第 2 章 整式与因式分解

本章把七年级的代数式、整式加减，与八年级的幂的运算、整式乘法、乘法公式、因式分解合并为一条主线。整式乘法与因式分解是互逆变形，放在一起理解更清楚。

2.1 代数式与整式

2.1.1 代数式

用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。

  • 代数式中可以含有加、减、乘、除、乘方等运算。
  • 代数式不含等号、不等号，因此它不是方程，也不是不等式。
  • 用代数式表示数量关系时，要弄清运算顺序和字母的实际意义。

书写规范：

  1. 数字与字母相乘，乘号可以省略，数字写在字母前面，例如 $3a$。
  2. 字母与字母相乘，乘号可以省略，例如 $ab$。
  3. $1$ 与字母相乘，$1$ 省略不写，例如 $1a=a$。
  4. 带分数与字母相乘，通常把带分数化成假分数。
  5. 除法通常写成分数的形式。
  6. 代数式后面带单位时，如果代数式是加减形式，通常要加括号。

2.1.2 单项式

数与字母的积叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。

  • 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数。
  • 单项式中所有字母的指数的和叫这个单项式的次数。
  • 单项式的系数包括前面的符号。
  • 单独一个非零数的次数是 $0$。
  • 单项式的系数是 $1$ 或 $-1$ 时，$1$ 通常省略不写。

2.1.3 多项式

几个单项式的和叫多项式。

  • 多项式中的每一个单项式叫多项式的项。
  • 不含字母的项叫常数项。
  • 多项式中次数最高的项的次数，叫这个多项式的次数。
  • 多项式有几项，就叫几项式。
  • 单项式和多项式统称整式。

2.1.4 同类项与合并同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫同类项。所有的常数项都是同类项。

  • 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。
  • 合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
  • 合并同类项的依据是乘法分配律。
  • 合并同类项后，多项式的项数可能减少。

2.1.5 去括号与添括号

去括号：

  • 括号前是“$+$”号，去掉括号后，括号里各项的符号都不变。
  • 括号前是“$-$”号，去掉括号后，括号里各项的符号都要改变。
  • 括号前有系数时，先用乘法分配律把系数乘到括号内，再去括号。

添括号：

  • 添“$+$”括号，括到括号里的各项都不变号。
  • 添“$-$”括号，括到括号里的各项都改变符号。
  • 添括号和去括号是互逆变形。

2.2 幂的运算

2.2.1 同底数幂的乘法

$$ a^m\cdot a^n=a^{m+n}\quad(m,n\text{ 为正整数}) $$

  • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
  • 底数可以是数、字母或式子；只要底数相同，就可以使用。
  • 公式可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘。

2.2.2 幂的乘方

$$ (a^m)^n=a^{mn}\quad(m,n\text{ 为正整数}) $$

  • 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
  • 注意与同底数幂的乘法区分：乘法是指数相加，乘方是指数相乘。

2.2.3 积的乘方

$$ (ab)^n=a^n b^n\quad(n\text{ 为正整数}) $$

  • 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
  • 公式可以推广到三个或三个以上的因式。
  • 分式的乘方：$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$（$b\neq0$）。

2.2.4 同底数幂的除法

$$ a^m\div a^n=a^{m-n}\quad(a\neq0,\ m,n\text{ 为正整数},\ m>n) $$

  • 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
  • 当 $m=n$ 时，$a^m\div a^m=1$，规定 $a^0=1$（$a\neq0$）。
  • 当 $m<n$ 时，规定 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$，$n$ 为正整数）。
  • $0$ 不能作底数进行除法运算；$0^0$ 没有意义。

2.3 整式乘法

2.3.1 单项式乘单项式

  • 系数相乘，作为积的系数。
  • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
  • 只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。

2.3.2 单项式乘多项式

  • 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
  • 依据是乘法分配律：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$。
  • 注意符号：单项式的符号要连同它一起乘到每一项。

2.3.3 多项式乘多项式

$$ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd $$

  • 用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
  • 有同类项的要合并同类项。
  • 注意不要漏项、不要重复乘、不要弄错符号。

2.3.4 乘法公式

平方差公式：

$$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$

  • 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
  • 公式中的 $a,b$ 可以是数、字母或式子。

完全平方公式：

$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$

$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$

  • 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 $2$ 倍。
  • 注意中间项 $2ab$ 的符号与括号内的符号一致。

拓展公式：

$$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$

$$ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 $$

$$ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 $$

完全平方公式的面积解释

2.4 因式分解

2.4.1 因式分解的意义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

  • 因式分解与整式乘法是互逆变形。
  • 因式分解的结果必须是几个整式的积。
  • 因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。

2.4.2 提公因式法

  • 公因式的系数取各项系数的最大公因数。
  • 公因式的字母取各项都含有的字母，指数取最低次数。
  • 提公因式时，要把公因式提到括号外面，括号内保留原来的项；注意不要漏掉 $1$。
  • 如果多项式的第一项系数为负，通常先提出“$-$”号，使括号内第一项系数为正。

2.4.3 公式法

平方差公式：

$$ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $$

完全平方公式：

$$ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $$

$$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $$

  • 运用公式法时，要先观察多项式是否符合公式的结构。
  • 两项式通常考虑平方差；三项式通常考虑完全平方。
  • 公式中的 $a,b$ 可以是数、字母或式子。

2.4.4 十字相乘法（拓展）

对于二次三项式 $x^2+(p+q)x+pq$，有：

$$ x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) $$

  • 关键是找到两个数，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数。
  • 二次项系数不是 $1$ 时，也可以用十字相乘法，但需要同时分解二次项系数和常数项。

2.4.5 分组分解法（拓展）

  • 当多项式项数较多，不能直接提公因式或套公式时，可以把项分组，分别分解后再提取公因式。
  • 分组的原则是：分组后能继续分解，或分组后能出现公因式。
  • 分组分解没有固定模式，需要根据多项式的结构灵活选择。

2.4.6 因式分解的一般步骤

  1. 先看有没有公因式，有公因式先提公因式。
  2. 再看项数：两项考虑平方差，三项考虑完全平方或十字相乘。
  3. 检查每个因式是否还能继续分解。
  4. 最后把结果写成几个整式的积。

2.5 化简求值与整体代入

2.5.1 先化简，再求值

  • 求代数式的值时，通常先化简，再代入字母的值。
  • 化简时要注意去括号、合并同类项、运用乘法公式。
  • 代入时要注意运算顺序和符号，原来省略的乘号要还原。

2.5.2 整体代入

  • 当单个字母的值不容易求出，但某个式子的值已知时，可以把整个式子看作一个整体代入。
  • 常见的整体：$a+b$、$ab$、$a^2+b^2$、$a-b$ 等。
  • 利用乘法公式可以在整体之间转化：

$$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab $$

$$ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab $$

2.5.3 条件求值

  • 根据已知条件，把所求式子变形，使其含有已知的整体。
  • 注意条件的取值范围，避免增根或不符合条件的值。
  • 求值结果要检验是否符合原式。

2.6 用代数式表示规律

  • 用代数式表示规律时，先观察前几个具体图形或数列，找出相邻两项之间的关系。
  • 可以把序号 $n$ 与对应的数量列成表，寻找数量与 $n$ 的关系。
  • 常见的规律：等差规律、平方规律、图形周长/面积规律。
  • 得到代数式后，要用后面的图形或数据验证。

练习

  1. 列代数式。 （1）$a$ 与 $b$ 的平方和。 （2）$a$ 的 $2$ 倍与 $b$ 的差。 （3）比 $x$ 的 $3$ 倍多 $5$ 的数。 （4）一个两位数，十位数字是 $a$，个位数字是 $b$。

  2. 指出下列单项式的系数和次数。 （1）$-\frac{3}{5}x^2y$ （2）$\pi r^2$ （3）$-a$ （4）$2^3x$

  3. 指出下列多项式的项、常数项和次数。 （1）$3x^2-2x+1$ （2）$-a^3b+2ab-1$

  4. 合并同类项。 （1）$3a^2b-2ab^2+5a^2b-4ab^2$ （2）$2x-3y+4x-5y$

  5. 去括号并化简。 （1）$2(x-3)-3(2x+1)$ （2）$3a-[2a-(a-1)]$

  6. 计算。 （1）$a^3\cdot a^4$ （2）$(a^2)^3$ （3）$(-2a^2b)^3$ （4）$a^6\div a^2$ （5）$(\pi-3)^0$ （6）$2^{-2}$

  7. 计算。 （1）$(x+2)(x-3)$ （2）$(2a-3b)(2a+3b)$ （3）$(x+2y)^2$ （4）$(3a-1)^2$

  8. 用简便方法计算。 （1）$102\times98$ （2）$99^2$

  9. 因式分解。 （1）$6a^2b-3ab$ （2）$x^2-9$ （3）$4x^2+4x+1$ （4）$2x^2-8$ （5）$x^2+5x+6$

  10. 先化简，再求值： $$2(x+1)^2-(x+2)(x-2),$$ 其中 $x=-\frac{1}{2}$。

  11. 已知 $a+b=5$，$ab=3$，求 $a^2+b^2$ 和 $(a-b)^2$ 的值。

  12. 观察下列图形规律：第 $1$ 个图形用 $3$ 根小棒，第 $2$ 个图形用 $5$ 根小棒，第 $3$ 个图形用 $7$ 根小棒，以后每个图形比前一个多 $2$ 根小棒。 （1）第 $n$ 个图形用多少根小棒？ （2）第 $10$ 个图形用多少根小棒？

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）单项式 $-3x^2y$ 的系数是 $-3$，次数是 $3$。 （2）多项式 $2x^2-3x+1$ 的次数是 $2$。 （3）$3a^2b$ 与 $-2ab^2$ 是同类项。 （4）$a^3\cdot a^2=a^6$。 （5）$(a+b)^2=a^2+b^2$。

  2. 计算。 （1）$(2x^2y)^3\div(4xy)$ （2）$(x-2)(x+2)-(x-1)^2$

  3. 因式分解。 （1）$3x^2-12x+12$ （2）$a^3-a$ （3）$x^2-4xy+4y^2$

  4. 先化简，再求值： $$(a+2b)^2-(a-b)(a+b)-5b^2,$$ 其中 $a=1$，$b=-1$。

  5. 已知 $x+y=4$，$xy=1$，求 $x^2+y^2$ 和 $(x-y)^2$ 的值。

  6. 用简便方法计算：$2024^2-2023\times2025$。

  7. 观察下列等式： $$1=1^2,\qquad 1+3=2^2,\qquad 1+3+5=3^2,\qquad 1+3+5+7=4^2.$$ （1）写出第 $n$ 个等式。 （2）计算 $1+3+5+\cdots+99$。

  8. 说明 $(a+b)^2$ 与 $a^2+b^2$ 是否相等，并说明理由。再说明因式分解为什么要分解到不能再分解为止。

  9. 写出满足下列条件的整式各一个。 （1）一个含 $x^2$ 项、一次项和常数项的二次三项式。 （2）一个能用平方差公式因式分解的二项式。 （3）一个能用完全平方公式因式分解的三项式。

  10. 一个长方形的长为 $a+2$，宽为 $a-2$。 （1）用含 $a$ 的式子表示它的面积。 （2）当 $a=5$ 时，求面积和周长。

参考答案与提示

  1. （1）$a^2+b^2$；（2）$2a-b$；（3）$3x+5$；（4）$10a+b$。
  2. （1）系数 $-\frac{3}{5}$，次数 $3$；（2）系数 $\pi$，次数 $2$；（3）系数 $-1$，次数 $1$；（4）系数 $8$，次数 $1$。
  3. （1）项：$3x^2,-2x,1$；常数项 $1$；次数 $2$。（2）项：$-a^3b,2ab,-1$；常数项 $-1$；次数 $4$。
  4. （1）$8a^2b-6ab^2$；（2）$6x-8y$。
  5. （1）$2x-6-6x-3=-4x-9$；（2）$3a-(2a-a+1)=3a-(a+1)=2a-1$。
  6. （1）$a^7$；（2）$a^6$；（3）$-8a^6b^3$；（4）$a^4$；（5）$1$；（6）$\frac{1}{4}$。
  7. （1）$x^2-x-6$；（2）$4a^2-9b^2$；（3）$x^2+4xy+4y^2$；（4）$9a^2-6a+1$。
  8. （1）$(100+2)(100-2)=10000-4=9996$；（2）$(100-1)^2=10000-200+1=9801$。
  9. （1）$3ab(2a-1)$；（2）$(x+3)(x-3)$；（3）$(2x+1)^2$；（4）$2(x+2)(x-2)$；（5）$(x+2)(x+3)$。
  10. 原式 $=2(x^2+2x+1)-(x^2-4)=x^2+4x+6$。当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，原式 $=\frac{1}{4}-2+6=\frac{17}{4}$。
  11. $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-6=19$；$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=25-12=13$。
  12. （1）$2n+1$；（2）$21$。

检测题参考答案

  1. （1）正确。系数是 $-3$，字母指数和为 $2+1=3$。（2）正确。最高次项 $2x^2$ 的次数是 $2$。（3）错误。两个单项式所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项。（4）错误。$a^3\cdot a^2=a^{3+2}=a^5$。（5）错误。$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，比 $a^2+b^2$ 多 $2ab$。
  2. （1）$(2x^2y)^3=8x^6y^3$，除以 $4xy$ 得 $2x^5y^2$。（2）$(x^2-4)-(x^2-2x+1)=2x-5$。
  3. （1）$3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2$；（2）$a(a^2-1)=a(a+1)(a-1)$；（3）$(x-2y)^2$。
  4. 原式 $=a^2+4ab+4b^2-(a^2-b^2)-5b^2=4ab$。当 $a=1,b=-1$ 时，原式 $=-4$。
  5. $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=16-2=14$；$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=16-4=12$。
  6. 设 $a=2024$，则 $2023=a-1$，$2025=a+1$，原式 $=a^2-(a-1)(a+1)=a^2-(a^2-1)=1$。
  7. （1）$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$；（2）$1+3+5+\cdots+99=50^2=2500$。
  8. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，当 $ab\neq0$ 时，它与 $a^2+b^2$ 不相等；只有 $ab=0$ 时才相等。因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，否则结果不是最简形式，也不符合“化成几个整式的积”的要求。
  9. 示例：（1）$2x^2-3x+1$；（2）$x^2-4$；（3）$x^2+2x+1$。
  10. （1）面积 $=(a+2)(a-2)=a^2-4$；（2）当 $a=5$ 时，面积 $=25-4=21$，周长 $=2[(a+2)+(a-2)]=4a=20$。