^4$，最小多项式为 $(\lambda-2)^2$，且 $\dim E_2=2$。写出 $A$ 的若尔当标准形。

  6. 计算 $J_3(0)^2$。

  7. 证明：矩阵的特征多项式等于其全部不变因子之积。

  8. 证明：矩阵的最小多项式等于其最大的不变因子。

  9. 证明：矩阵可对角化当且仅当其初等因子全为一次多项式。

  10. 设 $A$ 的初等因子为 $(\lambda-1)^2$、$(\lambda-1)$、$(\lambda-3)$。写出 $A$ 的若尔当标准形。

参考答案与提示

  1. 矩阵中已有元素 $1$，故一阶行列式因子 $D_1=1$。行列式为 $\lambda^2$，故 $D_2=\lambda^2$。于是 $$d_1=1,\qquad d_2=\lambda^2.$$ 史密斯标准形为 $$\begin{pmatrix}1&0\0&\lambda^2\end{pmatrix}.$$
  2. 特征矩阵 $$\lambda I-A=\begin{pmatrix}\lambda-1&-1\0&\lambda-1\end{pmatrix}.$$ 一阶行列式因子为 $1$，二阶为 $(\lambda-1)^2$，故不变因子为 $$d_1=1,\qquad d_2=(\lambda-1)^2.$$
  3. 初等因子为 $(\lambda-1)^2$，对应一个二阶若尔当块： $$J_2(1)=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}.$$
  4. 特征值为 $2,3$，互不相同，故可对角化，若尔当标准形为 $$\operatorname{diag}(2,3).$$
  5. 代数重数：$\lambda=1$ 为 $3$，$\lambda=2$ 为 $1$。最小多项式中 $(\lambda-1)$ 的重数为 $2$，故最大若尔当块为 $J_2(1)$；剩余一个 $1$ 对应的块为 $J_1(1)$。$\lambda=2$ 对应 $J_1(2)$。故 $$J=J_2(1)\oplus J_1(1)\oplus J_1(2).$$
  6. 特征多项式为 $(\lambda-\lambda_0)^k$。最小多项式也是 $(\lambda-\lambda_0)^k$，因为 $(J_k(\lambda_0)-\lambda_0I)^{k-1}\ne O$。
  7. 最大若尔当块阶数为 $2$，总阶数为 $3$，故 $$J=J_2(1)\oplus J_1(1).$$
  8. 写 $J_2(1)=I+N$，$N=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}$，$N^2=O$。则 $$J_2(1)^{10}=(I+N)^{10}=I+10N =\begin{pmatrix}1&10\0&1\end{pmatrix}.$$
  9. 相似矩阵有相同的特征矩阵的不变因子，因此初等因子相同，从而若尔当标准形相同（不计块次序）。
  10. 若所有块都是一阶的，则若尔当标准形为对角矩阵，故可对角化。反之，若可对角化，则存在对角矩阵 $D$ 与 $A$ 相似，而对角矩阵的若尔当块全为一阶。
  11. 特征矩阵为 $\operatorname{diag}(\lambda-1,\lambda-2,\lambda-2)$。初等因子为 $$\lambda-1,\quad\lambda-2,\quad\lambda-2.$$
  12. 若尔当标准形由初等因子唯一确定，而初等因子由特征矩阵的不变因子唯一确定，故若尔当标准形在不计块次序的意义下唯一。

检测题参考答案

  1. 对角元素为 $\lambda-1$ 和 $(\lambda-1)^2$，且 $\lambda-1\mid(\lambda-1)^2$，故已是史密斯标准形： $$\begin{pmatrix}\lambda-1&0\0&(\lambda-1)^2\end{pmatrix}.$$
  2. 特征多项式为 $\lambda^2+1=(\lambda-\mathrm i)(\lambda+\mathrm i)$。在 $\mathbb{C}$ 上不变因子为 $$d_1=1,\qquad d_2=\lambda^2+1,$$ 初等因子为 $$\lambda-\mathrm i,\qquad\lambda+\mathrm i.$$
  3. 特征值为 $2$（代数重数 $2$），特征子空间维数为 $1$，故有一个二阶块： $$J_2(2)=\begin{pmatrix}2&1\0&2\end{pmatrix}.$$
  4. 已是若尔当标准形： $$J_1(1)\oplus J_1(1)\oplus J_1(2) =\operatorname{diag}(1,1,2).$$
  5. 最小多项式为 $(\lambda-2)^2$，故最大块为 $J_2(2)$。总阶数为 $4$，几何重数为 $2$，说明有两个块，故 $$J=J_2(2)\oplus J_2(2).$$
  6. $$J_3(0)=\begin{pmatrix}0&1&0\0&0&1\0&0&0\end{pmatrix},\qquad J_3(0)^2=\begin{pmatrix}0&0&1\0&0&0\0&0&0\end{pmatrix}.$$
  7. 特征多项式等于特征矩阵的行列式，而史密斯标准形的行列式等于不变因子之积，故特征多项式等于全部不变因子之积。
  8. 最小多项式是使 $m(A)=O$ 的次数最低的首一多项式，它等于特征矩阵的最大不变因子 $d_n(\lambda)$。
  9. 可对角化当且仅当所有若尔当块都是一阶的，而若尔当块对应初等因子，故等价于初等因子全为一次多项式。
  10. 初等因子 $(\lambda-1)^2$ 对应 $J_2(1)$，$(\lambda-1)$ 对应 $J_1(1)$，$(\lambda-3)$ 对应 $J_1(3)$。故 $$J=J_2(1)\oplus J_1(1)\oplus J_1(3).$$