第 11 章 统计与概率

本章把七年级的统计调查、八年级的数据分析、九年级的概率初步合并在一起。统计研究“如何用数据说明问题”，概率研究“随机事件发生的可能性大小”。

11.1 数据的收集与整理

11.1.1 全面调查与抽样调查

考察全体对象的调查叫全面调查；从总体中抽取一部分对象进行调查，叫抽样调查。

  • 全面调查的优点是结果准确，缺点是花费大、时间长，有时具有破坏性。
  • 抽样调查的优点是花费少、速度快，缺点是结果只是估计，存在误差。
  • 抽样调查时，样本要有代表性、广泛性，样本容量要适当。
  • 简单随机抽样：总体中每个个体被抽到的机会相等。

11.1.2 总体、个体、样本与样本容量

  • 总体：所要考察的全体对象。

  • 个体：组成总体的每一个考察对象。

  • 样本：从总体中抽取的一部分个体。

  • 样本容量：样本中个体的数目，是一个不带单位的数。

  • 总体、个体、样本是统计中的基本概念，描述时要说明考察的对象和范围。

  • 用样本估计总体时，样本要有代表性，否则估计结果可能偏差较大。

11.1.3 数据的整理

  • 收集到的数据要经过整理，才能用于分析。
  • 整理数据时，可以按类别分类，也可以按数值分组。
  • 分组时，要确定组距和组数：
    • 组距：每组两个端点之间的距离；
    • 组数：分成的组的个数；
    • 组数通常用“极差 $\div$ 组距”的结果进一取整。
  • 频数：落在各组中的数据个数。
  • 频率：频数与数据总数的比：

$$ \text{频率}=\frac{\text{频数}}{\text{数据总数}} $$

  • 各组的频率之和等于 $1$。

11.2 统计图表

11.2.1 常见统计图

  • 条形统计图：用直条的长短表示数量的多少，便于比较各类数量的多少。
  • 折线统计图：用点和线段表示数量的变化，便于反映数量的变化趋势。
  • 扇形统计图：用扇形的大小表示各部分占总数的百分比，便于表示部分与整体的关系。
  • 频数分布直方图：用分组后的直条表示频数，便于反映数据的分布情况。

11.2.2 频数分布直方图

  • 横轴表示分组，纵轴表示频数。
  • 各小长方形的宽度相同，高度表示频数。
  • 小长方形的面积与频数成正比。
  • 如果纵轴表示“频率/组距”，那么小长方形的面积表示频率，这样的图叫频率分布直方图。
  • 画频数分布直方图的步骤：计算极差、确定组距和组数、列频数分布表、画直方图。

11.2.3 统计图的选择

  • 比较各类数量的多少：选择条形统计图。
  • 反映数量的变化趋势：选择折线统计图。
  • 表示各部分与整体的关系：选择扇形统计图。
  • 反映数据的分布情况：选择频数分布直方图。
  • 复式统计图可以同时比较两组或多组数据，要用图例区分。

常见统计图

11.3 数据的分析

11.3.1 平均数

一组数据的总和除以数据的个数，叫这组数据的平均数。

$$ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} $$

  • 平均数反映一组数据的平均水平。
  • 平均数受极端值的影响较大。
  • 加权平均数：如果数据 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的权分别是 $w_1,w_2,\cdots,w_n$，那么加权平均数为：

$$ \bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n} $$

  • 权可以是次数、比例、百分比等；权越大，该数据对平均数的影响越大。

11.3.2 中位数

把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在中间位置的一个数（或中间两个数的平均数）叫这组数据的中位数。

  • 数据个数为奇数时，中位数是中间的一个数。
  • 数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。
  • 中位数不受极端值的影响。
  • 求中位数时，一定要先排序，再找中间位置。

11.3.3 众数

一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数。

  • 众数可能不唯一，也可能没有。
  • 众数不受极端值的影响。
  • 众数反映的是一组数据中出现次数最多的数据。

11.3.4 方差

一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数，叫这组数据的方差。

$$ s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2\right] $$

  • 方差越大，数据的波动越大，越不稳定。
  • 方差越小，数据的波动越小，越稳定。
  • 方差受极端值的影响较大。
  • 标准差是方差的算术平方根（拓展）：

$$ s=\sqrt{s^2} $$

  • 极差 $=$ 最大值 $-$ 最小值，反映数据的范围。

11.3.5 平均数、中位数、众数的选择

  • 平均数能充分利用所有数据的信息，但受极端值影响较大。
  • 中位数不受极端值影响，适合数据中有极端值的情况。
  • 众数适合反映出现次数最多的数据，常用于表示“最受欢迎”“最常见”的情况。
  • 选择哪个统计量，要根据数据的特征和分析目的决定。

11.3.6 用样本估计总体

  • 用样本的平均数、方差等估计总体的平均水平、波动情况。
  • 用样本中某类个体的比例估计总体中该类个体的比例。
  • 样本要有代表性，样本容量要适当。
  • 用样本估计总体是统计的基本思想。

11.4 概率初步

11.4.1 随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

  • 必然事件：在一定条件下必然发生的事件，概率为 $1$。
  • 不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，概率为 $0$。
  • 随机事件的概率介于 $0$ 和 $1$ 之间：

$$ 0\le P(A)\le1 $$

11.4.2 等可能事件的概率

在一次试验中，如果所有可能的结果有 $n$ 种，并且每种结果出现的可能性相等，那么事件 $A$ 发生的概率为：

$$ P(A)=\frac{m}{n} $$

其中 $m$ 是事件 $A$ 包含的结果数。

  • 所有可能结果的概率之和等于 $1$。
  • 求概率时，要先判断试验的结果是否等可能。
  • 概率是一个比值，不带单位。

11.4.3 列表法与树状图

  • 当试验涉及两步或两步以上时，可以用列表法或树状图列出所有等可能的结果。
  • 列表法适用于两步试验，行和列分别表示第一步和第二步的结果。
  • 树状图适用于两步或两步以上的试验，能清楚地表示每一步的分支。
  • 使用列表法或树状图时，要注意“放回”和“不放回”的区别。
  • 计算概率时，分母是所有等可能结果的总数，分子是所求事件包含的结果数。

11.4.4 频率与概率

  • 在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数可以作为事件概率的估计值。
  • 频率是试验结果的计算值，概率是事件本身的属性。
  • 试验次数越多，频率越接近概率。
  • 用频率估计概率时，要进行大量重复试验，不能只凭少数几次试验下结论。

11.5 统计与概率的应用

  • 用统计图表描述数据，用平均数、中位数、众数、方差分析数据。
  • 用样本估计总体，进行合理的推断和决策。
  • 用概率判断游戏是否公平，设计公平的游戏规则。
  • 用频率估计概率，解决实际问题。
  • 统计分析要客观、全面，不能只看平均数或只凭个别数据下结论。

练习

  1. 选择合适的调查方式。 （1）了解全班同学的视力情况。 （2）了解一批灯泡的使用寿命。 （3）了解全国中学生的课外阅读时间。

  2. 某校有 $2000$ 名学生，为了了解学生的视力情况，抽取了 $200$ 名学生进行调查。 （1）总体、个体、样本分别是什么？ （2）样本容量是多少？

  3. 选择适合的统计图。 （1）表示学校各年级学生人数。 （2）表示某地一年中每月气温的变化。 （3）表示某班各类成绩等级人数占总人数的百分比。 （4）表示某班学生身高的分布情况。

  4. 一组数据共有 $50$ 个，其中某一组的频数是 $10$。 （1）该组的频率是多少？ （2）如果另一组的频率是 $0.3$，该组的频数是多少？

  5. 求下面各组数据的平均数、中位数和众数。 （1）$3,5,5,7,9,9,9,10$ （2）$1,2,2,3,3,4$

  6. 某学生的平时成绩是 $80$ 分，期中成绩是 $90$ 分，期末成绩是 $95$ 分。如果平时、期中、期末成绩按 $3:3:4$ 的权计算，求他的总评成绩。

  7. 求数据 $1,2,3,4,5$ 的方差；再求数据 $2,2,3,4,4$ 的方差。哪组数据更稳定？

  8. 某校抽样调查了 $200$ 名学生，其中近视的有 $60$ 人。若该校共有 $2000$ 名学生，估计全校近视的学生人数。

  9. 一个不透明袋子里有 $3$ 个红球和 $2$ 个蓝球，球除颜色外完全相同。 （1）任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ （2）任意摸出一个球，摸到蓝球的概率是多少？

  10. 掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和为 $7$ 的概率。

  11. 某射手进行射击试验，结果如下：

    射击次数 $100$ $200$ $500$ $1000$
    命中次数 $48$ $96$ $251$ $502$

    估计这名射手命中的概率。

  12. 小明和小红用一枚质地均匀的骰子做游戏：掷出偶数点小明赢，掷出奇数点小红赢。这个游戏公平吗？为什么？

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）抽样调查的样本容量越大越好。 （2）中位数一定是这组数据中的某一个数。 （3）一组数据的众数可能不唯一。 （4）方差越大，数据越稳定。 （5）必然事件的概率是 $1$。

  2. 某班有 $50$ 名学生，其中男生 $26$ 人，女生 $24$ 人。为了了解全班学生的课外阅读情况，抽取 $10$ 名学生进行调查。 （1）总体、个体、样本分别是什么？ （2）样本容量是多少？ （3）这样的抽样是否合理？说明理由。

  3. 某学生的平时、期中、期末成绩分别是 $85,90,95$ 分，按 $2:3:5$ 的权计算总评成绩。

  4. 求数据 $2,4,4,6,8$ 的平均数、中位数、众数和方差。

  5. 某校抽样调查了 $500$ 名学生，其中喜欢篮球的有 $200$ 人。若该校共有 $3000$ 名学生，估计喜欢篮球的学生人数。

  6. 一个不透明袋子里有 $2$ 个红球、$3$ 个白球，球除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率；再放入 $1$ 个红球后，求摸到红球的概率。

  7. 掷一枚质地均匀的骰子两次，用列表法或树状图求下列事件的概率。 （1）两次点数相同。 （2）两次点数之和为 $8$。

  8. 小明和小红用转盘做游戏，转盘被平均分成 $6$ 份，其中 $4$ 份红色、$2$ 份蓝色。指针停在红色区域小明赢，停在蓝色区域小红赢。 （1）这个游戏公平吗？为什么？ （2）请设计一个公平的规则。

  9. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 求数据 $1,3,2,5,4$ 的中位数。 解：因为这组数据有 $5$ 个，所以中位数是第 $3$ 个数，即 $2$。

  10. 某班要从甲、乙两名同学中选出一人参加比赛。两人最近 $5$ 次测试成绩如下： 甲：$80,85,90,95,100$； 乙：$88,89,90,91,92$。 （1）分别求两人的平均分。 （2）分别求两人的方差。 （3）如果你是老师，你会选谁？说明理由。

参考答案与提示

  1. （1）全面调查；（2）抽样调查（灯泡寿命测试具有破坏性）；（3）抽样调查。
  2. （1）总体是该校 $2000$ 名学生的视力情况；个体是该校每一名学生的视力情况；样本是抽取的 $200$ 名学生的视力情况；（2）样本容量是 $200$。
  3. （1）条形统计图；（2）折线统计图；（3）扇形统计图；（4）频数分布直方图。
  4. （1）$10\div50=0.2$；（2）$50\times0.3=15$。
  5. （1）平均数 $\frac{57}{8}=7.125$，中位数 $8$，众数 $9$；（2）平均数 $\frac{15}{6}=2.5$，中位数 $2.5$，众数 $2$ 和 $3$。
  6. $80\times0.3+90\times0.3+95\times0.4=24+27+38=89$ 分。
  7. 第一组平均数 $3$，方差 $\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+0+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=\frac{10}{5}=2$；第二组平均数 $3$，方差 $\frac{1+1+0+1+1}{5}=0.8$。第二组更稳定。
  8. 样本近视比例 $60\div200=30%$，估计全校 $2000\times30%=600$ 人。
  9. （1）$\frac{3}{5}$；（2）$\frac{2}{5}$。
  10. 两枚骰子共有 $36$ 种等可能结果，和为 $7$ 的有 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ 共 $6$ 种，概率 $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
  11. 命中频率分别约为 $0.48,0.48,0.502,0.502$，随着射击次数增加，频率稳定在 $0.5$ 附近，估计命中概率为 $0.5$。
  12. 公平。骰子有 $6$ 种等可能结果，偶数点有 $3$ 种，奇数点有 $3$ 种，概率都是 $\frac{1}{2}$。

检测题参考答案

  1. （1）错误。样本容量要适当，并不是越大越好；样本容量过大费时费力，且样本必须有代表性。（2）错误。数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，不一定是数据中的数。（3）正确。众数可能出现多个。（4）错误。方差越大，数据波动越大，越不稳定。（5）正确。必然事件一定发生，概率为 $1$。
  2. （1）总体是全班 $50$ 名学生的课外阅读情况；个体是每一名学生的课外阅读情况；样本是抽取的 $10$ 名学生的课外阅读情况；（2）样本容量是 $10$；（3）不合理。样本容量过小，且没有说明是否随机抽取，样本代表性不足。
  3. $85\times0.2+90\times0.3+95\times0.5=17+27+47.5=91.5$ 分。
  4. 平均数 $\frac{2+4+4+6+8}{5}=4.8$；中位数 $4$；众数 $4$；方差 $\frac{(2-4.8)^2+(4-4.8)^2+(4-4.8)^2+(6-4.8)^2+(8-4.8)^2}{5}=\frac{7.84+0.64+0.64+1.44+10.24}{5}=\frac{20.8}{5}=4.16$。
  5. 样本比例 $200\div500=40%$，估计全校 $3000\times40%=1200$ 人。
  6. 原来摸到红球概率 $\frac{2}{5}$；放入 $1$ 个红球后，红球 $3$ 个，总数 $6$ 个，概率 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
  7. 掷两次骰子共有 $36$ 种等可能结果。（1）两次点数相同有 $6$ 种，概率 $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$；（2）和为 $8$ 的有 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ 共 $5$ 种，概率 $\frac{5}{36}$。
  8. （1）不公平。红色区域 $4$ 份，蓝色区域 $2$ 份，小明获胜概率 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，小红获胜概率 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，不相等。（2）示例：把转盘平均分成 $6$ 份，$3$ 份红色、$3$ 份蓝色，指针停在红色区域小明赢，停在蓝色区域小红赢，双方概率都是 $\frac{1}{2}$。
  9. 不正确。求中位数要先排序。数据排序为 $1,2,3,4,5$，中位数是 $3$，不是 $2$。
  10. （1）甲的平均分 $\frac{80+85+90+95+100}{5}=90$；乙的平均分 $\frac{88+89+90+91+92}{5}=90$。（2）甲方差 $\frac{(-10)^2+(-5)^2+0+5^2+10^2}{5}=\frac{250}{5}=50$；乙方差 $\frac{(-2)^2+(-1)^2+0+1^2+2^2}{5}=\frac{10}{5}=2$。（3）选乙。两人平均分相同，但乙方差小，成绩更稳定；如果比赛更看重稳定性，选乙；如果更看重冲击高分，也可以选甲。理由合理即可。