第 10 章 图形的变换与视图

本章把七年级的平移、轴对称，八年级的中心对称、坐标与图形，九年级的旋转、位似、投影与三视图合并在一起。图形变换研究图形在运动中的不变量，视图研究从不同方向观察立体图形得到的平面图形。

10.1 平移

10.1.1 平移的意义

在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫平移。

  • 平移由平移的方向和平移的距离决定。
  • 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
  • 平移后的图形与原图形全等。
  • 平移后，对应点之间的连线互相平行且相等。
  • 平移后，对应线段互相平行且相等，对应角相等。

10.1.2 平移的坐标变化

  • 点 $(x,y)$ 向右平移 $a$ 个单位，得到 $(x+a,y)$。
  • 点 $(x,y)$ 向左平移 $a$ 个单位，得到 $(x-a,y)$。
  • 点 $(x,y)$ 向上平移 $b$ 个单位，得到 $(x,y+b)$。
  • 点 $(x,y)$ 向下平移 $b$ 个单位，得到 $(x,y-b)$。
  • 口诀：右加左减，上加下减。

10.1.3 平移作图

  1. 找出原图形的关键点。
  2. 按平移的方向和距离，作出各关键点的对应点。
  3. 按原图形的顺序连接各对应点。
  4. 检查对应点连线是否平行且相等。

10.2 旋转

10.2.1 旋转的意义

在平面内，把一个图形绕一个定点转动一个角度，这样的图形运动叫旋转。

  • 定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角，转动的方向叫旋转方向。
  • 旋转方向分为顺时针方向和逆时针方向。
  • 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。
  • 旋转后的图形与原图形全等。
  • 对应点到旋转中心的距离相等。
  • 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。

10.2.2 旋转的坐标变化（拓展）

以原点为旋转中心：

  • 逆时针旋转 $90^\circ$：$(x,y)\to(-y,x)$。
  • 顺时针旋转 $90^\circ$：$(x,y)\to(y,-x)$。
  • 旋转 $180^\circ$：$(x,y)\to(-x,-y)$。

10.2.3 旋转作图

  1. 确定旋转中心、旋转方向和旋转角。
  2. 连接原图形的关键点与旋转中心。
  3. 按规定的方向和角度，作出各关键点的对应点。
  4. 按原图形的顺序连接各对应点。
  5. 检查对应点到旋转中心的距离是否相等，夹角是否等于旋转角。

平移、旋转与轴对称

10.3 轴对称

10.3.1 轴对称图形与轴对称

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴。

把一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。

  • 轴对称图形研究的是一个图形自身的对称性；轴对称研究的是两个图形之间的位置关系。
  • 轴对称图形至少有一条对称轴；圆有无数条对称轴。
  • 成轴对称的两个图形全等。
  • 对应点的连线被对称轴垂直平分。
  • 对应线段相等，对应角相等。

10.3.2 轴对称的坐标变化

  • 点 $(x,y)$ 关于 $x$ 轴对称，得到 $(x,-y)$。
  • 点 $(x,y)$ 关于 $y$ 轴对称，得到 $(-x,y)$。
  • 点 $(x,y)$ 关于原点对称，得到 $(-x,-y)$。
  • 关于 $x$ 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于 $y$ 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标都互为相反数。

10.3.3 轴对称作图

  1. 找出原图形的关键点。
  2. 作出各关键点关于对称轴的对称点。
  3. 按原图形的顺序连接各对称点。
  4. 检查对应点连线是否被对称轴垂直平分。

10.3.4 轴对称的应用

  • 利用轴对称可以证明线段相等、角相等。
  • 利用轴对称可以作最短路径：在直线同侧有两个点 $A,B$，在直线上求一点 $P$，使 $PA+PB$ 最小，可作 $A$ 关于直线的对称点 $A'$，连接 $A'B$ 与直线的交点即为 $P$。
  • 利用轴对称可以设计图案、解决折叠问题。

10.4 中心对称

10.4.1 中心对称图形与中心对称

把一个图形绕某一点旋转 $180^\circ$，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心。

把一个图形绕某一点旋转 $180^\circ$，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。

  • 中心对称图形研究的是一个图形自身的对称性；中心对称研究的是两个图形之间的位置关系。
  • 成中心对称的两个图形全等。
  • 对称中心是对应点连线的中点。
  • 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。

10.4.2 中心对称的坐标变化

  • 点 $(x,y)$ 关于原点对称，得到 $(-x,-y)$。
  • 关于原点对称，横、纵坐标都互为相反数。

10.4.3 中心对称与轴对称的区别

  • 中心对称是绕某一点旋转 $180^\circ$；轴对称是沿某一条直线折叠。
  • 中心对称的对称中心是一个点；轴对称的对称轴是一条直线。
  • 中心对称图形不一定是轴对称图形，轴对称图形也不一定是中心对称图形。
  • 正方形、圆、菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。

10.5 位似

10.5.1 位似的意义

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心，相似比叫位似比。

  • 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。
  • 位似图形对应点的连线都经过位似中心。
  • 位似图形对应边互相平行（或在同一条直线上）。
  • 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

10.5.2 位似的坐标变化

以原点为位似中心，位似比为 $k$：

  • 如果两个图形在位似中心的同侧，点 $(x,y)$ 的对应点为 $(kx,ky)$。
  • 如果两个图形在位似中心的异侧，点 $(x,y)$ 的对应点为 $(-kx,-ky)$。
  • 位似比 $k>0$；$k>1$ 表示放大，$0<k<1$ 表示缩小。

10.5.3 位似作图

  1. 确定位似中心和位似比。
  2. 连接位似中心与原图形的各顶点。
  3. 在射线上按位似比截取对应点。
  4. 按原图形的顺序连接各对应点。
  5. 检查对应边是否平行，对应点连线是否经过位似中心。

10.6 坐标与图形变换

  • 平移：右加左减，上加下减。
  • 关于 $x$ 轴对称：$(x,y)\to(x,-y)$。
  • 关于 $y$ 轴对称：$(x,y)\to(-x,y)$。
  • 关于原点对称：$(x,y)\to(-x,-y)$。
  • 绕原点旋转 $180^\circ$：$(x,y)\to(-x,-y)$。
  • 绕原点逆时针旋转 $90^\circ$：$(x,y)\to(-y,x)$。
  • 绕原点顺时针旋转 $90^\circ$：$(x,y)\to(y,-x)$。
  • 以原点为位似中心，位似比为 $k$：同侧 $(kx,ky)$，异侧 $(-kx,-ky)$。
  • 图形的变换可以转化为对应点坐标的变化；反过来，坐标的变化也可以描述图形的变换。

10.7 投影与视图

10.7.1 投影

用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫物体的投影。

  • 平行投影：由平行光线形成的投影。
  • 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影。
  • 正投影：投影线垂直于投影面时产生的投影。
  • 平行投影中，同一时刻物高与影长成比例。
  • 中心投影中，物体的影长与物体到光源的距离有关。

10.7.2 三视图

从正面看到的图形叫主视图，从上面看到的图形叫俯视图，从左面看到的图形叫左视图。

  • 主视图、俯视图、左视图合称三视图。
  • 三视图的位置关系：主视图在左上，俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方。
  • 三视图的大小关系：长对正，高平齐，宽相等。
  • 看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。
  • 画三视图时，要注意物体的摆放位置和观察方向。

三视图

10.7.3 常见几何体的三视图

几何体 主视图 俯视图 左视图
正方体 正方形 正方形 正方形
长方体 长方形 长方形 长方形
圆柱 长方形 圆 长方形
圆锥 三角形 圆（带圆心） 三角形
球 圆 圆 圆
三棱柱 长方形 三角形 长方形
  • 由三视图还原几何体时，要综合三个视图的信息，不能只看一个视图。
  • 三视图中，虚线和实线表示不同位置的轮廓，不能随意省略。

10.8 图形变换的综合应用

  • 利用平移可以构造平行线、平行四边形。
  • 利用旋转可以构造全等三角形、等边三角形、正方形。
  • 利用轴对称可以解决最短路径、折叠、等腰三角形等问题。
  • 利用中心对称可以构造平行四边形、证明线段相等。
  • 利用位似可以放大或缩小图形，解决测量和作图问题。
  • 图形变换的共同点：变换前后的图形全等或相似，对应线段、对应角有确定的关系。

练习

  1. 点 $A(-2,3)$ 向右平移 $5$ 个单位，再向下平移 $4$ 个单位，求平移后点的坐标。

  2. 点 $B(4,-1)$ 向左平移 $3$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位，求平移后点的坐标。

  3. 求点 $P(2,-3)$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称的点的坐标。

  4. 点 $Q(-1,4)$ 绕原点逆时针旋转 $90^\circ$、顺时针旋转 $90^\circ$、旋转 $180^\circ$，分别求对应点的坐标。

  5. 以原点为位似中心，位似比为 $2$，求点 $(1,-2)$ 在同侧和异侧的对应点坐标。

  6. 说出下列几何体的三视图分别是什么。 （1）圆柱 （2）圆锥 （3）球 （4）正方体

  7. 根据三视图判断几何体。 （1）主视图是长方形，俯视图是圆，左视图是长方形。 （2）主视图是三角形，俯视图是圆（带圆心），左视图是三角形。 （3）三个视图都是圆。

  8. 同一时刻，一根高 $1.5$ 米的竹竿影长为 $2$ 米，一棵树的影长为 $10$ 米。求树高。

  9. 在直线 $l$ 的同侧有 $A,B$ 两点，在 $l$ 上求作一点 $P$，使 $PA+PB$ 最小。说明作图方法。

  10. 判断下面各题，并说明理由。 （1）平移改变图形的形状。 （2）旋转不改变图形的大小。 （3）中心对称图形一定是轴对称图形。 （4）位似图形一定相似。

  11. 利用平移、旋转或轴对称设计一个图案，并说明你用了哪种变换。

  12. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 上一点，将 $\triangle ABE$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到 $\triangle CBF$。说明 $AE\perp CF$。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）平移不改变图形的形状和大小。 （2）旋转改变图形的大小。 （3）成轴对称的两个图形，对应点连线被对称轴垂直平分。 （4）中心对称图形一定是轴对称图形。 （5）位似图形一定是相似图形。

  2. 点 $A(3,-2)$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称的点的坐标分别是什么？将点 $A$ 绕原点逆时针旋转 $90^\circ$，对应点的坐标是什么？

  3. 根据三视图判断几何体。 （1）主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆。 （2）主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆。 （3）三个视图都是正方形。

  4. 平行投影和中心投影有什么区别？同一时刻，物高与影长成比例，这适用于哪种投影？

  5. 以原点为位似中心，位似比为 $\frac{1}{2}$，求点 $(4,-6)$ 在同侧和异侧的对应点坐标。

  6. 比较平移、旋转、轴对称、中心对称的相同点和不同点。

  7. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 以原点为位似中心，位似比为 $2$，点 $(1,3)$ 的对应点一定是 $(2,6)$。

  8. 写出满足下列条件的图形或坐标各一个。 （1）一个既是轴对称图形又是中心对称图形的图形。 （2）一个只经过平移得到的点。 （3）一个位似比为 $2$ 的位似图形。

  9. 如图，在直线 $l$ 的同侧有 $A,B$ 两点，在 $l$ 上求作一点 $P$，使 $PA+PB$ 最小。说明作法和理由。

  10. 在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 上一点，将 $\triangle ABE$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到 $\triangle CBF$。 （1）说明 $AE=CF$。 （2）说明 $AE\perp CF$。

参考答案与提示

  1. $(-2+5,3-4)=(3,-1)$。
  2. $(4-3,-1+2)=(1,1)$。
  3. 关于 $x$ 轴：$(2,3)$；关于 $y$ 轴：$(-2,-3)$；关于原点：$(-2,3)$。
  4. 逆时针 $90^\circ$：$(-4,-1)$；顺时针 $90^\circ$：$(4,1)$；$180^\circ$：$(1,-4)$。
  5. 同侧：$(2,-4)$；异侧：$(-2,4)$。
  6. （1）主视图长方形，俯视图圆，左视图长方形；（2）主视图三角形，俯视图圆（带圆心），左视图三角形；（3）三个视图都是圆；（4）三个视图都是正方形。
  7. （1）圆柱；（2）圆锥；（3）球。
  8. 设树高为 $x$ 米，$\frac{1.5}{2}=\frac{x}{10}$，$x=7.5$。
  9. 作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$，连接 $A'B$ 交 $l$ 于点 $P$。理由：$PA=PA'$，所以 $PA+PB=PA'+PB$，两点之间线段最短。
  10. （1）错误。平移不改变图形的形状和大小。（2）正确。旋转不改变图形的大小。（3）错误。中心对称图形不一定是轴对称图形，例如平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。（4）正确。位似图形一定相似。
  11. 略。说明所用的变换即可。
  12. 由旋转的性质，$AE=CF$，且对应线段 $AE$ 与 $CF$ 的夹角等于旋转角 $90^\circ$，所以 $AE\perp CF$。

检测题参考答案

  1. （1）正确。平移是刚体运动，不改变形状和大小。（2）错误。旋转不改变图形的大小，只改变位置和方向。（3）正确。这是轴对称的性质。（4）错误。中心对称图形不一定是轴对称图形，例如平行四边形。（5）正确。位似图形是特殊的相似图形。
  2. 关于 $x$ 轴：$(3,2)$；关于 $y$ 轴：$(-3,-2)$；关于原点：$(-3,2)$；逆时针旋转 $90^\circ$：$(2,3)$（公式 $(x,y)\to(-y,x)$）。
  3. （1）圆柱；（2）圆锥；（3）正方体。
  4. 平行投影的光线是平行的，中心投影的光线交于一点；同一时刻物高与影长成比例适用于平行投影。
  5. 同侧：$(2,-3)$；异侧：$(-2,3)$。
  6. 相同点：平移、旋转、轴对称、中心对称都不改变图形的形状和大小，都改变图形的位置。不同点：平移不改变图形的方向；旋转、轴对称、中心对称都会改变图形的方向；轴对称的对称元素是一条直线，中心对称的对称元素是一个点。
  7. 不正确。以原点为位似中心、位似比为 $2$ 时，对应点可能在同侧 $(2,6)$，也可能在异侧 $(-2,-6)$；题目没有说明两个图形在位似中心的同侧还是异侧。
  8. 示例：（1）正方形（或圆、菱形）；（2）点 $(1,2)$ 向右平移 $2$ 个单位得到 $(3,2)$；（3）以原点为位似中心，把三角形各顶点坐标乘以 $2$，得到的新三角形与原三角形的位似比为 $2$。
  9. 作法：作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$，连接 $A'B$ 交 $l$ 于点 $P$，则 $P$ 为所求。理由：$PA=PA'$，所以 $PA+PB=PA'+PB$；当 $A',P,B$ 三点共线时，$PA'+PB$ 最小，即 $PA+PB$ 最小。
  10. （1）旋转不改变图形的大小，所以 $AE=CF$。（2）旋转角为 $90^\circ$，对应线段 $AE$ 与 $CF$ 的夹角等于 $90^\circ$，所以 $AE\perp CF$。