第 12 章 综合与实践

本章不再引入新的知识块，而是把前面的方程、不等式、函数、几何、统计与概率整合起来，集中讲数学建模的步骤和几类常见模型。重点是“把实际问题转化成数学问题，再用数学方法解决”。

12.1 数学建模

12.1.1 什么是数学建模

用数学语言描述实际问题，建立数学关系，求出结果，再回到实际问题中检验，这个过程叫数学建模。

  • 数学建模不是脱离实际的纯计算，而是从实际情境中抽象出数量关系。
  • 同一个实际问题，可以用不同的数学模型描述；选择模型时，要抓住主要因素，忽略次要因素。
  • 模型的结果要回到实际中检验，符合实际意义才算有效。

12.1.2 数学建模的一般步骤

  1. 审题：弄清实际问题的背景、已知条件、所求目标和限制条件。
  2. 设变量：用字母表示关键数量，注明单位。
  3. 建立模型：根据数量关系列出方程、不等式、函数、几何关系或统计模型。
  4. 求解模型：用代数、几何或统计方法求出结果。
  5. 检验结果：检查结果是否符合数学关系，是否符合实际意义。
  6. 作答：写出实际问题的答案，注明单位。

12.1.3 常见模型

  • 方程模型：找等量关系，列方程（组）。
  • 不等式模型：找不等关系，列不等式（组）。
  • 函数模型：找变量之间的对应关系，利用函数图像和性质求最值。
  • 几何模型：利用全等、相似、勾股定理、三角函数、圆的性质。
  • 统计模型：收集、整理、分析数据，用样本估计总体。
  • 概率模型：计算随机事件发生的概率，判断游戏是否公平。

12.2 方程与不等式模型

12.2.1 方程模型

  • 关键是找出等量关系。
  • 常见等量关系：总量 $=$ 各部分之和、路程 $=$ 速度 $\times$ 时间、工作总量 $=$ 工作效率 $\times$ 工作时间、利润 $=$ 售价 $-$ 成本。
  • 设未知数时，可以直接设所求量，也可以间接设与所求量有关的量。
  • 解出结果后，要检验是否符合实际意义。

12.2.2 不等式模型

  • 关键是找出不等关系。
  • 常见关键词：至少、至多、不超过、不低于、不少于、不多于。
  • 根据关键词选择“$>$”“$<$”“$\ge$”“$\le$”。
  • 解出解集后，要结合实际情况取整数解或确定取值范围。

12.2.3 方案选择

  • 分别表示不同方案的数量关系。
  • 通过方程求“临界点”，通过不等式比较不同范围下的优劣。
  • 有时需要分类讨论，注意自变量的取值范围。
  • 方案选择不仅要比较数学结果，还要考虑实际条件。

12.3 函数模型与最值

12.3.1 一次函数模型

  • 一次函数 $y=kx+b$ 在给定区间上的最值，通常在区间的端点处取得。
  • 如果 $k>0$，函数在区间上单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。
  • 如果 $k<0$，函数在区间上单调递减，最大值在左端点，最小值在右端点。
  • 一次函数常用于费用、行程、均匀变化等问题。

12.3.2 二次函数模型

  • 二次函数的最值可以在顶点处取得，也可以在区间的端点处取得。
  • 先求对称轴和顶点，再判断顶点是否在自变量的取值范围内。
  • 如果顶点在范围内，比较顶点和端点的函数值；如果顶点不在范围内，最值在端点处取得。
  • 常见最值问题：面积最大、利润最大、费用最低。

12.3.3 反比例函数模型

  • 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 常用于乘积一定的问题。
  • 在实际问题中，自变量通常取正数，图像只取第一象限的一支。
  • 反比例函数没有最大值和最小值，但可以结合取值范围分析变化趋势。

12.4 几何模型

12.4.1 最短路径

  • 两点之间线段最短。
  • 直线外一点到直线的垂线段最短。
  • 在直线同侧有两个点，要在直线上找一点使到两点的距离之和最小，可以用轴对称：作一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求。
  • 立体图形表面上的最短路径，常把立体图形展开成平面图形，再用“两点之间线段最短”或勾股定理。

12.4.2 测量问题

  • 利用相似三角形：同一时刻物高与影长成比例；镜面反射；构造相似三角形测距离。
  • 利用锐角三角函数：仰角、俯角、坡度、方向角。
  • 测量问题要画出示意图，构造直角三角形，注明观测点和水平线。
  • 结果要符合实际，注意是否需要加上观测者的高度。

12.4.3 面积与长度最值

  • 利用二次函数求面积最大、周长最小等问题。
  • 利用勾股定理、相似、三角函数建立变量之间的关系。
  • 注意自变量的取值范围，例如长度必须为正数，边长不能超过周长的一半。

12.4.4 动点问题

  • 设动点运动的时间或路程为自变量，用含自变量的式子表示相关线段。
  • 根据几何关系列出方程或函数关系式。
  • 注意动点的运动范围，必要时分段讨论。
  • 求出结果后，要检验是否符合几何条件和实际意义。

12.5 统计与概率模型

12.5.1 统计模型

  • 通过抽样调查收集数据，用统计图表整理数据。
  • 用平均数、中位数、众数、方差分析数据。
  • 用样本估计总体，注意样本的代表性和样本容量。
  • 统计分析要客观全面，不能只看平均数或个别数据。

12.5.2 概率模型

  • 用列表法或树状图列出所有等可能结果。
  • 计算随机事件的概率。
  • 判断游戏是否公平：比较双方获胜的概率是否相等。
  • 用频率估计概率时，要进行大量重复试验。

12.6 课题学习选讲

12.6.1 平面镶嵌

  • 平面镶嵌的条件：围绕同一点的各多边形内角之和等于 $360^\circ$。
  • 正三角形、正方形、正六边形可以单独镶嵌。
  • 正五边形不能单独镶嵌。
  • 组合镶嵌时，要计算不同正多边形内角的组合。

12.6.2 黄金分割

  • 黄金比：

$$ \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618 $$

  • 黄金分割点在建筑、艺术、摄影中有广泛应用。
  • 利用黄金比可以求线段长度、设计图案。

12.6.3 中点四边形

  • 任意四边形的中点四边形是平行四边形。
  • 对角线相等时，中点四边形是菱形。
  • 对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。
  • 对角线相等且互相垂直时，中点四边形是正方形。

12.6.4 测量旗杆高度

  • 利用同一时刻物高与影长成比例。
  • 利用相似三角形或锐角三角函数。
  • 测量时要记录影长、观测距离、仰角等数据，并注意单位统一。

12.7 常用数学思想方法

  • 数形结合：把数量关系与图形结合起来，利用图像、图形直观理解问题。
  • 分类讨论：当条件不确定时，按不同情况分别讨论。
  • 转化思想：把复杂问题转化为简单问题，把未知转化为已知。
  • 方程与函数思想：用方程或函数描述数量关系，通过解方程或研究函数解决问题。
  • 整体思想：把某个式子或图形看作一个整体，简化计算。
  • 模型思想：从实际问题中抽象出数学模型，再用数学方法解决。

练习

  1. 数学建模的一般步骤是什么？请按顺序写出来，并说明每一步的作用。

  2. 某通信公司有两种套餐： A 套餐：月租 $30$ 元，每分钟通话费 $0.2$ 元； B 套餐：无月租，每分钟通话费 $0.4$ 元。 设每月通话时间为 $x$ 分钟。 （1）分别写出两种套餐的费用。 （2）每月通话多少分钟时，两种套餐费用相同？ （3）每月通话多少分钟时，A 套餐更便宜？

  3. 用一根长 $40$ 厘米的铁丝围成一个长方形，设长为 $x$ 厘米，面积为 $S$ 平方厘米。 （1）写出 $S$ 与 $x$ 的函数关系式。 （2）求面积的最大值，并说明此时长方形的形状。

  4. 在点 $A$ 处测得楼顶的仰角为 $30^\circ$，向楼的方向前进 $20$ 米到达点 $B$，测得楼顶的仰角为 $45^\circ$。求楼高（忽略观测者高度）。

  5. 某校抽样调查了 $400$ 名学生，其中 $240$ 人支持某项活动。若该校共有 $5000$ 名学生，估计支持该活动的学生人数。

  6. 一个家庭有两个孩子，假设生男生女的可能性相同。求： （1）两个孩子都是男孩的概率； （2）至少有一个男孩的概率。

  7. 判断下列正多边形能否单独镶嵌平面，并说明理由。 （1）正三角形 （2）正方形 （3）正五边形 （4）正六边形

  8. 某运输公司要运 $40$ 吨货物，大车每辆载 $8$ 吨，运费 $500$ 元；小车每辆载 $5$ 吨，运费 $300$ 元。要求每辆车都装满，且总运费最低。 （1）设大车 $x$ 辆，小车 $y$ 辆，列出方程。 （2）求所有符合条件的整数解。 （3）选择哪种方案运费最低？

  9. 设计一个调查方案，了解本校学生每天完成作业所需的时间。 （1）你准备采用什么调查方式？ （2）总体、个体、样本分别是什么？ （3）你准备用什么统计图表示结果？为什么？

  10. 说明数学建模中“检验结果”的必要性，并举例说明如果不检验可能出什么问题。

  11. 某商场有两种促销方案： A 方案：商品一律打八折； B 方案：购物满 $200$ 元后，立减 $50$ 元。 设购物原价为 $x$ 元（$x\ge200$）。 （1）分别写出两种方案的实际付款金额。 （2）购物原价为多少元时，两种方案付款相同？ （3）购物原价在什么范围时，A 方案更划算？

  12. 某商品的成本是 $40$ 元/件，售价是 $x$ 元/件，销售量是 $(200-2x)$ 件（$50\le x\le100$）。 （1）写出利润 $y$ 与售价 $x$ 的函数关系式。 （2）售价定为多少元时，利润最大？最大利润是多少？

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）数学建模的最后一步是“作答”，不需要检验。 （2）一次函数在给定区间上的最值一定在顶点处取得。 （3）二次函数的最值一定在顶点处取得。 （4）用样本估计总体时，样本要有代表性。 （5）判断游戏是否公平，要看双方获胜的概率是否相等。

  2. 某商店有两种优惠方案： A 方案：一律打九折； B 方案：购物满 $300$ 元后，立减 $40$ 元。 设购物原价为 $x$ 元（$x\ge300$）。 （1）分别写出两种方案的实际付款金额。 （2）购物原价为多少元时，两种方案付款相同？ （3）购物原价在什么范围时，B 方案更划算？

  3. 用一根长 $24$ 米的篱笆靠墙围成一个矩形花园，墙足够长，篱笆只围三面。设垂直于墙的一边长为 $x$ 米，面积为 $S$ 平方米。 （1）写出 $S$ 与 $x$ 的函数关系式。 （2）求面积的最大值，并说明此时矩形的长和宽。

  4. 在点 $A$ 处测得楼顶的仰角为 $30^\circ$，向楼的方向前进 $10$ 米到达点 $B$，测得楼顶的仰角为 $60^\circ$。求楼高（忽略观测者高度）。

  5. 某校抽样调查了 $500$ 名学生，其中 $300$ 人喜欢阅读。若该校共有 $4000$ 名学生，估计喜欢阅读的学生人数。

  6. 一个不透明袋子里有 $2$ 个红球、$2$ 个白球，球除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，不放回，再摸出一个球。求两次都摸到红球的概率。

  7. 正三角形、正方形、正六边形中，哪些可以单独镶嵌平面？为什么？

  8. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 用一根长 $20$ 厘米的铁丝围成一个长方形，设长为 $x$ 厘米，则面积 $S=x(10-x)$。因为 $x$ 可以取任意实数，所以当 $x=5$ 时，面积最大。

  9. 设计一个公平的游戏，并说明理由。

  10. 某商品的成本是 $30$ 元/件，售价是 $x$ 元/件，销售量是 $(100-2x)$ 件（$30\le x\le50$）。 （1）写出利润 $y$ 与售价 $x$ 的函数关系式。 （2）售价定为多少元时，利润最大？最大利润是多少？

参考答案与提示

  1. 审题、设变量、建立模型、求解模型、检验结果、作答。审题是弄清题意；设变量是把实际数量转化为字母；建立模型是列出数学关系；求解模型是用数学方法计算；检验结果是检查是否符合数学关系和实际意义；作答是写出实际答案。
  2. （1）A：$30+0.2x$ 元，B：$0.4x$ 元；（2）$30+0.2x=0.4x$，$x=150$ 分钟；（3）$30+0.2x<0.4x$，$x>150$ 分钟。
  3. （1）宽为 $20-x$，$S=x(20-x)=-x^2+20x$（$0<x<20$）；（2）$S=-(x-10)^2+100$，当 $x=10$ 时，面积最大为 $100$ 平方厘米，此时是正方形。
  4. 设楼高为 $h$ 米，点 $B$ 到楼底的距离为 $d$ 米。由 $\tan45^\circ=\frac{h}{d}$ 得 $h=d$；点 $A$ 到楼底的距离为 $d+20=h+20$，由 $\tan30^\circ=\frac{h}{h+20}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得 $h=10(\sqrt{3}+1)$ 米。
  5. 样本比例 $240\div400=60%$，估计全校 $5000\times60%=3000$ 人。
  6. 两个孩子性别的等可能结果为（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）。（1）都是男孩的概率 $\frac{1}{4}$；（2）至少有一个男孩的概率 $\frac{3}{4}$。
  7. （1）能，$6\times60^\circ=360^\circ$；（2）能，$4\times90^\circ=360^\circ$；（3）不能，$108^\circ$ 不能拼成 $360^\circ$；（4）能，$3\times120^\circ=360^\circ$。
  8. （1）$8x+5y=40$；（2）$x=0,y=8$ 或 $x=5,y=0$；（3）方案一：$8$ 辆小车，运费 $8\times300=2400$ 元；方案二：$5$ 辆大车，运费 $5\times500=2500$ 元。所以用 $8$ 辆小车运费最低。
  9. 示例：（1）抽样调查；（2）总体是全校学生每天完成作业所需的时间，个体是每一名学生每天完成作业所需的时间，样本是抽取的部分学生每天完成作业所需的时间；（3）用频数分布直方图表示，因为要反映时间的分布情况。
  10. 建模的结果可能不符合实际意义，例如求出的人数为负数、长度为负数、时间超过一天等；也可能不符合题目限制条件。检验可以发现这些问题，避免把不合理的数学结果当成实际答案。示例：用方程求出人数为小数，或求出长度为负数，都需要舍去或重新检查模型。
  11. （1）A：$0.8x$ 元，B：$x-50$ 元；（2）$0.8x=x-50$，$x=250$ 元；（3）$0.8x<x-50$，$x>250$，所以购物原价大于 $250$ 元时，A 方案更划算。
  12. （1）$y=(x-40)(200-2x)=-2x^2+280x-8000$（$50\le x\le100$）；（2）$y=-2(x-70)^2+1800$，当 $x=70$ 时，利润最大为 $1800$ 元。

检测题参考答案

  1. （1）错误。数学建模最后要检验结果是否符合实际意义，不能只作答。（2）错误。一次函数在给定区间上的最值通常在端点处取得，不是顶点。（3）错误。二次函数的最值不一定在顶点处取得；如果顶点不在自变量取值范围内，最值在端点处取得。（4）正确。样本有代表性，才能较好地估计总体。（5）正确。游戏公平要求双方获胜的概率相等。
  2. （1）A：$0.9x$ 元，B：$x-40$ 元；（2）$0.9x=x-40$，$x=400$ 元；（3）B 方案更划算，即 $x-40<0.9x$，$0.1x<40$，$x<400$；结合 $x\ge300$，当 $300\le x<400$ 时，B 方案更划算。
  3. （1）垂直于墙的一边为 $x$ 米，平行于墙的一边为 $24-2x$ 米，$S=x(24-2x)=-2x^2+24x$（$0<x<12$）；（2）$S=-2(x-6)^2+72$，当 $x=6$ 时，面积最大为 $72$ 平方米，此时垂直于墙的边长为 $6$ 米，平行于墙的边长为 $12$ 米。
  4. 设楼高为 $h$，点 $B$ 到楼底的距离为 $d$。由 $\tan60^\circ=\frac{h}{d}$ 得 $d=\frac{h}{\sqrt{3}}$；由 $\tan30^\circ=\frac{h}{d+10}$ 得 $\frac{h}{d+10}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。代入 $d=\frac{h}{\sqrt{3}}$，解得 $h=5\sqrt{3}$ 米。
  5. 样本比例 $300\div500=60%$，估计全校 $4000\times60%=2400$ 人。
  6. 不放回摸两次，所有等可能结果有 $4\times3=12$ 种；两次都摸到红球有 $2\times1=2$ 种，概率 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
  7. 正三角形、正方形、正六边形都能单独镶嵌。因为正三角形每个内角 $60^\circ$，$6\times60^\circ=360^\circ$；正方形每个内角 $90^\circ$，$4\times90^\circ=360^\circ$；正六边形每个内角 $120^\circ$，$3\times120^\circ=360^\circ$。
  8. 不正确。虽然 $x=5$ 时面积最大，但 $x$ 不能取任意实数；$x$ 是长方形的长，必须满足 $0<x<10$，且 $x=5$ 时宽也是 $5$，符合实际。因此结论正确，但“$x$ 可以取任意实数”的说法错误，必须注意自变量的取值范围。
  9. 示例：掷一枚质地均匀的骰子，点数大于 $3$ 甲赢，点数小于或等于 $3$ 乙赢；双方获胜的概率都是 $\frac{1}{2}$，游戏公平。
  10. （1）$y=(x-30)(100-2x)=-2x^2+160x-3000$（$30\le x\le50$）；（2）$y=-2(x-40)^2+200$，当 $x=40$ 时，利润最大为 $200$ 元。