第 3 章 分式与二次根式

本章把八年级的分式运算与二次根式合并在一起。分式是“含字母的除法”，二次根式是“含根号的代数式”，二者都要求先明确字母的取值范围，再进行化简和运算。

3.1 分式的意义与性质

3.1.1 分式的意义

如果 $A,B$ 表示两个整式，且 $B$ 中含有字母，那么式子 $\frac{A}{B}$ 叫分式。其中 $A$ 叫分子，$B$ 叫分母。

  • 分式有意义：分母 $B\neq0$。
  • 分式无意义：分母 $B=0$。
  • 分式的值为 $0$：分子 $A=0$，且分母 $B\neq0$。
  • 判断一个式子是不是分式，关键看分母中是否含有字母，而不是看是否含有分数线。

3.1.2 分式的基本性质

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 $0$ 的整式，分式的值不变。

$$ \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C},\qquad \frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}\quad(C\neq0) $$

  • 基本性质是约分和通分的依据。
  • 乘（或除以）的整式必须不等于 $0$。
  • 分子、分母要同时乘或除以同一个整式，不能只对其中一项变形。

3.1.3 约分与最简分式

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫约分。

  • 分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。
  • 约分的关键是找出分子、分母的公因式：系数取最大公因数，字母取相同字母的最低次幂，多项式要先因式分解。
  • 约分的结果通常写成最简分式或整式。
  • 约分时要注意分母不能为 $0$，约去的公因式不能为 $0$。

3.1.4 通分与最简公分母

把几个异分母分式化成与原来分式相等的同分母分式，叫通分。

  • 通分的关键是确定最简公分母。
  • 最简公分母：各分母系数的最小公倍数，所有字母的最高次幂，所有因式的最高次幂的积。
  • 通分后，各分式的分子要乘以相应的整式，不能漏乘。
  • 通分常用于异分母分式的加减和大小比较。

3.2 分式的运算

3.2.1 分式的乘除

$$ \frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\quad(B,D\neq0) $$

$$ \frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}\quad(B,C,D\neq0) $$

  • 分式乘法：分子乘分子，分母乘分母，能约分的先约分。
  • 分式除法：除以一个分式，等于乘这个分式的倒数。
  • 运算结果要化成最简分式或整式。
  • 分子、分母是多项式时，先因式分解，再约分。

3.2.2 分式的乘方

$$ \left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}\quad(B\neq0,\ n\text{ 为正整数}) $$

  • 分式乘方，分子、分母分别乘方。
  • 负整数指数幂也可以转化为分式：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$）。

3.2.3 分式的加减

同分母分式相加减：

$$ \frac{A}{C}\pm\frac{B}{C}=\frac{A\pm B}{C}\quad(C\neq0) $$

  • 分母不变，分子相加减。
  • 分子相减时，要把减式的分子看作一个整体，加上括号。

异分母分式相加减：

  • 先通分，化成同分母分式，再按同分母分式加减法计算。
  • 通分后的分子要进行相应的乘法，不能漏项。
  • 结果要化成最简分式。

3.2.4 分式的混合运算

  • 运算顺序与分数混合运算相同：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面的。
  • 同级运算从左到右进行。
  • 能运用运算律简化计算的，要先化简。
  • 分式的分子、分母是多项式时，通常先因式分解，便于约分和通分。
  • 化简求值时，要注意使原分式有意义的字母取值。

3.3 二次根式

3.3.1 二次根式的意义

形如 $\sqrt{a}$（$a\ge0$）的式子叫二次根式，$a$ 叫被开方数。

  • 二次根式有意义的条件：被开方数 $a\ge0$。
  • $\sqrt{a}$ 表示 $a$ 的算术平方根，所以 $\sqrt{a}\ge0$。
  • 若二次根式在分母中，则被开方数必须大于 $0$。

3.3.2 二次根式的性质

$$ (\sqrt{a})^2=a\quad(a\ge0) $$

$$ \sqrt{a^2}=|a| $$

$$ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0,\ b\ge0) $$

$$ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0,\ b>0) $$

  • $\sqrt{a^2}=|a|$ 中，结果一定是非负数；当 $a\ge0$ 时等于 $a$，当 $a<0$ 时等于 $-a$。
  • 使用 $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 时，必须保证 $a\ge0$，$b\ge0$。
  • 使用 $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ 时，必须保证 $a\ge0$，$b>0$。

3.3.3 最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：

  1. 被开方数不含分母；
  2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
  • 化简二次根式时，要把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）移到根号外。
  • 被开方数是分数或分式时，要进行分母有理化。
  • 化简结果的分母中不能含有根号。

3.3.4 同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么它们叫同类二次根式。

  • 合并同类二次根式的方法与合并同类项类似：把根号外的因数相加，根号部分不变。
  • 判断同类二次根式，必须先化成最简二次根式。
  • 不是同类二次根式的，不能直接合并。

3.3.5 二次根式的运算

乘法：

$$ \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0,\ b\ge0) $$

除法：

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\quad(a\ge0,\ b>0) $$

加减法：

  • 先把各个二次根式化成最简二次根式。
  • 再合并同类二次根式。
  • 不是同类二次根式的，不能合并，只能保留在结果中。

混合运算：

  • 运算顺序与实数混合运算相同。
  • 可以运用乘法公式、分配律、平方差公式、完全平方公式简化计算。
  • 计算结果要化成最简二次根式。

3.3.6 分母有理化

把分母中的根号化去，叫分母有理化。

  • 分母是单项二次根式时，分子、分母同乘这个二次根式：

$$ \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}\quad(a>0) $$

  • 分母是 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 或 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 时，分子、分母同乘它的有理化因式：

$$ \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\quad(a\neq b) $$

$$ \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\quad(a\neq b) $$

  • 分母有理化的依据是平方差公式和分式的基本性质。

3.3.7 二次根式的估算与比较

  • 估算二次根式的大小，可以利用平方运算，把它夹在两个相邻整数之间。
  • 比较两个二次根式的大小，可以比较它们的平方；注意两个数都必须非负。
  • 比较含有根号的式子时，可以先变形，再平方，或把根号外的因数移到根号内。

练习

  1. 当 $x$ 取何值时，下列分式有意义？当 $x$ 取何值时，分式的值为 $0$？ （1）$\frac{x-1}{x+2}$ （2）$\frac{x^2-1}{x-1}$ （3）$\frac{x+3}{x^2-9}$

  2. 约分。 （1）$\frac{6a^2b}{9ab^2}$ （2）$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}$

  3. 通分。 （1）$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{3a^2}$ （2）$\frac{1}{x-1}$，$\frac{1}{x+1}$

  4. 计算。 （1）$\frac{x^2-1}{x^2+2x}\cdot\frac{x}{x-1}$ （2）$\frac{a^2-9}{a^2+6a+9}\div(a-3)$

  5. 计算。 （1）$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$ （2）$\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}$

  6. 先化简，再求值： $$\left(1+\frac{1}{x-1}\right)\div\frac{x}{x^2-1},$$ 其中 $x=2$。

  7. 当 $x$ 取何值时，下列二次根式有意义？ （1）$\sqrt{x-2}$ （2）$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ （3）$\sqrt{3-x}$ （4）$\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$

  8. 化简。 （1）$\sqrt{12}$ （2）$\sqrt{18}$ （3）$\sqrt{50}$ （4）$\sqrt{\frac{2}{3}}$ （5）$\sqrt{\frac{8}{9}}$ （6）$\sqrt{48}-\sqrt{27}$

  9. 计算。 （1）$\sqrt{6}\times\sqrt{3}$ （2）$\sqrt{24}\div\sqrt{3}$ （3）$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$

  10. 分母有理化。 （1）$\frac{1}{\sqrt{3}}$ （2）$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$ （3）$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

  11. 估算与比较。 （1）$\sqrt{10}+1$ 在哪两个相邻整数之间？ （2）比较 $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{10}$ 的大小。

  12. 已知 $x=\sqrt{3}+1$，求 $x^2-2x$ 的值。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）分式 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 的值为 $0$ 时，$x=\pm1$。 （2）$\sqrt{x-1}$ 有意义的条件是 $x\ge1$。 （3）$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是最简二次根式。 （4）$\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{18}$ 是同类二次根式。 （5）$\sqrt{a^2}=a$。

  2. 先化简，再求值：$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}$，其中 $x=3$。

  3. 计算：$\left(1+\frac{1}{x}\right)\div\frac{x^2-1}{x}$。

  4. 化简：$\sqrt{75}-\sqrt{27}+\sqrt{\frac{1}{3}}$。

  5. 分母有理化。 （1）$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ （2）$\frac{2}{\sqrt{2}}$

  6. 化简：$\sqrt{(3-\pi)^2}$。

  7. 已知 $x=\sqrt{2}+1$，求 $x^2-2x+1$ 和 $\frac{1}{x}$ 的值。

  8. 说明分式的基本性质中为什么要规定“$C\neq0$”，并说明使用 $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 时需要满足什么条件。

  9. 写出满足下列条件的式子各一个。 （1）一个在 $x=2$ 时无意义的分式。 （2）一个最简二次根式。 （3）一个与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的二次根式。

  10. 一个长方形的面积是 $\sqrt{12}$，宽是 $\sqrt{3}$，求它的长和周长。

参考答案与提示

  1. （1）有意义：$x\neq-2$；值为 $0$：$x=1$。（2）有意义：$x\neq1$；值为 $0$：$x=-1$。（3）有意义：$x\neq\pm3$；分子为 $0$ 时 $x=-3$，但此时分母为 $0$，所以分式没有值为 $0$ 的情况。
  2. （1）$\frac{2a}{3b}$；（2）$\frac{x+2}{x-2}$（$x\neq2$）。
  3. （1）最简公分母 $6a^2$，分别为 $\frac{3a}{6a^2}$，$\frac{2}{6a^2}$；（2）最简公分母 $(x-1)(x+1)$，分别为 $\frac{x+1}{x^2-1}$，$\frac{x-1}{x^2-1}$。
  4. （1）$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+2)}\cdot\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x+2}$；（2）$\frac{(a-3)(a+3)}{(a+3)^2}\cdot\frac{1}{a-3}=\frac{1}{a+3}$。
  5. （1）$\frac{(x+1)-(x-1)}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-1}$；（2）$\frac{2}{x^2-1}+\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}$。
  6. 原式 $=\frac{x}{x-1}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{x}=x+1$。当 $x=2$ 时，原式 $=3$。
  7. （1）$x\ge2$；（2）$x>-1$；（3）$x\le3$；（4）$1\le x\le2$。
  8. （1）$2\sqrt{3}$；（2）$3\sqrt{2}$；（3）$5\sqrt{2}$；（4）$\frac{\sqrt{6}}{3}$；（5）$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；（6）$\sqrt{3}$。
  9. （1）$3\sqrt{2}$；（2）$2\sqrt{2}$；（3）$7+2\sqrt{10}$。
  10. （1）$\frac{\sqrt{3}}{3}$；（2）$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；（3）$\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
  11. （1）因为 $3<\sqrt{10}<4$，所以 $4<\sqrt{10}+1<5$，在 $4$ 和 $5$ 之间；（2）$(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2=10+2\sqrt{21}>10=(\sqrt{10})^2$，所以 $\sqrt{7}+\sqrt{3}>\sqrt{10}$。
  12. $x^2-2x=(x-1)^2-1=(\sqrt{3})^2-1=3-1=2$。

检测题参考答案

  1. （1）错误。分式的值为 $0$ 必须分子为 $0$ 且分母不为 $0$。$x=1$ 时分母为 $0$，分式无意义；只有 $x=-1$ 时值为 $0$。（2）正确。被开方数 $x-1\ge0$，所以 $x\ge1$。（3）正确。被开方数 $2$ 不含分母，也不含能开得尽方的因数，且分母中不含根号。（4）正确。$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，化成最简二次根式后被开方数相同。（5）错误。$\sqrt{a^2}=|a|$，当 $a<0$ 时等于 $-a$。
  2. 原式 $=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{x+2}{x-2}$。当 $x=3$ 时，原式 $=5$。
  3. 原式 $=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}$。
  4. $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以原式 $=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。
  5. （1）$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$；（2）$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
  6. 因为 $\pi>3$，所以 $3-\pi<0$，$\sqrt{(3-\pi)^2}=|3-\pi|=\pi-3$。
  7. $x^2-2x+1=(x-1)^2=(\sqrt{2})^2=2$；$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$。
  8. 分式的基本性质是“分子、分母同乘（或除以）同一个不等于 $0$ 的整式”，如果 $C=0$，分子、分母都变成 $0$，分式没有意义，所以必须规定 $C\neq0$。使用 $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 时，必须满足 $a\ge0$，$b\ge0$；否则根号内的负数没有实数平方根。
  9. 示例：（1）$\frac{1}{x-2}$；（2）$\sqrt{5}$；（3）$2\sqrt{3}$。
  10. 长 $=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2$；周长 $=2(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}$。