第 5 章函数

本章把七年级的平面直角坐标系、八年级的一次函数与反比例函数、九年级的二次函数合并为一条主线。函数研究的是两个变量之间的对应关系，图像是研究函数性质的重要工具。

5.1 平面直角坐标系

5.1.1 有序数对与坐标

有顺序的两个数 $a$ 与 $b$ 组成的数对，叫有序数对，记作 $(a,b)$。

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴叫 $x$ 轴（横轴），竖直的数轴叫 $y$ 轴（纵轴），交点叫原点 $O$。
平面内的点可以用一对有序实数 $(x,y)$ 表示，$x$ 叫横坐标，$y$ 叫纵坐标。
有序数对 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 一般表示不同的点。

5.1.2 象限与特殊点的坐标

$x$ 轴和 $y$ 轴把平面分成四个象限，从右上角开始，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限。
第一象限：$(+,+)$；第二象限：$(-,+)$；第三象限：$(-,-)$；第四象限：$(+,-)$。
$x$ 轴上的点纵坐标为 $0$，即 $(x,0)$；$y$ 轴上的点横坐标为 $0$，即 $(0,y)$。
原点坐标为 $(0,0)$。
点 $P(x,y)$ 到 $x$ 轴的距离是 $|y|$，到 $y$ 轴的距离是 $|x|$。

5.1.3 对称点的坐标

点 $P(x,y)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是 $(x,-y)$。
点 $P(x,y)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是 $(-x,y)$。
点 $P(x,y)$ 关于原点对称的点的坐标是 $(-x,-y)$。
关于 $x$ 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于 $y$ 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标都互为相反数。

5.2 函数

5.2.1 变量与函数

在一个变化过程中，有两个变量 $x,y$，如果对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 都有唯一确定的值与之对应，那么 $y$ 是 $x$ 的函数，$x$ 叫自变量。

函数反映的是两个变量之间的对应关系。
对于自变量 $x$ 的每一个值，函数 $y$ 只能有一个值与之对应。
函数值：当自变量取某个值时，函数对应的值叫函数值。
函数关系可以用解析式、表格、图像表示。

5.2.2 自变量的取值范围

整式型函数，自变量一般取全体实数。
分式型函数，分母不能为 $0$。
二次根式型函数，被开方数必须大于或等于 $0$。
实际问题中的函数，自变量要符合实际意义，例如人数取正整数、长度取正数。
同时含有分母和二次根式时，要同时满足两个条件。

5.2.3 函数的图像

把自变量 $x$ 的值与对应的函数值 $y$ 作为点的坐标，在坐标系中描出这些点，再用平滑曲线或直线连接，得到函数的图像。
画函数图像的一般步骤：列表、描点、连线。
函数图像可以直观地反映函数的增减性、最值、与坐标轴的交点等性质。
判断一个点是否在函数图像上，把点的坐标代入函数解析式，看是否成立。

5.3 一次函数

5.3.1 一次函数与正比例函数

形如 $y=kx+b$（$k,b$ 是常数，$k\neq0$）的函数，叫一次函数。

当 $b=0$ 时，$y=kx$（$k\neq0$）叫正比例函数。

正比例函数是一次函数的特殊情况。
一次函数的自变量取值范围是全体实数。
一次函数解析式中，$k\neq0$；$b$ 可以为 $0$。

5.3.2 一次函数的图像与性质

一次函数 $y=kx+b$ 的图像是一条直线。
画一次函数图像时，通常取两个点，例如与坐标轴的交点。
$k$ 决定直线的倾斜方向和增减性：
- $k>0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，直线从左下向右上倾斜；
- $k<0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，直线从左上向右下倾斜。
$b$ 决定直线与 $y$ 轴的交点：
- $b>0$ 时，直线与 $y$ 轴正半轴相交；
- $b<0$ 时，直线与 $y$ 轴负半轴相交；
- $b=0$ 时，直线经过原点。
一次函数与 $x$ 轴的交点是 $\left(-\frac{b}{k},0\right)$，与 $y$ 轴的交点是 $(0,b)$。

经过象限：

$k>0,b>0$：第一、二、三象限。
$k>0,b<0$：第一、三、四象限。
$k<0,b>0$：第一、二、四象限。
$k<0,b<0$：第二、三、四象限。

一次函数的图像

5.3.3 待定系数法

设一次函数解析式为 $y=kx+b$。
把已知的两对 $x,y$ 的值代入，得到关于 $k,b$ 的二元一次方程组。
解方程组，求出 $k,b$。
把 $k,b$ 代回解析式，得到一次函数解析式。
检验所求解析式是否满足已知条件。

5.3.4 一次函数与方程、不等式

一次函数 $y=kx+b$ 的图像与 $x$ 轴交点的横坐标，就是方程 $kx+b=0$ 的解。
当 $kx+b>0$ 时，图像在 $x$ 轴上方；当 $kx+b<0$ 时，图像在 $x$ 轴下方。
两个一次函数图像的交点坐标，就是由它们的解析式组成的方程组的解。
利用图像可以直观地比较两个函数值的大小。

5.3.5 一次函数的应用

一次函数常用于描述均匀变化的问题，例如匀速运动、固定收费加按量收费等。
建立一次函数模型时，要先确定自变量和函数，再根据题意写出解析式，并注明自变量的取值范围。
求最值或方案选择时，可以结合一次函数的增减性分析。

5.4 反比例函数

5.4.1 反比例函数的意义

形如 $y=\frac{k}{x}$（$k$ 是常数，$k\neq0$）的函数，叫反比例函数。

反比例函数的自变量 $x\neq0$，函数值 $y\neq0$。
$k$ 叫比例系数，$k\neq0$。
反比例函数也可以写成 $xy=k$ 的形式。

5.4.2 反比例函数的图像与性质

反比例函数的图像是双曲线，由两支组成，关于原点对称。
当 $k>0$ 时，图像位于第一、三象限；在每一支上，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
当 $k<0$ 时，图像位于第二、四象限；在每一支上，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
反比例函数的图像与坐标轴没有交点。
图像是曲线，不能与坐标轴相交，也不能画成折线。

反比例函数的图像

5.4.3 k 的几何意义

过反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图像上任意一点 $P(x,y)$，分别向 $x$ 轴、$y$ 轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 $|k|$。
连接点 $P$ 与原点，以及点 $P$ 到一条坐标轴的垂线，所围成的三角形面积等于 $\frac{|k|}{2}$。
$k$ 的符号决定图像所在的象限，$|k|$ 决定矩形的面积。

5.4.4 反比例函数的应用

反比例函数常用于描述乘积一定的问题，例如路程一定时速度与时间、工作总量一定时工作效率与工作时间、面积一定时长与宽。
建立反比例函数模型时，要先判断两个量的乘积是否一定，再设 $y=\frac{k}{x}$，用待定系数法求 $k$。
实际问题中，自变量要符合实际意义，通常取正数。

5.5 二次函数

5.5.1 二次函数的意义

形如 $y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$ 是常数，$a\neq0$）的函数，叫二次函数。

$a$ 叫二次项系数，$b$ 叫一次项系数，$c$ 叫常数项。
二次函数中 $a\neq0$；$b,c$ 可以为 $0$。
二次函数的自变量取值范围一般是全体实数；实际问题中要符合实际意义。

5.5.2 二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线。
当 $a>0$ 时，抛物线开口向上，顶点是图像的最低点，函数有最小值。
当 $a<0$ 时，抛物线开口向下，顶点是图像的最高点，函数有最大值。
抛物线是轴对称图形，对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$。
顶点坐标是：

$$ \left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right) $$

二次函数的图像

5.5.3 二次函数的三种形式

一般式：

$$ y=ax^2+bx+c\quad(a\neq0) $$

顶点式：

$$ y=a(x-h)^2+k\quad(a\neq0) $$

对称轴是直线 $x=h$，顶点坐标是 $(h,k)$。
顶点式便于直接看出顶点和对称轴。

交点式：

$$ y=a(x-x_1)(x-x_2)\quad(a\neq0) $$

$x_1,x_2$ 是抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标。
交点式适用于已知抛物线与 $x$ 轴两个交点的情况。

5.5.4 二次函数的性质

当 $a>0$ 时，在对称轴左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；在对称轴右侧，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
当 $a<0$ 时，在对称轴左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；在对称轴右侧，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时，函数取得最大值或最小值：

$$ y_{\text{最值}}=\frac{4ac-b^2}{4a} $$

当 $a>0$ 时，这是最小值；当 $a<0$ 时，这是最大值。

5.5.5 二次函数图像的平移

把抛物线 $y=ax^2$ 向左（或向右）平移 $|h|$ 个单位，得到 $y=a(x-h)^2$；向右平移 $h>0$，向左平移 $h<0$。
再向上（或向下）平移 $|k|$ 个单位，得到 $y=a(x-h)^2+k$；向上平移 $k>0$，向下平移 $k<0$。
口诀：左加右减，上加下减。
平移不改变抛物线的形状和开口方向，只改变顶点位置。

5.5.6 二次函数与一元二次方程

抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标，就是方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根。
判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 决定抛物线与 $x$ 轴的交点个数：
- $\Delta>0$：有两个交点；
- $\Delta=0$：有一个交点（顶点在 $x$ 轴上）；
- $\Delta<0$：没有交点。
抛物线在 $x$ 轴上方的部分对应 $ax^2+bx+c>0$，在 $x$ 轴下方的部分对应 $ax^2+bx+c<0$。

5.5.7 二次函数的应用

面积最值：根据周长或边长关系列出二次函数，利用顶点求最值。
利润最值：利润 $=$ 单件利润 $\times$ 销售量，列出二次函数，利用顶点求最大利润。
抛物线形实际问题：桥拱、喷水、投篮等，可以建立坐标系，用二次函数解决。
实际问题中，要注意自变量的取值范围，最值不一定在顶点处取得。

5.6 函数与方程、不等式

函数图像与 $x$ 轴交点的横坐标，对应相应方程的解。
函数图像在 $x$ 轴上方或下方的部分，对应不等式的解集。
两个函数图像的交点坐标，对应由两个函数解析式组成的方程组的解。
利用函数图像解方程或不等式，体现了数形结合的思想。
图像法只能得到近似解；需要精确解时，仍要用代数方法。

5.7 函数模型

一次函数模型：两个变量均匀变化，或变化率一定。
反比例函数模型：两个变量的乘积一定。
二次函数模型：涉及面积、利润等最值问题，或变量之间呈二次关系。
分段函数模型：不同区间内对应关系不同，要分别写出各段解析式，并注明分段点。
建模步骤：审题、设变量、列函数关系式、确定自变量取值范围、画图或求解、检验结果。

练习

在平面直角坐标系中，点 $A(-2,3)$、$B(0,-4)$、$C(3,0)$ 分别位于什么位置？写出它们关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称的点的坐标。
求下列函数中自变量 $x$ 的取值范围。（1）$y=\frac{1}{x-2}$ （2）$y=\sqrt{x+1}$ （3）$y=\frac{x}{x-3}$ （4）$y=\sqrt{2-x}$
已知一次函数 $y=-2x+3$。（1）它的图像经过哪几个象限？（2）$y$ 随 $x$ 的增大而增大还是减小？（3）求它与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点坐标。（4）画出它的图像。
已知一次函数的图像经过点 $(1,3)$ 和 $(-1,-1)$，求这个一次函数的解析式。
已知一次函数 $y=2x-4$。（1）求它与 $x$ 轴的交点坐标。（2）求不等式 $2x-4>0$ 的解集。（3）当 $x$ 取何值时，$y<0$？
已知反比例函数 $y=\frac{6}{x}$。（1）它的图像位于哪几个象限？（2）在每一支上，$y$ 随 $x$ 的增大而增大还是减小？（3）点 $(2,3)$ 是否在它的图像上？（4）过图像上一点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积是多少？
已知反比例函数的图像经过点 $(2,-3)$，求它的解析式。
已知二次函数 $y=x^2-4x+3$。（1）求它的开口方向、对称轴和顶点坐标。（2）求它与 $x$ 轴的交点坐标。（3）求它的最小值。
已知二次函数的顶点是 $(1,-2)$，且经过点 $(0,1)$，求它的解析式。
已知二次函数 $y=x^2-2x-3$。（1）求它与 $x$ 轴的交点坐标。（2）求不等式 $x^2-2x-3>0$ 的解集。（3）求不等式 $x^2-2x-3<0$ 的解集。
解决实际问题。（1）某地出租车起步价为 $8$ 元（含 $3$ 千米），超过 $3$ 千米的部分每千米收费 $2$ 元。写出车费 $y$（元）与行驶路程 $x$（千米，$x\ge3$）之间的函数关系式，并求行驶 $10$ 千米时的车费。（2）用一根长 $20$ 厘米的铁丝围成一个长方形，设长为 $x$ 厘米，面积为 $S$ 平方厘米。写出 $S$ 与 $x$ 的函数关系式，并求面积的最大值。
某市水费规定：每户每月用水不超过 $10$ 吨时，每吨 $2$ 元；超过 $10$ 吨时，超过部分每吨 $3$ 元。设某户每月用水 $x$ 吨，水费为 $y$ 元。（1）写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式。（2）求用水 $15$ 吨时的水费。

检测题

判断下面各题，并说明理由。（1）$y=2x+1$ 是一次函数。（2）反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 中，$k$ 可以等于 $0$。（3）反比例函数的图像是双曲线。（4）二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 中，$a$ 可以等于 $0$。（5）一次函数 $y=-2x+3$ 中，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
点 $A(-3,2)$ 在第几象限？写出它关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称的点的坐标。
已知一次函数的图像经过点 $(0,2)$ 和 $(3,0)$。（1）求它的解析式。（2）求它与 $x$ 轴的交点坐标。（3）说明 $y$ 随 $x$ 的变化情况。（4）说明它的图像经过哪几个象限。
已知反比例函数 $y=-\frac{4}{x}$。（1）它的图像位于哪几个象限？（2）在每一支上，$y$ 随 $x$ 的增大而增大还是减小？（3）点 $(2,-2)$ 是否在图像上？点 $(1,4)$ 呢？（4）$|k|$ 的几何意义是什么？
已知二次函数 $y=-x^2+4x-3$。（1）求它的开口方向、对称轴和顶点坐标。（2）求它的最大值。（3）求它与 $x$ 轴的交点坐标。
已知二次函数 $y=x^2-2x-3$。（1）求它与 $x$ 轴的交点坐标。（2）利用图像说明 $x^2-2x-3>0$ 和 $x^2-2x-3<0$ 的解集。
某工厂生产一种产品，每件成本为 $10$ 元，固定成本为 $200$ 元。产品的售价为每件 $15$ 元，设产量为 $x$ 件，利润为 $y$ 元。（1）写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式。（2）产量至少为多少件时，工厂不亏本？（3）产量为多少件时，利润为 $300$ 元？
下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。已知函数 $y=(m-1)x^2+2x-1$ 是二次函数，求 $m$ 的取值范围。解：因为 $m-1>0$，所以 $m>1$。
写出满足下列条件的函数各一个。（1）一个 $y$ 随 $x$ 的增大而减小的一次函数。（2）一个图像位于第二、四象限的反比例函数。（3）一个顶点为 $(1,2)$、开口向上的二次函数。
某商场促销：购买某商品不超过 $100$ 件时，每件 $20$ 元；超过 $100$ 件时，超过部分每件 $15$ 元。设购买 $x$ 件，付款 $y$ 元。（1）写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式。（2）计算购买 $200$ 件时的付款金额。

参考答案与提示

$A(-2,3)$ 在第二象限；$B(0,-4)$ 在 $y$ 轴负半轴；$C(3,0)$ 在 $x$ 轴正半轴。关于 $x$ 轴对称：$A'(-2,-3)$、$B'(0,4)$、$C'(3,0)$；关于 $y$ 轴对称：$A''(2,3)$、$B''(0,-4)$、$C''(-3,0)$；关于原点对称：$A''' (2,-3)$、$B''' (0,4)$、$C''' (-3,0)$。
（1）$x\neq2$；（2）$x\ge-1$；（3）$x\neq3$；（4）$x\le2$。
（1）第一、二、四象限；（2）$y$ 随 $x$ 的增大而减小；（3）与 $x$ 轴交点 $\left(\frac{3}{2},0\right)$，与 $y$ 轴交点 $(0,3)$；（4）图略。
设 $y=kx+b$，代入 $(1,3)$、$(-1,-1)$，得 $\begin{cases}k+b=3\-k+b=-1\end{cases}$，解得 $k=2,b=1$，所以 $y=2x+1$。
（1）$(2,0)$；（2）$x>2$；（3）$x<2$。
（1）第一、三象限；（2）在每一支上，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；（3）在，因为 $2\times3=6$；（4）$6$。
设 $y=\frac{k}{x}$，代入 $(2,-3)$，得 $k=-6$，所以 $y=-\frac{6}{x}$。
（1）$y=(x-2)^2-1$，开口向上，对称轴 $x=2$，顶点 $(2,-1)$；（2）与 $x$ 轴交点 $(1,0)$、$(3,0)$；（3）最小值 $-1$。
设 $y=a(x-1)^2-2$，代入 $(0,1)$，得 $1=a-2$，$a=3$，所以 $y=3(x-1)^2-2=3x^2-6x+1$。
（1）$y=(x-3)(x+1)$，与 $x$ 轴交点 $(-1,0)$、$(3,0)$；（2）$x<-1$ 或 $x>3$；（3）$-1<x<3$。
（1）$y=8+2(x-3)=2x+2$（$x\ge3$）；当 $x=10$ 时，$y=22$ 元。（2）宽为 $10-x$，$S=x(10-x)=-x^2+10x=-(x-5)^2+25$，当 $x=5$ 时，面积最大为 $25$ 平方厘米。
（1）当 $0\le x\le10$ 时，$y=2x$；当 $x>10$ 时，$y=20+3(x-10)=3x-10$。（2）当 $x=15$ 时，$y=3\times15-10=35$ 元。

检测题参考答案

（1）正确。它符合 $y=kx+b$（$k\neq0$）的形式。（2）错误。反比例函数中 $k\neq0$，否则 $y=0$，不是反比例函数。（3）正确。反比例函数的图像是双曲线。（4）错误。二次函数中 $a\neq0$，否则就不是二次函数。（5）错误。$k=-2<0$，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
第二象限；关于 $x$ 轴对称：$(-3,-2)$；关于 $y$ 轴对称：$(3,2)$；关于原点对称：$(3,-2)$。
（1）设 $y=kx+b$，代入 $(0,2)$、$(3,0)$，得 $b=2$，$3k+2=0$，$k=-\frac{2}{3}$，所以 $y=-\frac{2}{3}x+2$；（2）与 $x$ 轴交点 $(3,0)$；（3）$k<0$，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；（4）第一、二、四象限。
（1）第二、四象限；（2）在每一支上，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；（3）点 $(2,-2)$ 在图像上，因为 $2\times(-2)=-4$；点 $(1,4)$ 不在图像上，因为 $1\times4=4\neq-4$；（4）$|k|$ 表示过图像上一点向坐标轴作垂线围成的矩形面积，$|k|=4$。
（1）$y=-(x-2)^2+1$，开口向下，对称轴 $x=2$，顶点 $(2,1)$；（2）最大值 $1$；（3）与 $x$ 轴交点 $(1,0)$、$(3,0)$。
（1）$(-1,0)$、$(3,0)$；（2）$x^2-2x-3>0$ 的解集为 $x<-1$ 或 $x>3$；$x^2-2x-3<0$ 的解集为 $-1<x<3$。
（1）$y=15x-(10x+200)=5x-200$；（2）令 $y\ge0$，$5x-200\ge0$，$x\ge40$，所以至少生产 $40$ 件不亏本；（3）$5x-200=300$，$x=100$，产量为 $100$ 件。
不正确。二次函数要求二次项系数不为 $0$，即 $m-1\neq0$，所以 $m\neq1$；题目并没有要求 $m-1>0$，$m<1$ 时仍然是二次函数。
示例：（1）$y=-x+1$；（2）$y=-\frac{1}{x}$；（3）$y=(x-1)^2+2$。
（1）当 $0\le x\le100$ 时，$y=20x$；当 $x>100$ 时，$y=100\times20+15(x-100)=15x+500$。（2）当 $x=200$ 时，$y=15\times200+500=3500$ 元。

第05章-函数

第 5 章 函数