第 6 章 三角形

本章把七年级的三角形基本性质、八年级的全等三角形、等腰三角形、勾股定理、三角形中位线，以及尺规作图与证明合并为一条主线。三角形是初中几何的基础，全等和勾股定理是两条核心工具。

6.1 三角形的基本性质

6.1.1 三角形的概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。

  • 三角形有三条边、三个内角、三个顶点。
  • 三角形用符号“$\triangle$”表示，例如 $\triangle ABC$。
  • 三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
  • 三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
  • 等边三角形是特殊的等腰三角形。

6.1.2 三角形的三边关系

三角形任意两边之和大于第三边。

  • 也可以说：三角形任意两边之差小于第三边。
  • 判断三条线段能否组成三角形，只需看较短的两条线段之和是否大于第三条线段。
  • 已知三角形两边长，第三边的取值范围是：两边之差 $<$ 第三边 $<$ 两边之和。

6.1.3 三角形的内角和与外角

三角形三个内角的和等于 $180^\circ$。

  • 直角三角形的两个锐角互余，即和为 $90^\circ$。
  • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
  • 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
  • 三角形的外角和等于 $360^\circ$。

6.1.4 三角形中的重要线段

中线：

  • 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。
  • 三角形有三条中线，三条中线交于一点，这个点叫三角形的重心（拓展）。
  • 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。

高：

  • 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。
  • 三角形有三条高；锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部。
  • 三角形的面积 $=\frac{1}{2}\times$ 底 $\times$ 高。

角平分线：

  • 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
  • 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫三角形的内心（拓展）。
  • 角平分线上的点到角的两边的距离相等；反之，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

垂直平分线：

  • 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线。
  • 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
  • 与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

6.1.5 三角形的稳定性

  • 三角形具有稳定性，即三角形的三边确定后，三角形的形状和大小就确定了。
  • 四边形不具有稳定性，容易变形。
  • 三角形的稳定性在生活中有广泛应用，例如自行车架、房屋屋顶。

6.2 全等三角形

6.2.1 全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

  • 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  • 全等三角形的周长相等，面积相等。
  • 全等用符号“$\cong$”表示，例如 $\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
  • 书写全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。

6.2.2 全等三角形的判定

  • SSS：三边分别相等的两个三角形全等。
  • SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
  • ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
  • AAS：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
  • HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

注意：

  • SSA（两边和其中一边的对角）不能判定两个三角形全等。
  • AAA（三个角）只能说明两个三角形相似，不能判定全等。
  • 判定两个三角形全等时，要找出对应边、对应角，注意“夹角”“夹边”的位置。

全等三角形的判定

6.2.3 全等三角形的性质

  • 全等三角形的对应边相等。
  • 全等三角形的对应角相等。
  • 全等三角形的对应线段（中线、高、角平分线）相等。
  • 全等三角形的周长相等，面积相等。

6.2.4 角平分线与垂直平分线的性质

角平分线：

  • 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
  • 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
  • 三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。

垂直平分线：

  • 线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等。
  • 与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
  • 三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。

6.2.5 证明的书写

  • 证明一般包括“已知”“求证”“证明”三部分。
  • 证明要从已知条件出发，根据定义、基本事实、定理，逐步推出结论。
  • 每一步推理都要有依据，不能凭空得出结论。
  • 常用推理格式：因为……，所以……。
  • 证明中常用的辅助线：连接两点、延长线段、作垂线、作平行线、倍长中线、截长补短等。

6.3 等腰三角形

6.3.1 等腰三角形的性质

有两边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫底边。

  • 等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。
  • 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
  • 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边上的高所在的直线）。

6.3.2 等腰三角形的判定

有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。

  • 判断等腰三角形，可以从边相等或角相等入手。
  • 等腰三角形的三线合一，常用于证明线段相等、角相等、垂直关系。

6.3.3 等边三角形

三条边都相等的三角形叫等边三角形。

  • 等边三角形的三个内角都相等，每个角都是 $60^\circ$。
  • 等边三角形是特殊的等腰三角形。
  • 等边三角形有三条对称轴。

等边三角形的判定：

  1. 三条边都相等的三角形是等边三角形。
  2. 三个角都相等的三角形是等边三角形。
  3. 有一个角是 $60^\circ$ 的等腰三角形是等边三角形。

6.3.4 含 30° 角的直角三角形

  • 在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30^\circ$，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  • 反之，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 $30^\circ$。
  • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
  • 这三个结论常用于求线段长度和证明线段相等。

6.4 勾股定理

6.4.1 勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边分别为 $a,b$，斜边为 $c$，那么：

$$ a^2+b^2=c^2 $$

  • 勾股定理只适用于直角三角形。
  • 使用时要分清直角边和斜边，斜边是直角所对的边，也是最长边。
  • 已知任意两边，可以求第三边：
    • $c=\sqrt{a^2+b^2}$；
    • $a=\sqrt{c^2-b^2}$；
    • $b=\sqrt{c^2-a^2}$。

勾股定理

6.4.2 勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，且边 $c$ 所对的角是直角。

  • 勾股定理的逆定理可以用来判断一个三角形是不是直角三角形。
  • 判断时，要先确定最长边，再检验较短两边的平方和是否等于最长边的平方。
  • 勾股定理是“已知直角三角形，得到三边关系”；逆定理是“已知三边关系，判定直角三角形”。

6.4.3 勾股数

能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，叫勾股数。

  • 常见的勾股数：$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$8,15,17$；$7,24,25$；$9,40,41$。
  • 勾股数的正整数倍仍然是勾股数。
  • 判断一组数是不是勾股数，既要满足平方关系，又要都是正整数。

6.4.4 勾股定理的应用

  • 求直角三角形的边长。
  • 求平面内两点之间的距离。
  • 解决航海、测量、折叠、最短路径等问题。
  • 立体图形表面上的最短路径问题，常把立体图形展开成平面图形，再用勾股定理求解。
  • 使用勾股定理时，要注意构造直角三角形；没有直角三角形时，可以通过作高、作垂线等方法构造。

6.5 三角形中位线

6.5.1 三角形中位线

连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

  • 三角形有三条中位线。
  • 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

6.5.2 中位线定理的应用

  • 已知三角形两边的中点，可以证明线段平行或求线段长度。
  • 中位线定理常用于证明线段倍分关系、构造平行四边形。
  • 三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形。
  • 三角形中位线的长度等于第三边的一半，周长等于原三角形周长的一半。

6.6 尺规作图与证明

6.6.1 尺规作图

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。初中常见的基本作图：

  1. 作一条线段等于已知线段。
  2. 作一个角等于已知角。
  3. 作已知角的平分线。
  4. 作已知线段的垂直平分线。
  5. 过一点作已知直线的垂线。
  6. 作已知三角形的全等三角形（SSS、SAS、ASA）。
  7. 作三角形：已知三边、两边及夹角、两角及夹边。

作图要求：

  • 保留作图痕迹，不要求写出作法时也要保留痕迹。
  • 作图语言要规范，例如“以点 $A$ 为圆心，$r$ 为半径作弧”。
  • 作完图后要说明所作图形符合要求。

6.6.2 命题与证明

  • 判断一件事情的语句叫命题。命题由条件和结论两部分组成。
  • 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
  • 要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。
  • 基本事实是经过长期实践总结出来、不需要证明的真命题。
  • 定理是经过推理证明得到的真命题。
  • 证明一个命题，要从条件出发，根据定义、基本事实、定理，推出结论。

6.6.3 反证法（拓展）

  • 反证法的步骤：
    1. 假设命题的结论不成立；
    2. 从这个假设出发，经过推理，得出与已知条件、定义、基本事实、定理或假设相矛盾的结果；
    3. 由矛盾说明假设不成立，从而原命题的结论成立。
  • 反证法常用于直接证明比较困难的问题，例如证明“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”。

6.7 三角形中的常见辅助线

  • 见中线，可倍长中线，构造全等三角形。
  • 见角平分线，可向两边作垂线，利用角平分线的性质。
  • 见等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”。
  • 见线段和差，可截长补短，构造全等三角形。
  • 见直角三角形，可考虑勾股定理、斜边中线、$30^\circ$ 角所对的直角边。
  • 见中点，可考虑三角形中位线。
  • 辅助线要画得合理，不能改变已知条件，也不能把待证结论当作已知。

练习

  1. 判断下列各组线段能否组成三角形。 （1）$3,4,5$ （2）$2,3,6$ （3）$5,5,8$ （4）$4,4,9$

  2. 已知三角形两边长分别为 $3$ 和 $7$，求第三边 $x$ 的取值范围。

  3. 计算。 （1）三角形两个内角分别为 $50^\circ$ 和 $60^\circ$，第三个角是多少度？ （2）三角形的一个外角是 $120^\circ$，与它不相邻的一个内角是 $40^\circ$，另一个不相邻的内角是多少度？ （3）直角三角形的一个锐角是 $35^\circ$，另一个锐角是多少度？

  4. 根据条件判定两个三角形全等，并说明理由。 （1）已知 $AB=DE$，$BC=EF$，还需添加什么条件可以用 SSS 判定？ （2）已知 $\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$，还需添加什么条件可以用 ASA 判定？ （3）已知两个直角三角形的一条斜边和一条直角边分别相等，可以用什么方法判定全等？

  5. 填空。 （1）$OP$ 平分 $\angle AOB$，点 $P$ 到 $OA$ 的距离是 $3$，则点 $P$ 到 $OB$ 的距离是（　　）。 （2）点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，$PA=5$，则 $PB=$（　　）。 （3）三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离（　　）。

  6. 等腰三角形。 （1）等腰三角形的顶角是 $80^\circ$，每个底角是多少度？ （2）等腰三角形的一个角是 $100^\circ$，另外两个角是多少度？ （3）等腰三角形的两条边分别是 $4$ 和 $8$，它的周长是多少？

  7. 等边三角形与含 $30^\circ$ 角的直角三角形。 （1）等边三角形的边长是 $6$，求它的高和面积。 （2）在直角三角形中，一个锐角是 $30^\circ$，斜边是 $10$，求 $30^\circ$ 角所对的直角边和另一条直角边。

  8. 勾股定理。 （1）直角三角形的两条直角边分别是 $3$ 和 $4$，求斜边。 （2）直角三角形的斜边是 $13$，一条直角边是 $5$，求另一条直角边。 （3）等腰直角三角形的直角边是 $4$，求斜边。

  9. 判断下列三边能否构成直角三角形。 （1）$6,8,10$ （2）$5,6,7$ （3）$7,24,25$

  10. 三角形三边长分别是 $6,8,10$，求三条中位线的长度和三条中位线围成的三角形的周长。

  11. 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）。 （1）作已知角的平分线。 （2）作已知线段的垂直平分线。 （3）过直线外一点作已知直线的垂线。

  12. 如图，$A,B$ 在直线 $l$ 的同侧，在 $l$ 上求作一点 $P$，使 $PA+PB$ 最小。说明作图方法，并说明理由。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）三角形三个内角的和等于 $180^\circ$。 （3）两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等。 （4）勾股定理只适用于直角三角形。 （5）有一个角是 $60^\circ$ 的等腰三角形是等边三角形。

  2. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=55^\circ$，$\angle B=65^\circ$，求 $\angle C$ 的度数。若 $\angle A$ 的一个外角为 $\angle ACD$，求 $\angle ACD$ 的度数。

  3. 如图，$AB=AD$，$\angle BAC=\angle DAC$，$AC$ 为公共边。求证：$\triangle ABC\cong\triangle ADC$，并说明 $BC=DC$。

  4. 等腰三角形的周长是 $20$，底边是 $6$，求腰长。若等腰三角形的一个底角是 $70^\circ$，求顶角。

  5. 一架长 $5$ 米的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离是 $3$ 米。求梯子顶端到地面的高度。如果梯子顶端下滑 $1$ 米，梯子底端将向外滑动多少米？

  6. 在 $\triangle ABC$ 中，$D,E$ 分别是 $AB,AC$ 的中点，$DE=5$。求 $BC$ 的长度，并说明 $DE\parallel BC$。

  7. 尺规作图：作 $\angle AOB$ 的平分线 $OC$，并说明 $OC$ 上的点到 $OA,OB$ 的距离相等。

  8. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 已知两个三角形有两边和其中一边的对角分别相等，所以这两个三角形全等。

  9. 写出满足下列条件的三角形各一个。 （1）一个三边长为勾股数的直角三角形。 （2）一个有一个角是 $30^\circ$ 的直角三角形。 （3）一个等腰直角三角形。

  10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点。求证：$AD\perp BC$，且 $AD$ 平分 $\angle BAC$。

参考答案与提示

  1. （1）能，$3+4>5$；（2）不能，$2+3<6$；（3）能，$5+5>8$；（4）不能，$4+4<9$。
  2. 由三边关系，$7-3<x<7+3$，即 $4<x<10$。
  3. （1）$180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$；（2）$120^\circ-40^\circ=80^\circ$；（3）$90^\circ-35^\circ=55^\circ$。
  4. （1）添加 $AC=DF$，用 SSS；（2）添加 $AB=DE$（或 $AC=DF$），用 ASA（或 AAS）；（3）用 HL。
  5. （1）$3$；（2）$5$；（3）相等。
  6. （1）$(180^\circ-80^\circ)\div2=50^\circ$；（2）$100^\circ$ 是顶角，两个底角都是 $40^\circ$；（3）若两腰为 $4$，则 $4+4=8$，不能组成三角形；所以两腰为 $8$，底为 $4$，周长 $20$。
  7. （1）高 $=3\sqrt{3}$，面积 $=\frac{1}{2}\times6\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$；（2）$30^\circ$ 角所对的直角边是 $5$，另一条直角边是 $5\sqrt{3}$。
  8. （1）$5$；（2）$12$；（3）$4\sqrt{2}$。
  9. （1）能，$6^2+8^2=10^2$；（2）不能，$5^2+6^2=61\neq7^2$；（3）能，$7^2+24^2=625=25^2$。
  10. 中位线长度分别为 $3,4,5$；三条中位线围成的三角形周长 $=3+4+5=12$。
  11. 略，保留作图痕迹。
  12. 作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$，连接 $A'B$ 交 $l$ 于点 $P$，则 $PA+PB$ 最小。理由：$PA=PA'$，所以 $PA+PB=PA'+PB$；两点之间线段最短，$A'B$ 与 $l$ 的交点即为使和最小的点。

检测题参考答案

  1. （1）正确。这是三角形的三边关系。（2）正确。这是三角形内角和定理。（3）错误。两边和其中一边的对角分别相等，不能判定全等（SSA 不成立）。（4）正确。勾股定理的题设是直角三角形。（5）正确。等腰三角形有一个角是 $60^\circ$，无论是顶角还是底角，都可以推出三个角都是 $60^\circ$，所以是等边三角形。
  2. $\angle C=180^\circ-55^\circ-65^\circ=60^\circ$；外角 $\angle ACD=\angle A+\angle B=55^\circ+65^\circ=120^\circ$（或 $180^\circ-\angle ACB=120^\circ$）。
  3. 在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 中，$AB=AD$，$\angle BAC=\angle DAC$，$AC=AC$，所以 $\triangle ABC\cong\triangle ADC$（SAS），所以 $BC=DC$。
  4. 腰长 $=(20-6)\div2=7$；顶角 $=180^\circ-2\times70^\circ=40^\circ$。
  5. 梯子顶端高度 $=\sqrt{5^2-3^2}=4$ 米。顶端下滑 $1$ 米后高度为 $3$ 米，底端到墙的距离为 $\sqrt{5^2-3^2}=4$ 米，所以底端向外滑动 $4-3=1$ 米。
  6. $BC=2DE=10$；根据三角形中位线定理，$DE\parallel BC$。
  7. 略。角平分线上的点到角的两边距离相等。
  8. 不正确。SSA 不能判定两个三角形全等；两边和其中一边的对角分别相等，两个三角形不一定全等。
  9. 示例：（1）$3,4,5$；（2）三边为 $5,5\sqrt{3},10$ 的直角三角形；（3）直角边为 $1,1$、斜边为 $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形。
  10. 因为 $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BD=CD$，$AD$ 是底边上的中线。由等腰三角形“三线合一”，$AD$ 也是底边上的高和顶角平分线，所以 $AD\perp BC$，且 $AD$ 平分 $\angle BAC$。