附录公式定理速查

一、代数公式

1. 幂的运算

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$。
$(a^m)^n=a^{mn}$。
$(ab)^n=a^n b^n$。
$a^m\div a^n=a^{m-n}$（$a\neq0$）。
$a^0=1$（$a\neq0$）。
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$）。

2. 乘法公式

平方差：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
完全平方：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
三项完全平方：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
立方和：$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$。
立方差：$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$。

3. 因式分解

提公因式：$ma+mb+mc=m(a+b+c)$。
平方差：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
完全平方：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
十字相乘：$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。
因式分解步骤：一提公因式，二套公式，三十字相乘，四分组分解，最后检查是否彻底。

4. 分式

分式有意义：分母 $\neq0$。
分式值为 $0$：分子 $=0$ 且分母 $\neq0$。
基本性质：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$（$C\neq0$）。
乘法：$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$。
除法：$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$。
加减：同分母分母不变，分子相加减；异分母先通分。

5. 二次根式

$(\sqrt{a})^2=a$（$a\ge0$）。
$\sqrt{a^2}=|a|$。
$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$（$a\ge0,b\ge0$）。
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\ge0,b>0$）。
分母有理化：$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$；$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$。

二、方程与不等式

1. 一元一次方程

一般形式：$ax+b=0$（$a\neq0$）。
解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 $1$。
移项要变号。

2. 二元一次方程组

解法：代入消元法、加减消元法。
解的意义：两个方程的公共解。

3. 一元二次方程

一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）。
求根公式：

$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad(\Delta=b^2-4ac\ge0) $$

判别式：$\Delta=b^2-4ac$。
- $\Delta>0$：两个不相等的实数根；
- $\Delta=0$：两个相等的实数根；
- $\Delta<0$：没有实数根。
根与系数关系（$x_1,x_2$ 为两根）：

$$ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a} $$

常用变形：

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 $$

$$ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 $$

4. 分式方程

解法：去分母化为整式方程，解整式方程，检验。
增根：使最简公分母为 $0$ 的根，必须舍去。

5. 不等式

性质 1：两边加（减）同一个数或式子，不等号方向不变。
性质 2：两边乘（除以）同一个正数，不等号方向不变。
性质 3：两边乘（除以）同一个负数，不等号方向改变。
一元一次不等式解法与方程类似，系数化为 $1$ 时注意不等号方向。
不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。

三、函数

1. 一次函数

$y=kx+b$（$k\neq0$）。
图像是一条直线。
$k>0$：$y$ 随 $x$ 增大而增大；$k<0$：$y$ 随 $x$ 增大而减小。
与 $x$ 轴交点：$\left(-\frac{b}{k},0\right)$；与 $y$ 轴交点：$(0,b)$。
正比例函数：$y=kx$（$b=0$）。

2. 反比例函数

$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）。
图像是双曲线，关于原点对称。
$k>0$：第一、三象限，每一支上 $y$ 随 $x$ 增大而减小。
$k<0$：第二、四象限，每一支上 $y$ 随 $x$ 增大而增大。
过图像上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积 $=|k|$；三角形面积 $=\frac{|k|}{2}$。

3. 二次函数

一般式：$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）。
顶点式：$y=a(x-h)^2+k$，顶点 $(h,k)$，对称轴 $x=h$。
交点式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。
对称轴：$x=-\frac{b}{2a}$。
顶点坐标：$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。
最值：$y_{\text{最值}}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
平移：左加右减，上加下减。
与 $x$ 轴交点个数由 $\Delta=b^2-4ac$ 决定。

四、三角形

1. 基本性质

三角形内角和：$180^\circ$。
三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
三角形具有稳定性。

2. 全等三角形

判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。
性质：对应边相等，对应角相等；周长、面积相等。
注意：SSA、AAA 不能判定全等。

3. 等腰三角形

等边对等角；等角对等边。
三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。
等边三角形：三边相等，三角都是 $60^\circ$。
有一个角是 $60^\circ$ 的等腰三角形是等边三角形。

4. 直角三角形

两锐角互余。
斜边上的中线等于斜边的一半。
$30^\circ$ 角所对的直角边等于斜边的一半。
勾股定理：$a^2+b^2=c^2$。
勾股定理逆定理：若 $a^2+b^2=c^2$，则三角形是直角三角形。
常见勾股数：$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$8,15,17$；$7,24,25$；$9,40,41$。

5. 三角形中位线

中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形。

五、四边形

1. 多边形

内角和：$(n-2)\times180^\circ$。
外角和：$360^\circ$。
对角线总数：$\frac{n(n-3)}{2}$。
正 $n$ 边形每个内角：$\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}$；每个外角：$\frac{360^\circ}{n}$。

2. 平行四边形

性质：对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分。
判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等。
面积：$S=ah$。

3. 矩形

性质：四个角都是直角；对角线相等；具有平行四边形的所有性质。
判定：有一个角是直角的平行四边形；有三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形。

4. 菱形

性质：四边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。
判定：一组邻边相等的平行四边形；四边相等的四边形；对角线互相垂直的平行四边形。
面积：$S=ah=\frac{1}{2}d_1d_2$。

5. 正方形

性质：四边相等，四个角都是直角；对角线相等、垂直、互相平分。
判定：一组邻边相等的矩形；一个角是直角的菱形；对角线相等且垂直的平行四边形。

6. 梯形（拓展）

等腰梯形：同一底上的两个角相等；对角线相等。
梯形中位线：平行于两底，等于两底和的一半。
梯形面积：$S=\frac{1}{2}(a+b)h$。

7. 中点四边形（拓展）

任意四边形的中点四边形是平行四边形。
原四边形对角线相等：中点四边形是菱形。
原四边形对角线垂直：中点四边形是矩形。
原四边形对角线相等且垂直：中点四边形是正方形。

六、相似与锐角三角函数

1. 比例线段

比例基本性质：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc$。
黄金比：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。
平行线分线段成比例。

2. 相似三角形

判定：AA、SAS、SSS；平行于三角形一边的直线截其他两边，所构成的三角形与原三角形相似。
性质：对应角相等，对应边成比例；周长比 $=$ 相似比；面积比 $=$ 相似比$^2$。
对应高、中线、角平分线的比 $=$ 相似比。

3. 锐角三角函数

$\sin A=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$，$\cos A=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$，$\tan A=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$。
同角关系：$\sin^2A+\cos^2A=1$，$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$。
互余关系：$\sin A=\cos(90^\circ-A)$，$\cos A=\sin(90^\circ-A)$。

特殊角三角函数值：

角 $A$	$\sin A$	$\cos A$	$\tan A$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

4. 解直角三角形

三边关系：$a^2+b^2=c^2$。
两锐角关系：$\angle A+\angle B=90^\circ$。
边角关系：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。
仰角、俯角、坡度、方向角。
坡度：$i=\frac{h}{l}=\tan\alpha$。

5. 射影定理（拓展）

在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$CD\perp AB$ 于 $D$，则：

$$ CD^2=AD\cdot BD,\qquad AC^2=AD\cdot AB,\qquad BC^2=BD\cdot AB $$

七、圆

1. 圆的基本性质

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆心角、弧、弦关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角；$90^\circ$ 的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形对角互补。

2. 点、直线与圆的位置关系

点与圆：$d<r$ 圆内；$d=r$ 圆上；$d>r$ 圆外。
直线与圆：$d<r$ 相交；$d=r$ 相切；$d>r$ 相离。
切线判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是切线。
切线性质：切线垂直于过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。

3. 三角形的外接圆与内切圆

外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等；直角三角形外接圆半径 $R=\frac{c}{2}$。
内心：三条角平分线交点，到三边距离相等；直角三角形内切圆半径 $r=\frac{a+b-c}{2}$。

4. 正多边形与圆

正 $n$ 边形中心角：$\frac{360^\circ}{n}$。
正 $n$ 边形每个内角：$\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}$。
正多边形面积：$S=\frac{1}{2}\times\text{周长}\times\text{边心距}$。
正六边形边长等于半径。

5. 弧长与扇形面积

弧长：$l=\frac{n\pi r}{180}$。
扇形面积：$S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}lr$。
圆锥侧面积：$S_{\text{侧}}=\pi rl$。
圆锥全面积：$S_{\text{全}}=\pi rl+\pi r^2$。
圆锥母线、半径、高：$l^2=r^2+h^2$。
圆锥侧面展开扇形圆心角：$n=\frac{360r}{l}$。

八、统计与概率

1. 统计

平均数：$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$。
加权平均数：$\bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$。
中位数：排序后中间的数（或中间两数的平均数）。
众数：出现次数最多的数。
方差：$s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2\right]$。
标准差：$s=\sqrt{s^2}$。
极差：$R=\text{最大值}-\text{最小值}$。
频率：$\text{频率}=\frac{\text{频数}}{\text{数据总数}}$。

2. 概率

随机事件：$0\le P(A)\le1$。
必然事件：$P=1$；不可能事件：$P=0$。
等可能事件：$P(A)=\frac{m}{n}$。
列表法、树状图法。
频率估计概率：大量重复试验，频率稳定于概率。

九、常用数据

$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，$\pi\approx3.14$。
$30^\circ$ 角所对的直角边 $:$ 另一直角边 $:$ 斜边 $=1:\sqrt{3}:2$。
$45^\circ$ 等腰直角三角形三边比：$1:1:\sqrt{2}$。
常见勾股数：$3,4,5$；$5,12,13$；$6,8,10$；$7,24,25$；$8,15,17$；$9,40,41$。

附录-公式定理速查

附录 公式定理速查