第 4 章 方程与不等式

本章把七年级的一元一次方程、二元一次方程组、不等式，与八年级的分式方程、九年级的一元二次方程合并为一条主线。核心是“用等式或不等式表示数量关系，再通过变形求出未知量”。

4.1 方程与等式

4.1.1 方程

含有未知数的等式叫方程。

  • 方程必须同时满足两个条件：含有未知数，是等式。
  • 使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
  • 求方程的解的过程，叫解方程。
  • 只含有一个未知数，未知数的次数都是 $1$，且等号两边都是整式的方程，叫一元一次方程。

一元一次方程的一般形式：

$$ ax+b=0\quad(a\neq0) $$

4.1.2 等式的性质

性质 1：等式两边同时加上或减去同一个数（或同一个式子），所得结果仍是等式。

性质 2：等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 $0$ 的数，所得结果仍是等式。

  • 等式两边不能同时除以 $0$。
  • 等式的性质是解方程的依据。
  • 方程的解必须代入原方程检验。

4.2 一元一次方程

4.2.1 解法步骤

  1. 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。
  2. 去括号：按去括号法则，注意括号前的符号。
  3. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边；移项要变号。
  4. 合并同类项：把方程化成 $ax=b$ 的形式。
  5. 系数化为 $1$：两边同除以 $a$（$a\neq0$），得到 $x=\frac{b}{a}$。
  6. 检验：把解代入原方程，看左右两边是否相等。

4.2.2 解方程的注意事项

  • 去分母时，不要漏乘不含分母的项。
  • 去括号时，括号前是“$-$”号，括号内各项都要变号。
  • 移项要变号，没有移的项不变号。
  • 系数化为 $1$ 时，要注意符号。
  • 解方程的结果要检验，尤其是去分母、去括号后容易出错。

4.2.3 一元一次方程的应用

  • 审题，找出已知量和未知量。
  • 设未知数，通常设所求量为 $x$。
  • 找出等量关系，列出方程。
  • 解方程，检验是否符合实际意义。
  • 常见类型：和差倍问题、行程问题、工程问题、价格问题、数字问题、比例分配问题。

4.3 二元一次方程组

4.3.1 二元一次方程与方程组

含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 $1$ 的整式方程，叫二元一次方程。

把几个二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。

  • 二元一次方程有无数组解；二元一次方程组的解是组成它的各个方程的公共解。
  • 二元一次方程组一般有一组解，也可能无解或有无数组解。

4.3.2 代入消元法

  1. 从其中一个方程中，用一个未知数表示另一个未知数。
  2. 把这个式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。
  3. 解一元一次方程，求出一个未知数的值。
  4. 把求出的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
  5. 写出方程组的解，并检验。

4.3.3 加减消元法

  1. 观察两个方程中同一个未知数的系数，确定相加还是相减。
  2. 如果系数不相同，可以先把方程两边乘适当的数，使同一个未知数的系数相等或互为相反数。
  3. 把两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程。
  4. 解一元一次方程，求出一个未知数的值。
  5. 代入原方程求出另一个未知数，写出解并检验。

4.3.4 三元一次方程组（拓展）

  • 含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是 $1$ 的方程组叫三元一次方程组。
  • 解三元一次方程组的基本思路是消元：先消去一个未知数，把三元转化为二元，再转化为一元。
  • 消元时，要选择系数比较简单、容易消去的未知数。

4.3.5 二元一次方程组的应用

  • 设两个未知数，找出两个等量关系，列出两个方程。
  • 常见类型：和差倍问题、价格问题、行程问题、工程问题、配套问题、表格信息问题。
  • 解出结果后，要检验是否符合实际意义。

4.4 一元二次方程

4.4.1 一元二次方程的意义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 $2$ 的整式方程，叫一元二次方程。

一般形式：

$$ ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0) $$

  • $a$ 叫二次项系数，$b$ 叫一次项系数，$c$ 叫常数项。
  • 二次项系数 $a$ 不能为 $0$；$b,c$ 可以为 $0$。
  • 判断一元二次方程时，要先整理成一般形式，再看未知数的最高次数和二次项系数。

4.4.2 直接开平方法

  • 形如 $(x+m)^2=n$（$n\ge0$）的方程，可以直接开平方： $$ x+m=\pm\sqrt{n} $$ 从而 $x=-m\pm\sqrt{n}$。
  • 形如 $x^2=n$（$n\ge0$）的方程，解为 $x=\pm\sqrt{n}$。
  • 如果 $n<0$，方程没有实数根。

4.4.3 配方法

  1. 把方程化成 $x^2+px+q=0$ 的形式（二次项系数化为 $1$）。
  2. 移项：$x^2+px=-q$。
  3. 两边加上一次项系数一半的平方：$x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2=-q+\left(\frac{p}{2}\right)^2$。
  4. 写成完全平方：$\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2-4q}{4}$。
  5. 直接开平方，求出两个根。
  6. 如果右边小于 $0$，方程没有实数根。

4.4.4 公式法

对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），当判别式 $\Delta=b^2-4ac\ge0$ 时：

$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

  • 判别式：

$$ \Delta=b^2-4ac $$

  • $\Delta>0$：方程有两个不相等的实数根。
  • $\Delta=0$：方程有两个相等的实数根。
  • $\Delta<0$：方程没有实数根。
  • 用公式法前，要先把方程整理成一般形式，确定 $a,b,c$ 的值，注意符号。

4.4.5 因式分解法

  • 如果方程的一边可以分解成两个一次因式的积，另一边是 $0$，那么可以根据“几个因式的积为 $0$，至少有一个因式为 $0$”来解。
  • 即：若 $ab=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$。
  • 因式分解法适用于容易分解的方程；不能分解时，考虑公式法或配方法。
  • 注意不要两边同时除以含有未知数的式子，以免失根。

4.4.6 根与系数的关系（拓展）

如果 $x_1,x_2$ 是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的两个根，那么：

$$ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a} $$

  • 使用根与系数的关系时，必须保证方程有实数根，即 $\Delta\ge0$。
  • 常用变形：

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 $$

$$ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 $$

4.4.7 一元二次方程的应用

  • 增长率问题：$a(1+x)^2=b$，其中 $a$ 是初始量，$b$ 是两次增长后的量，$x$ 是平均增长率。
  • 面积问题：根据面积公式列方程，注意舍去不符合实际意义的根。
  • 经济问题：利润 $=$ 售价 $-$ 成本；总利润 $=$ 单件利润 $\times$ 销售量。
  • 运动问题：根据路程、速度、时间的关系列方程。
  • 解出方程后，要检验根是否符合实际意义。

4.5 分式方程

4.5.1 分式方程的意义

分母中含有未知数的方程叫分式方程。

  • 分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数。
  • 解分式方程的基本思路是“去分母”，把分式方程转化为整式方程。

4.5.2 解分式方程

  1. 找出各分母的最简公分母。
  2. 方程两边同乘最简公分母，约去分母，得到整式方程。
  3. 解这个整式方程。
  4. 检验：把求得的根代入最简公分母，如果最简公分母为 $0$，则这个根是增根，必须舍去；如果不为 $0$，则是原方程的解。
  5. 写出原方程的解。

4.5.3 增根

在去分母的过程中，如果方程两边同乘的最简公分母为 $0$，就可能产生使原分式方程分母为 $0$ 的根，这样的根叫增根。

  • 增根不是原分式方程的解，必须舍去。
  • 解分式方程必须检验，检验的方法是代入最简公分母，看它是否为 $0$。
  • 解分式方程时，不能只在最后检验，去分母时就要注意分母不为 $0$ 的条件。

4.5.4 分式方程的应用

  • 设未知数，找出等量关系。
  • 根据题意列出分式方程。
  • 解方程并检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义。
  • 常见类型：工程问题、行程问题、价格问题、浓度问题。

4.6 不等式与不等式组

4.6.1 不等式

用不等号表示大小关系的式子叫不等式。

  • 常见的不等号：$>$、$<$、$\ge$、$\le$、$\neq$。
  • 使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
  • 一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
  • 求不等式解集的过程，叫解不等式。

4.6.2 不等式的性质

性质 1：不等式两边同时加上或减去同一个数（或同一个式子），不等号的方向不变。

性质 2：不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变。

性质 3：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

  • 不等式两边不能同时乘或除以 $0$。
  • 性质 3 是解不等式时最容易出错的地方，系数为负数时，最后一步要改变不等号方向。

4.6.3 一元一次不等式

只含有一个未知数，未知数的次数是 $1$，且不等号两边都是整式的不等式，叫一元一次不等式。

  • 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 $1$。
  • 系数化为 $1$ 时，如果除以负数，不等号方向要改变。
  • 解集可以在数轴上表示：大于向右画，小于向左画；含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈。

4.6.4 一元一次不等式组

几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。

  • 不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分。
  • 解不等式组的步骤：分别解每个不等式，再在数轴上表示，找出公共部分。
  • 解集口诀：
    • 同大取大；
    • 同小取小；
    • 大小小大中间找；
    • 大大小小无解了。
  • 不等式组可能无解，也可能有有限个整数解。

4.6.5 不等式（组）的应用

  • 根据“至少”“至多”“不超过”“不低于”等词语，确定不等号。
  • 设未知数，列出不等式或不等式组。
  • 解出解集后，要结合实际情况取整数解或确定取值范围。
  • 常见类型：方案选择、购买问题、分配问题、生产问题。

4.7 方程与不等式的综合应用

  • 方程模型：找等量关系，列方程。
  • 不等式模型：找不等关系，列不等式（组）。
  • 函数模型：当数量关系可以用函数表示时，利用函数图像或性质求最值。
  • 方案选择：分别表示不同方案的数量关系，再比较；有时需要分类讨论。
  • 检验：既要检验数学结果是否正确，也要检验是否符合实际意义。

练习

  1. 解方程。 （1）$3x-5=2x+1$ （2）$\frac{2(x-1)}{3}-\frac{x+2}{2}=1$

  2. 解方程组。 （1）$\begin{cases}x+y=5\2x-y=1\end{cases}$ （2）$\begin{cases}2x+3y=12\x-y=1\end{cases}$

  3. 解三元一次方程组（拓展）。 $$\begin{cases}x+y+z=6\x-y=1\y-z=1\end{cases}$$

  4. 解方程。 （1）$x^2-4x+3=0$ （2）$2x^2-3x-2=0$ （3）$x^2-6x+5=0$（用配方法） （4）$x^2-2x-3=0$

  5. 解分式方程。 （1）$\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}$ （2）$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x+1}$ （3）$\frac{1}{x-1}+2=\frac{3}{x-1}$

  6. 解不等式。 （1）$2x-3>5$ （2）$-3x+1\le7$ （3）$\frac{x-1}{2}<\frac{2x+1}{3}$

  7. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。 （1）$\begin{cases}x-1>0\2x\le6\end{cases}$ （2）$\begin{cases}2x-1<3\x+2\ge0\end{cases}$ （3）$\begin{cases}x>3\x<1\end{cases}$

  8. 列方程（组）解决实际问题。 （1）甲、乙两地相距 $280$ 千米，两车同时从两地相对开出，甲车每小时行 $60$ 千米，乙车每小时行 $80$ 千米。几小时后两车相遇？ （2）一项工程，甲队单独做 $10$ 天完成，乙队单独做 $15$ 天完成。两队合作，几天可以完成？ （3）买 $3$ 支笔和 $2$ 本笔记本共 $24$ 元，已知每支笔 $4$ 元，每本笔记本多少元？

  9. 某商品原价 $100$ 元，连续两次降价，每次降价的百分率相同，现价为 $81$ 元。求每次降价的百分率。

  10. 某通信公司有两种套餐： A 套餐：月租 $20$ 元，每分钟通话费 $0.2$ 元； B 套餐：无月租，每分钟通话费 $0.3$ 元。 设每月通话时间为 $x$ 分钟。 （1）分别写出两种套餐的费用。 （2）每月通话多少分钟时，两种套餐费用相同？ （3）每月通话多少分钟时，A 套餐更便宜？

  11. 已知一元二次方程 $x^2-3x-1=0$ 的两个根为 $x_1,x_2$。 （1）求 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$。 （2）求 $x_1^2+x_2^2$。

  12. 判断下面说法是否正确，并说明理由。 （1）解分式方程时必须检验。 （2）一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 中，$a$ 可以等于 $0$。 （3）不等式两边同时乘同一个数，不等号方向一定不变。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）方程 $2x+1=3$ 的解是 $x=1$。 （2）由 $a>b$ 可以得到 $ac>bc$。 （3）分式方程去分母后解得的根一定是原方程的解。 （4）一元二次方程 $x^2+1=0$ 没有实数根。 （5）不等式 $-2x>4$ 的解集是 $x>-2$。

  2. 解方程（组）。 （1）$5x-2=3x+6$ （2）$\begin{cases}2x+y=7\x-y=2\end{cases}$

  3. 解方程。 （1）$x^2-2x-8=0$ （2）$2x^2-5x+1=0$ （3）$x^2-4x+4=0$

  4. 解分式方程：$\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}$。

  5. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： $$\begin{cases}3x-2>4\2x-1\le5\end{cases}$$

  6. 某班购买甲、乙两种奖品，甲种奖品每件 $20$ 元，乙种奖品每件 $30$ 元，共买 $20$ 件，花费 $520$ 元。甲、乙两种奖品各买了多少件？

  7. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 解方程 $x^2=3x$。 解：两边同时除以 $x$，得 $x=3$。

  8. 已知 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-3x-2=0$ 的两个根，求 $x_1+x_2$、$x_1x_2$ 和 $x_1^2+x_2^2$。

  9. 编写一个满足下列条件的方程或不等式组。 （1）一个解为 $x=2$ 的分式方程。 （2）一个解集为 $1<x\le2$ 的不等式组。

  10. 某商场有两种促销方案： A 方案：商品一律打八折； B 方案：购物满 $200$ 元后，立减 $50$ 元。 设购物原价为 $x$ 元（$x\ge200$）。 （1）分别写出两种方案的实际付款金额。 （2）购物原价为多少元时，两种方案付款相同？ （3）购物原价在什么范围时，A 方案更划算？

参考答案与提示

  1. （1）$x=6$；（2）去分母得 $4(x-1)-3(x+2)=6$，解得 $x=16$。
  2. （1）$\begin{cases}x=2\y=3\end{cases}$；（2）$\begin{cases}x=3\y=2\end{cases}$。
  3. 由 $x-y=1$ 得 $x=y+1$；由 $y-z=1$ 得 $y=z+1$，所以 $x=z+2$。代入 $x+y+z=6$ 得 $3z+3=6$，$z=1$，$y=2$，$x=3$。
  4. （1）$(x-1)(x-3)=0$，$x_1=1,x_2=3$；（2）$\Delta=9+16=25$，$x=\frac{3\pm5}{4}$，$x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$；（3）$(x-3)^2=4$，$x_1=1,x_2=5$；（4）$(x-3)(x+1)=0$，$x_1=3,x_2=-1$。
  5. （1）$x=3$；（2）$x=-3$；（3）$x=2$。
  6. （1）$x>4$；（2）$x\ge-2$；（3）去分母得 $3(x-1)<2(2x+1)$，解得 $x>-5$。
  7. （1）$1<x\le3$；（2）$-2\le x<2$；（3）无解。数轴表示略。
  8. （1）设 $x$ 小时后相遇，$(60+80)x=280$，$x=2$；（2）设合作 $x$ 天完成，$\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\right)x=1$，$x=6$；（3）设每本笔记本 $x$ 元，$3\times4+2x=24$，$x=6$。
  9. 设每次降价的百分率为 $x$，$100(1-x)^2=81$，$(1-x)^2=0.81$，$1-x=0.9$（负值舍去），$x=0.1=10%$。
  10. （1）A 套餐费用 $20+0.2x$ 元，B 套餐费用 $0.3x$ 元；（2）$20+0.2x=0.3x$，$x=200$ 分钟；（3）$20+0.2x<0.3x$，$x>200$ 分钟。
  11. （1）$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-1$；（2）$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9+2=11$。
  12. （1）正确。去分母可能产生增根，必须检验。（2）错误。$a=0$ 时方程不是一元二次方程。（3）错误。乘负数时不等号方向要改变。

检测题参考答案

  1. （1）正确。代入左边 $=2\times1+1=3=$ 右边。（2）错误。当 $c\le0$ 时结论不一定成立；只有 $c>0$ 时才能由 $a>b$ 得到 $ac>bc$。（3）错误。去分母可能产生增根，必须检验。（4）正确。$x^2=-1$，任何实数的平方都不小于 $0$，所以没有实数根。（5）错误。两边同除以 $-2$，不等号方向改变，解集是 $x<-2$。
  2. （1）$x=4$；（2）$\begin{cases}x=3\y=1\end{cases}$。
  3. （1）$(x-4)(x+2)=0$，$x_1=4,x_2=-2$；（2）$\Delta=25-8=17$，$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$；（3）$(x-2)^2=0$，$x_1=x_2=2$。
  4. 去分母得 $3x=2(x-2)$，$x=-4$。检验：$x=-4$ 时，$x(x-2)\neq0$，所以 $x=-4$ 是原方程的解。
  5. 由 $3x-2>4$ 得 $x>2$；由 $2x-1\le5$ 得 $x\le3$。所以解集为 $2<x\le3$。数轴略。
  6. 设甲种奖品买了 $x$ 件，乙种奖品买了 $20-x$ 件。$20x+30(20-x)=520$，$x=8$，乙种 $12$ 件。
  7. 不正确。两边同时除以 $x$ 时，默认 $x\neq0$，漏掉了 $x=0$ 这个根。正确解法：$x^2-3x=0$，$x(x-3)=0$，$x_1=0,x_2=3$。
  8. $x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-2$，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9+4=13$。
  9. 示例：（1）$\frac{2}{x}=1$，解为 $x=2$，且分母不为 $0$；（2）$\begin{cases}x-1>0\x-2\le0\end{cases}$，解集为 $1<x\le2$。
  10. （1）A 方案付款 $0.8x$ 元，B 方案付款 $x-50$ 元；（2）$0.8x=x-50$，$x=250$ 元；（3）$0.8x<x-50$，$x>250$，所以购物原价大于 $250$ 元时，A 方案更划算。