第 7 章 四边形

本章把八年级的多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，以及梯形、中点四边形、平面镶嵌等内容合并在一起。四边形的研究方法通常是“定义—性质—判定”，并且经常转化为三角形问题来解决。

7.1 多边形

7.1.1 多边形的概念

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形。

  • 多边形按边数命名：三角形、四边形、五边形、六边形等。
  • 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线。
  • 各个角都相等、各条边都相等的多边形叫正多边形。

7.1.2 多边形的内角和与外角和

内角和：

$$ n\text{ 边形的内角和}=(n-2)\times180^\circ $$

  • 四边形内角和为 $360^\circ$。
  • 五边形内角和为 $540^\circ$。
  • 六边形内角和为 $720^\circ$。

外角和：

  • 任意多边形的外角和都等于 $360^\circ$。
  • 正 $n$ 边形的每个外角等于 $\frac{360^\circ}{n}$。
  • 正 $n$ 边形的每个内角等于 $\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}$。

对角线：

$$ n\text{ 边形的对角线总数}=\frac{n(n-3)}{2} $$

7.1.3 正多边形

  • 正多边形的各边相等，各角相等。
  • 正多边形都是轴对称图形；边数为偶数的正多边形还是中心对称图形。
  • 正 $n$ 边形的中心角等于 $\frac{360^\circ}{n}$。

7.2 平行四边形

7.2.1 平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

  • 平行四边形用符号“$\square$”表示，例如 $\square ABCD$。
  • 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

7.2.2 平行四边形的性质

  • 平行四边形的两组对边分别平行且相等。
  • 平行四边形的两组对角分别相等。
  • 平行四边形的邻角互补。
  • 平行四边形的对角线互相平分。
  • 平行四边形的面积 $=$ 底 $\times$ 高。

7.2.3 平行四边形的判定

  1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
  2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
  3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
  4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
  5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
  • 判定平行四边形时，要根据已知条件选择合适的方法。
  • “一组对边平行且相等”中的“平行”和“相等”必须针对同一组对边。

7.2.4 两条平行线间的距离

  • 两条平行线之间的垂直线段的长度，叫两条平行线间的距离。
  • 两条平行线间的距离处处相等。
  • 平行四边形的对边平行，所以对边之间的距离就是平行四边形的高。

7.3 矩形

7.3.1 矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

  • 矩形是特殊的平行四边形。
  • 一般的矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点连线所在的直线）；正方形作为特殊的矩形，有四条对称轴。

7.3.2 矩形的性质

  • 矩形的四个角都是直角。
  • 矩形的对角线相等。
  • 矩形具有平行四边形的所有性质。
  • 矩形的面积 $=$ 长 $\times$ 宽。
  • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是矩形性质的一个重要推论。

7.3.3 矩形的判定

  1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
  2. 有三个角是直角的四边形是矩形。
  3. 对角线相等的平行四边形是矩形。
  • 注意：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须是平行四边形。
  • 矩形判定常与平行四边形判定结合使用。

7.4 菱形

7.4.1 菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

  • 菱形是特殊的平行四边形。
  • 一般的菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线）；正方形作为特殊的菱形，有四条对称轴。

7.4.2 菱形的性质

  • 菱形的四条边都相等。
  • 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
  • 菱形具有平行四边形的所有性质。
  • 菱形的面积 $=$ 底 $\times$ 高 $=\frac{1}{2}\times$ 两条对角线长的乘积。

7.4.3 菱形的判定

  1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
  2. 四条边都相等的四边形是菱形。
  3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
  • 注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形。
  • 菱形的判定常与平行四边形、直角三角形的性质结合。

7.5 正方形

7.5.1 正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。

  • 正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
  • 正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

7.5.2 正方形的性质

  • 正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
  • 正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，并且每条对角线平分一组对角。
  • 正方形具有矩形和菱形的所有性质。
  • 正方形的面积 $=$ 边长$^2$ $=\frac{1}{2}\times$ 对角线长的平方。

7.5.3 正方形的判定

  1. 有一组邻边相等的矩形是正方形。
  2. 有一个角是直角的菱形是正方形。
  3. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
  4. 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。

7.5.4 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

$$ \text{正方形}\subset\text{矩形}\subset\text{平行四边形}\subset\text{四边形} $$

$$ \text{正方形}\subset\text{菱形}\subset\text{平行四边形}\subset\text{四边形} $$

  • 正方形既是矩形，又是菱形。
  • 矩形不一定是菱形，菱形不一定是矩形。
  • 平行四边形不一定是矩形或菱形。

四边形关系图

7.6 梯形（拓展）

7.6.1 梯形的定义

只有一组对边平行的四边形叫梯形。

  • 平行的一组对边叫梯形的底，通常把较短的叫上底，较长的叫下底。
  • 不平行的一组对边叫腰。
  • 两底之间的垂线段叫梯形的高。
  • 两腰相等的梯形叫等腰梯形；一条腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

7.6.2 等腰梯形的性质与判定

性质：

  • 等腰梯形同一底上的两个角相等。
  • 等腰梯形的两条对角线相等。
  • 等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴。

判定：

  • 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
  • 对角线相等的梯形是等腰梯形。

7.6.3 梯形的中位线（拓展）

  • 连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线。
  • 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半：

$$ \text{梯形中位线}=\frac{a+b}{2} $$

  • 梯形的面积 $=\frac{1}{2}(a+b)h$，其中 $a,b$ 是两底，$h$ 是高。

7.7 中点四边形（拓展）

顺次连接四边形各边中点所得的四边形，叫中点四边形。

  • 任意四边形的中点四边形都是平行四边形。
  • 如果原四边形的对角线相等，那么中点四边形是菱形。
  • 如果原四边形的对角线互相垂直，那么中点四边形是矩形。
  • 如果原四边形的对角线相等且互相垂直，那么中点四边形是正方形。
  • 中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。

7.8 平面镶嵌（拓展）

  • 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫平面镶嵌。
  • 平面镶嵌的条件：围绕同一点的各个多边形的内角之和等于 $360^\circ$。
  • 正三角形、正方形、正六边形都可以单独镶嵌平面。
  • 正五边形不能单独镶嵌平面。
  • 常见的组合镶嵌：正三角形与正方形、正三角形与正六边形等。

7.9 四边形中的常用方法

  • 证明线段相等或角相等，常利用平行四边形的性质、全等三角形、等腰三角形。
  • 证明平行四边形，优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”。
  • 证明矩形，可以先证平行四边形，再证一个角是直角或对角线相等。
  • 证明菱形，可以先证平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直。
  • 证明正方形，可以先证矩形再证邻边相等，或先证菱形再证一个角是直角。
  • 遇到中点，常考虑三角形中位线、梯形中位线、中线倍长。
  • 遇到对角线，常利用平行四边形对角线互相平分、矩形对角线相等、菱形对角线垂直。

练习

  1. 填空。 （1）六边形的内角和是（　　）度。 （2）正八边形的每个内角是（　　）度，每个外角是（　　）度。 （3）八边形共有（　　）条对角线。 （4）任意多边形的外角和是（　　）度。

  2. 在 $\square ABCD$ 中，$\angle A=70^\circ$。 （1）求 $\angle B,\angle C,\angle D$ 的度数。 （2）若 $AB=8$，$BC=5$，求它的周长。

  3. 矩形 $ABCD$ 中，$AB=6$，$BC=8$。 （1）求对角线 $AC$ 的长。 （2）求矩形的面积。 （3）若 $O$ 是对角线 $AC,BD$ 的交点，求 $BO$ 的长。

  4. 菱形 $ABCD$ 的两条对角线长分别为 $6$ 和 $8$。 （1）求菱形的边长。 （2）求菱形的面积。 （3）求菱形的周长。

  5. 正方形 $ABCD$ 的边长是 $4$。 （1）求它的对角线长。 （2）求它的面积。 （3）求它的对角线乘积的一半。

  6. 梯形上底是 $4$ 厘米，下底是 $10$ 厘米，高是 $6$ 厘米。求它的面积；若它是等腰梯形，求它的中位线长。

  7. 顺次连接四边形 $ABCD$ 各边中点 $E,F,G,H$。 （1）证明四边形 $EFGH$ 是平行四边形。 （2）如果 $AC=BD$，四边形 $EFGH$ 是什么特殊四边形？说明理由。 （3）如果 $AC\perp BD$，四边形 $EFGH$ 是什么特殊四边形？说明理由。

  8. 判断下列正多边形能否单独镶嵌平面，并说明理由。 （1）正三角形 （2）正方形 （3）正五边形 （4）正六边形

  9. 如图，在 $\square ABCD$ 中，对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$。求证：$OA=OC$，$OB=OD$。

  10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$DE\parallel AB$ 交 $AC$ 于 $E$，$DF\parallel AC$ 交 $AB$ 于 $F$。求证：四边形 $AEDF$ 是平行四边形。

  11. 某小区要建一个平行四边形的花坛，底是 $12$ 米，高是 $8$ 米。 （1）花坛的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米种 $6$ 株花，一共可以种多少株花？

  12. 判断下面各题，并说明理由。 （1）对角线相等的四边形是矩形。 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （3）正方形既是矩形，又是菱形。 （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （2）对角线相等的四边形是矩形。 （3）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （4）正方形既是矩形又是菱形。 （5）正五边形可以单独镶嵌平面。

  2. 在 $\square ABCD$ 中，$\angle A=65^\circ$，$AB=10$，$BC=6$。 （1）求 $\angle B,\angle C,\angle D$ 的度数。 （2）求平行四边形的周长。 （3）若以 $AB$ 为底，高为 $4$，求面积。

  3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，四边形 $ABDE$ 是平行四边形。求证：四边形 $ADCE$ 是矩形。

  4. 菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC=8$，$BD=6$。 （1）求菱形的边长。 （2）求菱形的面积。 （3）求菱形的高。

  5. 顺次连接四边形 $ABCD$ 各边中点得到四边形 $EFGH$。已知 $AC=10$，$BD=8$，$AC\perp BD$。 （1）判断四边形 $EFGH$ 的形状，并说明理由。 （2）求四边形 $EFGH$ 的面积。

  6. 梯形上底 $6$ 厘米，下底 $10$ 厘米，高 $5$ 厘米。 （1）求梯形的面积。 （2）求梯形的中位线长。 （3）若梯形是等腰梯形，腰长为 $5$ 厘米，求它的周长。

  7. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 已知四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC=BD$，所以四边形 $ABCD$ 是矩形。

  8. 写出满足下列条件的四边形各一个。 （1）一个对角线互相平分的四边形。 （2）一个对角线相等且互相垂直的平行四边形。 （3）一个只有一组对边平行的四边形。

  9. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$，$E,F,G,H$ 分别是 $OA,OB,OC,OD$ 的中点。求证：四边形 $EFGH$ 是矩形。

  10. 某学校要在教学楼前铺一块正方形草坪，边长是 $8$ 米。草坪四周要留出 $1$ 米宽的小路。 （1）草坪的面积是多少平方米？ （2）小路的面积是多少平方米？

参考答案与提示

  1. （1）$720$；（2）$135$，$45$；（3）$20$；（4）$360$。
  2. （1）$\angle B=110^\circ$，$\angle C=70^\circ$，$\angle D=110^\circ$；（2）周长 $2(8+5)=26$。
  3. （1）$AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$；（2）面积 $48$；（3）$BO=\frac{1}{2}AC=5$。
  4. （1）边长 $\sqrt{3^2+4^2}=5$；（2）面积 $\frac{1}{2}\times6\times8=24$；（3）周长 $20$。
  5. （1）对角线 $4\sqrt{2}$；（2）面积 $16$；（3）$\frac{1}{2}\times(4\sqrt{2})^2=16$。
  6. 面积 $\frac{1}{2}(4+10)\times6=42$ 平方厘米；中位线 $\frac{4+10}{2}=7$ 厘米。
  7. （1）连接 $AC$，在 $\triangle ABC$ 中，$E,F$ 分别是 $AB,BC$ 的中点，所以 $EF\parallel AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$；同理 $HG\parallel AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，所以 $EF\parallel HG$，$EF=HG$，四边形 $EFGH$ 是平行四边形。（2）若 $AC=BD$，则 $EF=EH$，平行四边形 $EFGH$ 是菱形。（3）若 $AC\perp BD$，则 $EF\perp EH$，平行四边形 $EFGH$ 是矩形。
  8. （1）能，正三角形每个内角 $60^\circ$，$6\times60^\circ=360^\circ$；（2）能，正方形每个内角 $90^\circ$，$4\times90^\circ=360^\circ$；（3）不能，正五边形每个内角 $108^\circ$，不能整除 $360^\circ$；（4）能，正六边形每个内角 $120^\circ$，$3\times120^\circ=360^\circ$。
  9. 因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AB\parallel CD$，$AD\parallel BC$，$AB=CD$，$AD=BC$。在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 中，$\angle OAB=\angle OCD$，$\angle OBA=\angle ODC$，$AB=CD$，所以 $\triangle AOB\cong\triangle COD$（ASA），所以 $OA=OC$，$OB=OD$。
  10. 因为 $DE\parallel AB$，$DF\parallel AC$，所以 $DE\parallel AF$，$DF\parallel AE$，四边形 $AEDF$ 的两组对边分别平行，所以它是平行四边形。
  11. （1）$12\times8=96$ 平方米；（2）$96\times6=576$ 株。
  12. （1）错误。对角线相等的四边形不一定是矩形，必须是平行四边形。（2）错误。对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形。（3）正确。正方形既是矩形又是菱形。（4）正确。这是一组对边平行且相等的四边形，是平行四边形。

检测题参考答案

  1. （1）正确。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（2）错误。对角线相等的四边形不一定是矩形；对角线相等的平行四边形才是矩形。（3）错误。对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；对角线互相垂直的平行四边形才是菱形。（4）正确。正方形既是矩形又是菱形。（5）错误。正五边形每个内角 $108^\circ$，不能拼成 $360^\circ$。
  2. （1）$\angle B=115^\circ$，$\angle C=65^\circ$，$\angle D=115^\circ$；（2）周长 $2(10+6)=32$；（3）以 $AB$ 为底，面积 $10\times4=40$。
  3. 因为 $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $AD\perp BC$，即 $\angle ADC=90^\circ$。又四边形 $ABDE$ 是平行四边形，所以 $AE\parallel BD$，$AE=BD$。因为 $D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BD=DC$，所以 $AE=DC$。又 $AE\parallel DC$，所以四边形 $ADCE$ 是平行四边形。又 $\angle ADC=90^\circ$，所以平行四边形 $ADCE$ 是矩形。
  4. （1）对角线互相平分，半对角线为 $4,3$，边长 $\sqrt{4^2+3^2}=5$；（2）面积 $\frac{1}{2}\times8\times6=24$；（3）设高为 $h$，$5h=24$，$h=4.8$。
  5. （1）$EFGH$ 是矩形。因为 $E,F,G,H$ 是中点，所以 $EF\parallel AC$，$EH\parallel BD$；又 $AC\perp BD$，所以 $EF\perp EH$，中点四边形是平行四边形且有一个直角，所以是矩形。（2）$EF=\frac{1}{2}AC=5$，$EH=\frac{1}{2}BD=4$，面积 $5\times4=20$。
  6. （1）面积 $\frac{1}{2}(6+10)\times5=40$ 平方厘米；（2）中位线 $\frac{6+10}{2}=8$ 厘米；（3）周长 $6+10+2\times5=26$ 厘米。
  7. 不正确。对角线相等不能直接判定矩形，必须是平行四边形且对角线相等；一般的四边形对角线相等不一定是矩形。
  8. 示例：（1）平行四边形（或矩形、菱形、正方形）；（2）正方形（或对角线相等且垂直的平行四边形）；（3）梯形。
  9. 因为 $E,F$ 分别是 $OA,OB$ 的中点，所以 $EF\parallel AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$；同理 $HG\parallel CD$，$HG=\frac{1}{2}CD$。矩形 $ABCD$ 中 $AB\parallel CD$，$AB=CD$，所以 $EF\parallel HG$，$EF=HG$，四边形 $EFGH$ 是平行四边形。又 $EH\parallel AD$，$AD\perp AB$，所以 $EH\perp EF$，平行四边形 $EFGH$ 是矩形。
  10. （1）$8^2=64$ 平方米；（2）包括小路的大正方形边长 $8+2=10$ 米，面积 $100$ 平方米，小路面积 $100-64=36$ 平方米。