第 9 章 圆

本章把九年级的圆的基本性质、点与圆及直线与圆的位置关系、切线、正多边形与圆、弧长与扇形面积合并在一起。圆的问题常通过“连半径、作弦心距、构造直角三角形或相似三角形”来解决。

9.1 圆的基本性质

9.1.1 圆的相关概念

在一个平面内，线段 $OA$ 绕它固定的一个端点 $O$ 旋转一周，另一个端点 $A$ 所形成的图形叫圆。

  • 固定的端点 $O$ 叫圆心，线段 $OA$ 叫半径。
  • 连接圆上任意两点的线段叫弦；经过圆心的弦叫直径。
  • 圆上任意两点间的部分叫弧；大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。
  • 半径相等的两个圆叫等圆；能够完全重合的两条弧叫等弧。
  • 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
  • 圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。

9.1.2 垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

  • 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
  • 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
  • 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
  • 垂径定理常用于求弦长、弦心距、半径，基本模型是“半径、弦心距、半弦”构成的直角三角形：

$$ r^2=d^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2 $$

其中 $r$ 是半径，$d$ 是弦心距，$a$ 是弦长。

圆中的垂径定理与圆周角

9.1.3 圆心角、弧、弦的关系

  • 顶点在圆心的角叫圆心角。
  • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
  • 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
  • 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等。
  • 圆心角的度数等于它所对弧的度数。

9.1.4 圆周角

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。

圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：

  • 同弧或等弧所对的圆周角相等。

  • 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。

  • $90^\circ$ 的圆周角所对的弦是直径。

  • 圆内接四边形的对角互补。

  • 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。

  • 圆周角定理及其推论常用于证明角相等、判断直角、求角度。

  • 使用圆周角定理时，要注意圆周角和圆心角所对的是同一条弧。

9.2 点、直线与圆的位置关系

9.2.1 点与圆的位置关系

设点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则：

  • $d<r$：点 $P$ 在圆内；
  • $d=r$：点 $P$ 在圆上；
  • $d>r$：点 $P$ 在圆外。

9.2.2 直线与圆的位置关系

设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则：

  • $d<r$：直线与圆相交，有两个公共点；

  • $d=r$：直线与圆相切，有一个公共点；

  • $d>r$：直线与圆相离，没有公共点。

  • 直线与圆相切时，这条直线叫圆的切线，公共点叫切点。

  • 判断直线与圆的位置关系，关键是求圆心到直线的距离并与半径比较。

9.2.3 切线的判定与性质

切线的判定：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

  • 证明一条直线是圆的切线，常用两种方法：
    1. 如果直线经过圆上一点，连接圆心和该点，证明半径与直线垂直；
    2. 如果不知道直线是否经过圆上一点，作圆心到直线的垂线，证明垂线段等于半径。
  • 切线判定中“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”两个条件缺一不可。

切线的性质：

  • 圆的切线垂直于经过切点的半径。
  • 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
  • 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

9.2.4 切线长定理

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

  • 切线长是指从圆外一点到切点的线段长度。
  • 切线长定理常用于证明线段相等、角相等，构造全等三角形。
  • 从圆外一点引圆的两条切线，连接圆心和这一点，可以得到两个全等的直角三角形。

9.2.5 三角形的外接圆与内切圆

外接圆：

  • 经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心。
  • 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。
  • 直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半。

内切圆：

  • 与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心。
  • 三角形的内心是三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。
  • 直角三角形的内切圆半径（拓展）：

$$ r=\frac{a+b-c}{2} $$

其中 $a,b$ 是直角边，$c$ 是斜边。

9.2.6 圆与圆的位置关系（拓展）

设两圆半径分别为 $R,r$（$R\ge r$），圆心距为 $d$，则：

  • $d>R+r$：外离；
  • $d=R+r$：外切；
  • $|R-r|<d<R+r$：相交；
  • $d=|R-r|$：内切；
  • $d<|R-r|$：内含。

9.3 正多边形与圆

9.3.1 正多边形与圆的关系

  • 把圆分成 $n$ 等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 $n$ 边形。
  • 正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。
  • 正多边形外接圆的半径叫正多边形的半径。
  • 正多边形中心到边的距离叫边心距。
  • 正多边形每一边所对的圆心角叫中心角。

9.3.2 正多边形的有关计算

  • 正 $n$ 边形的中心角：

$$ \text{中心角}=\frac{360^\circ}{n} $$

  • 正 $n$ 边形的每个内角：

$$ \frac{(n-2)\times180^\circ}{n} $$

  • 正 $n$ 边形的每个外角：

$$ \frac{360^\circ}{n} $$

  • 正多边形的面积：

$$ S=\frac{1}{2}\times\text{周长}\times\text{边心距} $$

  • 正六边形的边长等于它的半径；正六边形的中心角是 $60^\circ$。

9.4 弧长与扇形面积

9.4.1 弧长

半径为 $r$ 的圆中，圆心角为 $n^\circ$ 的弧长：

$$ l=\frac{n\pi r}{180} $$

  • 弧长公式中，$n$ 是圆心角的度数，不带单位。
  • 弧长是圆周长的一部分，圆心角越大，弧长越长。

9.4.2 扇形面积

半径为 $r$ 的圆中，圆心角为 $n^\circ$ 的扇形面积：

$$ S=\frac{n\pi r^2}{360} $$

  • 扇形面积也可以写成：

$$ S=\frac{1}{2}lr $$

其中 $l$ 是扇形的弧长。

  • 扇形面积是圆面积的一部分，圆心角越大，扇形面积越大。
  • 求阴影部分面积时，常把图形分割成扇形、三角形、矩形等基本图形。

9.4.3 圆锥的侧面积与全面积

  • 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长 $l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长 $2\pi r$。
  • 圆锥的侧面积：

$$ S_{\text{侧}}=\pi rl $$

  • 圆锥的全面积：

$$ S_{\text{全}}=\pi rl+\pi r^2 $$

  • 圆锥的母线、底面半径和高之间的关系：

$$ l^2=r^2+h^2 $$

  • 圆锥侧面展开扇形的圆心角：

$$ n=\frac{360r}{l} $$

9.5 圆中的常用辅助线与综合方法

  • 见弦，作弦心距，利用垂径定理和勾股定理。
  • 见直径，构造直径所对的圆周角，得到直角。
  • 见切线，连接圆心和切点，得到垂直关系。
  • 见切线长，连接圆心和圆外一点，构造全等直角三角形。
  • 见圆内接四边形，利用对角互补、外角等于内对角。
  • 见正多边形，连接中心和顶点，构造等腰三角形或直角三角形。
  • 见弧长、扇形面积，先确定半径和圆心角，再代入公式。
  • 圆与相似、三角函数综合时，要善于寻找直角三角形和相似三角形。

练习

  1. 填空。 （1）圆是轴对称图形，它有（　　）条对称轴。 （2）连接圆上任意两点的线段叫（　　），经过圆心的弦叫（　　）。 （3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧（　　），所对的弦（　　）。 （4）直径所对的圆周角是（　　）度。

  2. 圆 $O$ 的半径是 $5$，弦 $AB=8$。求圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离。

  3. 圆 $O$ 的半径是 $10$，圆心到弦 $AB$ 的距离是 $6$。求弦 $AB$ 的长。

  4. 在圆 $O$ 中，$\angle AOB=80^\circ$，点 $C$ 在优弧 $AB$ 上。求 $\angle ACB$ 的度数。

  5. 圆内接四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=70^\circ$，$\angle B=85^\circ$。求 $\angle C$ 和 $\angle D$ 的度数。

  6. 已知圆的半径是 $5$，点 $P$ 到圆心的距离分别是 $3,5,6$。分别判断点 $P$ 与圆的位置关系。

  7. 已知圆的半径是 $5$，圆心到直线 $l$ 的距离分别是 $4,5,6$。分别判断直线 $l$ 与圆的位置关系。

  8. 已知 $PA,PB$ 分别切圆 $O$ 于 $A,B$，$PA=6$。求 $PB$ 的长；若 $\angle APB=60^\circ$，求 $\angle APO$ 的度数。

  9. 已知直角三角形的两条直角边分别是 $3$ 和 $4$，求它的外接圆半径和内切圆半径。

  10. 正六边形的边长是 $6$。求它的中心角、边心距和面积。

  11. 求半径为 $6$、圆心角为 $60^\circ$ 的弧长和扇形面积。

  12. 一个圆锥的底面半径是 $3$，母线长是 $5$。求它的侧面积、全面积和侧面展开扇形的圆心角。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）垂直于弦的直径平分弦。 （2）平分弦的直径垂直于弦。 （3）同弧所对的圆周角相等。 （4）经过半径外端的直线是圆的切线。 （5）正六边形的中心角是 $60^\circ$。

  2. 圆 $O$ 的半径是 $13$，圆心到弦 $AB$ 的距离是 $5$。求弦 $AB$ 的长。

  3. 在圆 $O$ 中，$\angle AOB=100^\circ$，点 $C$ 在优弧 $AB$ 上，点 $D$ 在劣弧 $AB$ 上。求 $\angle ACB$ 和 $\angle ADB$ 的度数。

  4. 已知直线 $l$ 经过圆 $O$ 上的点 $A$，且 $OA\perp l$。求证：直线 $l$ 是圆 $O$ 的切线。

  5. 已知直角三角形的两条直角边分别是 $5$ 和 $12$，求它的外接圆半径和内切圆半径。

  6. 求半径为 $4$、圆心角为 $90^\circ$ 的弧长和扇形面积。一个圆锥的底面半径是 $3$，母线长是 $6$，求它的侧面积和侧面展开扇形的圆心角。

  7. 正八边形的中心角是多少度？每个内角是多少度？

  8. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 已知一条直线经过圆上一点，且与圆只有一个公共点，所以这条直线是圆的切线。

  9. 写出满足下列条件的图形各一个。 （1）一个有一条弦和一条直径的圆。 （2）一个内接于圆的正六边形。 （3）一个与圆相切的直角三角形。

  10. 如图，$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$C$ 是圆上一点，$CD\perp AB$ 于 $D$，$AD=4$，$BD=9$。求 $CD$、$AC$、$BC$。

参考答案与提示

  1. （1）无数；（2）弦，直径；（3）相等，相等；（4）$90$。
  2. 弦心距 $d=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
  3. 半弦长 $\sqrt{10^2-6^2}=8$，弦 $AB=16$。
  4. $\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=40^\circ$。
  5. 圆内接四边形对角互补：$\angle C=180^\circ-\angle A=110^\circ$，$\angle D=180^\circ-\angle B=95^\circ$。
  6. $d=3<5$，点在圆内；$d=5$，点在圆上；$d=6>5$，点在圆外。
  7. $d=4<5$，相交；$d=5$，相切；$d=6>5$，相离。
  8. $PB=PA=6$；$OP$ 平分 $\angle APB$，所以 $\angle APO=30^\circ$。
  9. 斜边 $5$，外接圆半径 $R=\frac{5}{2}=2.5$；内切圆半径 $r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
  10. 中心角 $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$；边心距 $3\sqrt{3}$；面积 $\frac{1}{2}\times36\times3\sqrt{3}=54\sqrt{3}$。
  11. 弧长 $l=\frac{60\pi\times6}{180}=2\pi$；扇形面积 $S=\frac{60\pi\times6^2}{360}=6\pi$。
  12. 侧面积 $S_{\text{侧}}=\pi\times3\times5=15\pi$；全面积 $15\pi+9\pi=24\pi$；圆心角 $n=\frac{360\times3}{5}=216^\circ$。

检测题参考答案

  1. （1）正确。这是垂径定理。（2）错误。平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦；如果这条弦本身是直径，任意一条直径都平分它，但不一定垂直。（3）正确。同弧所对的圆周角相等。（4）错误。经过半径外端并且垂直于这条半径的直线才是切线；只经过半径外端不一定相切。（5）正确。正六边形的中心角是 $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$。
  2. 半弦长 $\sqrt{13^2-5^2}=12$，弦 $AB=24$。
  3. $\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=50^\circ$；$\angle ADB=180^\circ-50^\circ=130^\circ$（圆内接四边形对角互补，或圆周角所对优弧）。
  4. 因为 $OA$ 是半径，$l$ 经过半径外端 $A$，且 $OA\perp l$，所以 $l$ 是圆 $O$ 的切线。
  5. 斜边 $13$，外接圆半径 $R=6.5$；内切圆半径 $r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
  6. 弧长 $l=\frac{90\pi\times4}{180}=2\pi$；扇形面积 $S=\frac{90\pi\times4^2}{360}=4\pi$；圆锥侧面积 $S_{\text{侧}}=\pi\times3\times6=18\pi$；圆心角 $n=\frac{360\times3}{6}=180^\circ$。
  7. 中心角 $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$；每个内角 $\frac{(8-2)\times180^\circ}{8}=135^\circ$。
  8. 正确。直线经过圆上一点且与圆只有一个公共点，说明它是圆的切线；切线的定义就是与圆只有一个公共点的直线。
  9. 示例：（1）圆 $O$ 中画一条直径 $AB$ 和一条弦 $CD$；（2）以圆 $O$ 的半径 $6$ 为边长作内接正六边形；（3）画一个三角形及其内切圆，使三角形的三边都与圆相切。
  10. 由射影定理（或相似）$CD^2=AD\cdot BD=4\times9=36$，$CD=6$；$AC^2=AD\cdot AB=4\times13=52$，$AC=2\sqrt{13}$；$BC^2=BD\cdot AB=9\times13=117$，$BC=3\sqrt{13}$。