第 1 章有理数与实数

本章把七年级的有理数、平方根与立方根、八年级的实数合并为一条主线：先从有理数及其运算出发，再引入无理数，把数系扩充到实数。

1.1 有理数

1.1.1 正数、负数与有理数

大于 $0$ 的数叫正数；在正数前面加上“$-$”号的数叫负数；$0$ 既不是正数，也不是负数。

正数前面可以加“$+$”号，也可以省略；负数前面的“$-$”号不能省略。
$0$ 是正数和负数的分界点。
整数和分数统称有理数。

有理数的分类：

整数：正整数、$0$、负整数。
分数：正分数、负分数。
有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数。
有理数也可以按正负分类：正有理数、$0$、负有理数。

1.1.2 数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。
数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大。
每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的点不都表示有理数（以后会学到无理数）。

数轴与实数

1.1.3 相反数

只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个叫另一个的相反数。

$a$ 的相反数是 $-a$；$0$ 的相反数是 $0$。
互为相反数的两个数的和为 $0$，即 $a+(-a)=0$。
在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。

1.1.4 绝对值

数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离，叫数 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$。

$$ |a|=\begin{cases}a,&a\ge0\-a,&a<0\end{cases} $$

绝对值表示距离，所以 $|a|\ge0$。
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；$0$ 的绝对值是 $0$。
互为相反数的两个数的绝对值相等，即 $|-a|=|a|$。
绝对值等于正数 $k$ 的数有两个：$k$ 和 $-k$；绝对值等于 $0$ 的数只有 $0$。

1.1.5 有理数的大小比较

正数大于 $0$，$0$ 大于负数，正数大于一切负数。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
在数轴上，右边的数总比左边的数大。

1.2 有理数的运算

1.2.1 加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值相等时和为 $0$；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同 $0$ 相加，仍得这个数。
加法交换律：$a+b=b+a$。
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$。

1.2.2 减法

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

$$ a-b=a+(-b) $$

减法可以转化为加法，统一成加法后再运用加法法则。
被减数 $-$ 减数 $=$ 差；差 $+$ 减数 $=$ 被减数。

1.2.3 乘法与除法

乘法：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同 $0$ 相乘，都得 $0$。
乘法交换律：$ab=ba$。
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$。
乘法分配律：$a(b+c)=ab+ac$。

倒数：

乘积是 $1$ 的两个数互为倒数。
$a$ 的倒数是 $\frac{1}{a}$（$a\neq0$）；$0$ 没有倒数。

除法：

除以一个不为 $0$ 的数，等于乘这个数的倒数：

$$ a\div b=a\times\frac{1}{b}\quad(b\neq0) $$

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
$0$ 除以任何非零数都得 $0$；$0$ 不能作除数。

1.2.4 乘方

求 $n$ 个相同因数的积的运算叫乘方，记作 $a^n$，其中 $a$ 叫底数，$n$ 叫指数，$a^n$ 叫幂。

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}_{n\text{ 个 }a}$（$n$ 为正整数）。
正数的任何正整数次幂都是正数。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
$0$ 的正整数次幂都是 $0$。
任何非零数的 $0$ 次幂都等于 $1$，即 $a^0=1$（$a\neq0$）；$0^0$ 没有意义。
负整数指数幂：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$，$n$ 为正整数）。

注意：

$-a^n$ 表示 $-(a^n)$，底数是 $a$；$(-a)^n$ 表示 $-a$ 的 $n$ 次幂，底数是 $-a$。二者不同。
分数的乘方要加括号，例如 $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$（$b\neq0$）。

1.2.5 混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减。
同级运算从左到右依次进行。
有括号的先算括号里面的，括号从小括号到中括号依次进行。
能运用运算律简化计算的，要先化简。

1.2.6 科学记数法与近似数

科学记数法：

把一个数表示成 $a\times10^n$ 的形式，其中 $1\le|a|<10$，$n$ 为整数，叫科学记数法。

绝对值大于或等于 $10$ 的数，$n$ 为正整数。
绝对值小于 $1$ 的正数，$n$ 为负整数。
$a$ 的整数位只有一位。

近似数与有效数字：

近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。
精确到哪一位，就是把这个数四舍五入到那一位。
一个近似数，从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有数字都是这个近似数的有效数字。
近似数末尾的 $0$ 表示精确到的数位，不能随意去掉。

1.3 平方根与立方根

1.3.1 算术平方根

如果一个正数 $x$ 的平方等于 $a$，即 $x^2=a$，那么正数 $x$ 叫 $a$ 的算术平方根，记作 $\sqrt{a}$。

规定 $0$ 的算术平方根是 $0$。
负数没有算术平方根。
$\sqrt{a}\ge0$（$a\ge0$）。
$(\sqrt{a})^2=a$（$a\ge0$）。

1.3.2 平方根

如果一个数 $x$ 的平方等于 $a$，即 $x^2=a$，那么 $x$ 叫 $a$ 的平方根。

正数有两个平方根，它们互为相反数，记作 $\pm\sqrt{a}$。
$0$ 的平方根是 $0$。
负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫开平方；平方与开平方互为逆运算。

重要性质：

$$ \sqrt{a^2}=|a| $$

当 $a\ge0$ 时，$\sqrt{a^2}=a$；当 $a<0$ 时，$\sqrt{a^2}=-a$。
注意 $\sqrt{a^2}$ 与 $(\sqrt{a})^2$ 的区别：前者对任意实数 $a$ 都有意义，后者要求 $a\ge0$。

1.3.3 立方根

如果一个数 $x$ 的立方等于 $a$，即 $x^3=a$，那么 $x$ 叫 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$。

任何实数都有立方根，且立方根只有一个。
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；$0$ 的立方根是 $0$。
$(\sqrt[3]{a})^3=a$。
$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。
求一个数的立方根的运算叫开立方；立方与开立方互为逆运算。

1.4 实数

1.4.1 无理数

无限不循环小数叫无理数。

无理数不能表示成两个整数之比，所以它不是有理数。
常见的无理数：$\pi$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$0.1010010001\cdots$（相邻两个 $1$ 之间 $0$ 的个数逐次增加）等。
有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数；无理数都是无限不循环小数。

1.4.2 实数的分类

有理数和无理数统称实数。

实数分为有理数和无理数；有理数又分为整数和分数。
实数也可以按正负分类：正实数、$0$、负实数。
实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。

1.4.3 实数的性质与运算

实数可以比较大小；在数轴上，右边的数总比左边的数大。
实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数相同。
有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方运算律和运算顺序，在实数范围内同样适用。
实数运算的结果可能是有理数，也可能是无理数。
进行实数运算时，要根据题目要求取近似值；没有特别说明时，应保留准确值或按题目规定的精确度取值。

1.4.4 非负性

对于任意实数 $a$，$a^2\ge0$，$|a|\ge0$。
对于 $a\ge0$，$\sqrt{a}\ge0$。
如果几个非负数之和等于 $0$，那么每一个非负数都等于 $0$。即：

$$ a^2+|b|+\sqrt{c}=0\quad\Longrightarrow\quad a=0,\ b=0,\ c=0 $$

非负性是解决求值、求字母取值范围等问题的重要依据。

1.4.5 估算

估算无理数的大小时，可以用“夹逼”的方法：找出与它相邻的两个有理数。
例如，估计 $\sqrt{n}$ 时，可以先找出两个相邻整数的平方，使 $n$ 介于它们之间。
估计 $\sqrt[3]{n}$ 时，可以找出两个相邻整数的立方，使 $n$ 介于它们之间。
估算结果要符合题目要求的精确度。

练习

把下列各数分类： $$-3.5,\quad 0,\quad \frac{22}{7},\quad \sqrt{9},\quad \pi,\quad -\sqrt{2},\quad 0.1010010001\cdots,\quad 3.14,\quad -\frac{2}{3}$$ （1）有理数有哪些？（2）无理数有哪些？（3）正数有哪些？负数有哪些？
在数轴上表示下列各数，并写出它们的相反数和绝对值： $$-2,\quad 0,\quad 1.5,\quad \sqrt{2}$$
比较下面各组数的大小。（1）$-\frac{3}{4}$ 与 $-\frac{2}{3}$ （2）$\sqrt{5}$ 与 $2.2$ （3）$\pi$ 与 $3.14$ （4）$-\sqrt{3}$ 与 $-1.7$
计算。（1）$(-2)^3+(-3)^2-|-4|$ （2）$-2^2+(-2)^2$ （3）$\left(-\frac{1}{2}\right)^3\times8$ （4）$-3^2\div\left(-\frac{1}{3}\right)$
用科学记数法表示下列各数，或把科学记数法表示的数还原。（1）$0.000036$ （2）$2.5\times10^6$ （3）$3.20\times10^4$ 有几个有效数字？
求下列各式的值。（1）$\sqrt{81}$ （2）$-\sqrt{16}$ （3）$\sqrt[3]{-27}$ （4）$\sqrt{(-5)^2}$ （5）$(\sqrt{7})^2$
计算。（1）$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$ （2）$\sqrt{0.09}$ （3）$-\sqrt{\frac{1}{4}}$ （4）$\sqrt{10^6}$
估算。（1）$\sqrt{30}$ 在哪两个相邻整数之间？（2）$\sqrt[3]{50}$ 在哪两个相邻整数之间？（3）$\sqrt{17}$ 在哪两个相邻整数之间？它与 $4.1$ 相比哪个大？
计算：$|\sqrt{2}-1|+|1-\sqrt{2}|$。
若 $|x-2|+\sqrt{y+3}=0$，求 $x+y$ 的值。
某地某天的最高气温是 $8^\circ\mathrm{C}$，最低气温是 $-3^\circ\mathrm{C}$。（1）这一天最高气温比最低气温高多少摄氏度？（2）这一天的最低气温比 $0^\circ\mathrm{C}$ 低多少摄氏度？
说明 $0.1010010001\cdots$ 为什么是无理数。

检测题

判断下面各题，并说明理由。（1）有理数都是有限小数。（2）无理数都是无限小数。（3）一个数的绝对值一定是正数。（4）负数没有平方根。（5）$\sqrt{a^2}=a$。
已知 $|a|=3$，$|b|=2$，且 $a<b$，求 $a,b$ 的值。把所有可能的情况写出来。
计算：$-1^{2024}+(-1)^{2025}+|-2|$。
若 $(x+1)^2+\sqrt{y-2}=0$，求 $x^y$ 的值。
已知 $\sqrt{a}=3$，$\sqrt[3]{b}=-2$，$\sqrt{c}=0$，求 $a+b+c$ 的值。
不用计算器，判断 $\sqrt{17}$ 在哪两个一位小数之间，并说明理由。
用科学记数法表示 $0.00000025$，并把 $3.2\times10^{-3}$ 还原成小数；分别指出它们的有效数字。
说明 $\sqrt{a^2}=|a|$，并解释为什么不能写成 $\sqrt{a^2}=a$。
写出满足下列条件的数各一个。（1）一个大于 $1$ 且小于 $2$ 的无理数。（2）一个大于 $1$ 且小于 $2$ 的有理数。（3）一个绝对值等于 $5$ 的负整数。
一个正方形的面积是 $5$。（1）它的边长是多少？（2）边长在哪两个相邻整数之间？（3）它的周长是多少？周长在哪两个相邻整数之间？

参考答案与提示

（1）有理数：$-3.5,0,\frac{22}{7},\sqrt{9},3.14,-\frac{2}{3}$；（2）无理数：$\pi,-\sqrt{2},0.1010010001\cdots$；（3）正数：$\frac{22}{7},\sqrt{9},\pi,0.1010010001\cdots,3.14$；负数：$-3.5,-\sqrt{2},-\frac{2}{3}$。
数轴略。相反数分别为 $2,0,-1.5,-\sqrt{2}$；绝对值分别为 $2,0,1.5,\sqrt{2}$。
（1）$-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}$；（2）$\sqrt{5}>2.2$；（3）$\pi>3.14$；（4）$-\sqrt{3}<-1.7$。
（1）$-8+9-4=-3$；（2）$-4+4=0$；（3）$-\frac{1}{8}\times8=-1$；（4）$-9\times(-3)=27$。
（1）$3.6\times10^{-5}$；（2）$2500000$；（3）$3$ 个有效数字。
（1）$9$；（2）$-4$；（3）$-3$；（4）$5$；（5）$7$。
（1）$\frac{2}{3}$；（2）$0.3$；（3）$-\frac{1}{2}$；（4）$1000$。
（1）$5$ 和 $6$ 之间；（2）$3$ 和 $4$ 之间；（3）$4$ 和 $5$ 之间；因为 $4.1^2=16.81<17$，所以 $\sqrt{17}>4.1$。
$\sqrt{2}-1+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}-2$。
由非负性得 $x-2=0$，$y+3=0$，所以 $x=2$，$y=-3$，$x+y=-1$。
（1）$8-(-3)=11^\circ\mathrm{C}$；（2）最低气温比 $0^\circ\mathrm{C}$ 低 $3^\circ\mathrm{C}$。
它是无限小数，且小数部分没有循环节，不是无限循环小数；有理数只能是有限小数或无限循环小数，所以它是无理数。

检测题参考答案

（1）错误。有理数包括有限小数和无限循环小数，例如 $\frac{1}{3}=0.\overline{3}$ 是无限循环小数，但也是有理数。（2）正确。无理数是无限不循环小数，所以一定是无限小数。（3）错误。$0$ 的绝对值是 $0$，不是正数。（4）正确。任何实数的平方都不小于 $0$，负数不能表示成某个实数的平方，所以负数没有平方根。（5）错误。$\sqrt{a^2}=|a|$，当 $a<0$ 时等于 $-a$，不一定等于 $a$。
由 $|a|=3$ 得 $a=\pm3$，由 $|b|=2$ 得 $b=\pm2$。又 $a<b$，当 $a=3$ 时没有满足条件的 $b$；当 $a=-3$ 时，$b=-2$ 或 $b=2$ 都满足 $-3<2$ 和 $-3<-2$。所以 $(a,b)=(-3,-2)$ 或 $(-3,2)$。
$-1^{2024}=-(1)=-1$，$(-1)^{2025}=-1$，$|-2|=2$，所以原式 $=-1-1+2=0$。
由非负性得 $x+1=0$，$y-2=0$，所以 $x=-1$，$y=2$，$x^y=(-1)^2=1$。
$a=9$，$b=-8$，$c=0$，所以 $a+b+c=1$。
因为 $4^2=16<17<25=5^2$，所以 $4<\sqrt{17}<5$。又 $4.1^2=16.81<17<17.64=4.2^2$，所以 $4.1<\sqrt{17}<4.2$。
$0.00000025=2.5\times10^{-7}$；$3.2\times10^{-3}=0.0032$。$2.5\times10^{-7}$ 的有效数字是 $2,5$；$3.2\times10^{-3}$ 的有效数字是 $3,2$。
因为 $\sqrt{a^2}$ 表示 $a^2$ 的算术平方根，结果必须非负；而 $|a|$ 也表示非负数，且 $|a|^2=a^2$。当 $a\ge0$ 时，$\sqrt{a^2}=a=|a|$；当 $a<0$ 时，$\sqrt{a^2}=-a=|a|$。所以 $\sqrt{a^2}=|a|$。如果写成 $\sqrt{a^2}=a$，当 $a<0$ 时右边为负数，而算术平方根不能为负数，所以不成立。
示例：（1）$\sqrt{2}$（或 $\sqrt{3}$、$\frac{\pi}{2}$）；（2）$\frac{3}{2}$（或 $1.5$）；（3）$-5$。
（1）边长 $\sqrt{5}$；（2）因为 $2^2=4<5<9=3^2$，所以 $2<\sqrt{5}<3$；（3）周长 $4\sqrt{5}$，因为 $8^2=64<80=(4\sqrt{5})^2<81=9^2$，所以 $8<4\sqrt{5}<9$，即周长在 $8$ 和 $9$ 之间。

第01章-有理数与实数

第 1 章 有理数与实数