第 8 章 相似与锐角三角函数

本章把九年级的相似三角形与锐角三角函数合并在一起。相似研究图形的形状关系，三角函数研究直角三角形中边与角的数量关系，二者常结合使用。

8.1 比例线段

8.1.1 比例线段

在四条线段 $a,b,c,d$ 中，如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段。

  • 比例的基本性质：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc$（$b,d\neq0$）。
  • 合比性质：如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么 $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
  • 分比性质：如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么 $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$。
  • 等比性质：如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{m}{n}$，且 $b+d+\cdots+n\neq0$，那么 $\frac{a+c+\cdots+m}{b+d+\cdots+n}=\frac{a}{b}$。
  • 比例线段中的线段长度都是正数。

8.1.2 黄金分割

在线段 $AB$ 上取一点 $C$，如果 $\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，那么点 $C$ 叫线段 $AB$ 的黄金分割点。

  • 黄金比：

$$ \frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618 $$

  • 一条线段的黄金分割点有两个，分别位于线段的两侧对称位置。
  • 黄金分割在建筑、艺术和自然界中有广泛应用。

8.1.3 平行线分线段成比例

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

  • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
  • 在 $\triangle ABC$ 中，如果 $DE\parallel BC$，且 $D,E$ 分别在 $AB,AC$ 上，那么：

$$ \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC},\qquad \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},\qquad \frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC} $$

  • 利用平行线分线段成比例，可以求线段长度或证明线段成比例。

8.2 相似三角形

8.2.1 相似三角形的定义

对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。

  • 相似用符号“$\sim$”表示，例如 $\triangle ABC\sim\triangle DEF$。
  • 相似三角形对应边的比叫相似比。
  • 相似比是有顺序的；$\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 的相似比和 $\triangle DEF$ 与 $\triangle ABC$ 的相似比互为倒数。
  • 全等三角形是相似比为 $1$ 的相似三角形。

8.2.2 相似三角形的判定

  1. 平行判定：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
  2. AA：两角分别相等的两个三角形相似。
  3. SAS：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
  4. SSS：三边成比例的两个三角形相似。
  5. 直角三角形：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（拓展）。

注意：

  • 两个三角形有一个角相等，不能判定相似；必须有两组角分别相等。
  • 两边成比例时，夹角必须相等；如果是其中一边的对角相等，不能判定相似。
  • 判定相似时，要找准对应边和对应角。

相似三角形

8.2.3 相似三角形的性质

  • 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
  • 相似三角形的周长比等于相似比。
  • 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
  • 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
  • 相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比。

8.2.4 相似三角形的常见模型

  • A 字型：平行于三角形一边的直线截其他两边，构成与原三角形相似的三角形。
  • X 字型：两条直线相交，被一组平行线所截，形成相似三角形。
  • 母子型：直角三角形斜边上的高把原三角形分成两个小直角三角形，这两个小三角形都与原三角形相似。
  • 一线三等角：一条直线上有三个相等的角，常可构造相似三角形。
  • 证明相似时，要善于从图形中寻找公共角、对顶角、直角、平行线产生的同位角或内错角。

8.2.5 相似三角形的应用

  • 测量旗杆、楼房、树高等物体的高度：利用同一时刻物高与影长成比例。
  • 测量河宽、池塘宽度等不能直接测量的距离：构造相似三角形。
  • 镜面反射测高：利用入射角等于反射角构造相似三角形。
  • 证明线段成比例、线段相等、角相等。
  • 求面积比、周长比。

8.3 锐角三角函数

8.3.1 锐角三角函数的定义

在直角三角形中，设锐角 $A$ 的对边为 $a$，邻边为 $b$，斜边为 $c$，则：

$$ \sin A=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{a}{c} $$

$$ \cos A=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\frac{b}{c} $$

$$ \tan A=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}=\frac{a}{b} $$

  • $\sin A$、$\cos A$、$\tan A$ 都叫锐角 $A$ 的三角函数。
  • 对于锐角 $A$，$0<\sin A<1$，$0<\cos A<1$，$\tan A>0$。
  • 三角函数值只与角的大小有关，与三角形的大小无关。
  • 求三角函数值时，要先确定角所在的直角三角形，分清对边、邻边、斜边。

直角三角形中的锐角三角函数

8.3.2 特殊角的三角函数值

角 $A$ $\sin A$ $\cos A$ $\tan A$
$30^\circ$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $1$
$60^\circ$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$
  • 特殊角的三角函数值要熟记，并会进行相关计算。
  • 由特殊角的三角函数值，可以反推出角的度数。

8.3.3 锐角三角函数的性质

  • 当锐角 $A$ 增大时，$\sin A$ 增大，$\cos A$ 减小，$\tan A$ 增大。
  • 同角关系：

$$ \sin^2A+\cos^2A=1 $$

$$ \tan A=\frac{\sin A}{\cos A} $$

  • 互余关系：

$$ \sin A=\cos(90^\circ-A),\qquad \cos A=\sin(90^\circ-A) $$

$$ \tan A\cdot\tan(90^\circ-A)=1 $$

  • 这些关系常用于化简和求值。

8.4 解直角三角形

8.4.1 直角三角形中的边角关系

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，则：

  • 三边关系：$a^2+b^2=c^2$。
  • 两锐角关系：$\angle A+\angle B=90^\circ$。
  • 边角关系：

$$ \sin A=\frac{a}{c},\qquad \cos A=\frac{b}{c},\qquad \tan A=\frac{a}{b} $$

  • 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程。
  • 已知一边和一锐角，或已知两边，一般可以解直角三角形。

8.4.2 解直角三角形的基本类型

  1. 已知两条直角边：先用勾股定理求斜边，再用三角函数求锐角。
  2. 已知一条直角边和斜边：先用勾股定理求另一条直角边，再用三角函数求锐角。
  3. 已知一条直角边和一个锐角：用三角函数求另一边，再用两锐角互余求另一个锐角。
  4. 已知斜边和一个锐角：用三角函数求两条直角边，再用两锐角互余求另一个锐角。

8.4.3 仰角、俯角、坡度和方向角

  • 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫仰角。
  • 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角叫俯角。
  • 坡度：坡面的垂直高度 $h$ 与水平宽度 $l$ 的比叫坡度（坡比），记作 $i$：

$$ i=\frac{h}{l}=\tan\alpha $$

其中 $\alpha$ 叫坡角。

  • 方向角：用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等表示方向，通常以南北方向为基准，说明偏转角度。
  • 解决测量问题时，要画出示意图，构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题。

8.4.4 解直角三角形的应用

  • 测量高度：利用仰角、俯角和水平距离。
  • 测量距离：利用方向角和航行距离。
  • 坡度问题：利用坡度和坡角。
  • 航海问题：利用方向角构造直角三角形。
  • 实际问题中，要注意观测点、水平线、铅垂线，以及是否需要加上观测者的高度。

8.5 相似与三角函数的综合

  • 相似三角形可以用来求线段比例、面积比；锐角三角函数可以用来求直角三角形的边长和角。
  • 在直角三角形中，斜边上的高构成母子型相似，常与三角函数结合。
  • 射影定理（拓展）：在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$CD\perp AB$ 于 $D$，则：

$$ CD^2=AD\cdot BD,\qquad AC^2=AD\cdot AB,\qquad BC^2=BD\cdot AB $$

  • 求线段长度时，可以先利用相似得到比例式，再利用三角函数或勾股定理求解。
  • 证明角相等或线段成比例时，要善于寻找相似三角形。

练习

  1. 已知 $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，且 $b=6$，求 $a$。已知 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且 $a=2$，$b=3$，$c=4$，求 $d$。

  2. 线段 $AB=10$，点 $C$ 是 $AB$ 的黄金分割点，且 $AC>BC$。求 $AC$ 的长（结果保留根号）。

  3. 在 $\triangle ABC$ 中，$DE\parallel BC$，$D,E$ 分别在 $AB,AC$ 上，$AD:DB=2:3$，$AE=4$。求 $EC$ 和 $AC$。

  4. 根据条件判定两个三角形是否相似，并说明理由。 （1）$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$。 （2）$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，且 $\angle A=\angle D$。 （3）$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$。

  5. 两个相似三角形的相似比是 $2:3$。 （1）它们的周长比是多少？ （2）它们的面积比是多少？ （3）如果较小三角形的面积是 $12$，求较大三角形的面积。

  6. 同一时刻，一根高 $1.5$ 米的竹竿影长为 $2$ 米，一棵树的影长为 $8$ 米。求树高。

  7. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$a=3$，$b=4$，$c=5$。求 $\sin A$、$\cos A$、$\tan A$ 和 $\sin B$。

  8. 计算：$2\sin30^\circ+\tan45^\circ-\cos60^\circ$。

  9. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$c=10$。解这个直角三角形。

  10. 在点 $A$ 处测得楼顶的仰角为 $30^\circ$，点 $A$ 到楼底的水平距离为 $30$ 米。求楼高（忽略观测者高度，结果保留根号）。

  11. 某坡面的坡比 $i=1:2$，垂直高度为 $3$ 米。 （1）求水平宽度。 （2）求坡角的正切值。

  12. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$CD\perp AB$ 于 $D$，$AC=6$，$BC=8$。求 $CD$ 的长。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）两个三角形有一个角相等，它们一定相似。 （2）三边成比例的两个三角形相似。 （3）相似三角形的面积比等于相似比。 （4）$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$。 （5）在直角三角形中，$\sin A=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$。

  2. 已知 $\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，$b=15$，求 $a$；已知 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$a=4$，$b=6$，$c=2$，求 $d$。

  3. 在 $\triangle ABC$ 中，$DE\parallel BC$，$D,E$ 分别在 $AB,AC$ 上。求证：$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。若 $AD=2$，$DB=3$，$DE=4$，求 $BC$。

  4. 同一时刻，一根高 $2$ 米的竹竿影长为 $3$ 米，一棵树的影长为 $12$ 米。求树高。

  5. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\sin A=\frac{5}{13}$，$c=13$。求 $a,b$ 和 $\tan A$。

  6. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=45^\circ$，$b=6$。解这个直角三角形。

  7. 在点 $A$ 处测得楼顶的仰角为 $45^\circ$，点 $A$ 到楼底的水平距离为 $20$ 米。求楼高。若坡比 $i=1:\sqrt{3}$，求坡角。

  8. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 在直角三角形中，$\sin A=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$。

  9. 写出满足下列条件的三角形各一个。 （1）一个三边长为 $3,4,5$ 的直角三角形。 （2）一个与（1）中三角形相似、相似比为 $2$ 的三角形。 （3）一个有一个锐角为 $45^\circ$ 的直角三角形。

  10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$CD\perp AB$ 于 $D$，$AD=4$，$BD=9$。求 $CD$、$AC$、$BC$。

参考答案与提示

  1. $a=4$；$d=6$。
  2. $AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\times10=5(\sqrt{5}-1)$。
  3. 因为 $DE\parallel BC$，所以 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，即 $\frac{2}{3}=\frac{4}{EC}$，$EC=6$，$AC=10$。
  4. （1）相似，AA；（2）相似，SAS；（3）相似，SSS。
  5. （1）$2:3$；（2）$4:9$；（3）$12\times\frac{9}{4}=27$。
  6. 设树高为 $x$ 米，$\frac{1.5}{2}=\frac{x}{8}$，$x=6$。
  7. $\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{4}{5}$，$\tan A=\frac{3}{4}$；$\sin B=\frac{4}{5}$。
  8. $2\times\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}=1+1-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
  9. $\angle B=60^\circ$，$a=c\sin30^\circ=5$，$b=c\cos30^\circ=5\sqrt{3}$。
  10. 设楼高为 $h$，$\tan30^\circ=\frac{h}{30}$，$h=30\times\frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}$ 米。
  11. （1）$i=\frac{3}{l}=\frac{1}{2}$，$l=6$ 米；（2）$\tan\alpha=i=\frac{1}{2}$。
  12. 由勾股定理 $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$。由面积法 $\frac{1}{2}\times6\times8=\frac{1}{2}\times10\times CD$，$CD=4.8$。

检测题参考答案

  1. （1）错误。一个角相等不能判定相似，必须有两组角分别相等，或满足其他判定条件。（2）正确。这是 SSS 相似判定。（3）错误。相似三角形的面积比等于相似比的平方。（4）正确。这是特殊角的三角函数值。（5）正确。这是正弦的定义。
  2. $a=9$；$d=3$。
  3. 因为 $DE\parallel BC$，所以 $\angle ADE=\angle ABC$，$\angle AED=\angle ACB$，所以 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$。又 $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，所以 $\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，$BC=\frac{5}{2}\times4=10$。
  4. 设树高为 $x$ 米，$\frac{2}{3}=\frac{x}{12}$，$x=8$。
  5. $a=c\sin A=13\times\frac{5}{13}=5$；$b=\sqrt{13^2-5^2}=12$；$\tan A=\frac{5}{12}$。
  6. $\angle B=45^\circ$，$a=b=6$，$c=6\sqrt{2}$。
  7. 楼高 $=20\times\tan45^\circ=20$ 米；坡比 $i=1:\sqrt{3}$，$\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，坡角 $30^\circ$。
  8. 不正确。正弦等于对边比斜边，余弦才等于邻边比斜边。
  9. 示例：（1）三边为 $3,4,5$ 的直角三角形；（2）三边为 $6,8,10$ 的三角形；（3）等腰直角三角形（直角边为 $1,1$，斜边为 $\sqrt{2}$）。
  10. 由射影定理 $CD^2=AD\cdot BD=4\times9=36$，$CD=6$；$AC^2=AD\cdot AB=4\times13=52$，$AC=2\sqrt{13}$；$BC^2=BD\cdot AB=9\times13=117$，$BC=3\sqrt{13}$。