第 1 章向量与坐标

本章整理向量的概念与线性运算、线性相关与基、坐标、标量积、向量积、混合积、方向余弦以及定比分点和球面方程。向量代数是整个解析几何的语言。

1.1 向量的概念与线性运算

1.1.1 向量

既有大小又有方向的量称为向量。解析几何中讨论的是自由向量：只考虑大小和方向，不考虑起点。
向量用 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 表示；向量的模记作 $|\boldsymbol a|$。
模为 $1$ 的向量称为单位向量；模为 $0$ 的向量称为零向量，记作 $\boldsymbol 0$，其方向任意。
与 $\boldsymbol a$ 大小相等、方向相反的向量称为负向量，记作 $-\boldsymbol a$。
两个向量相等当且仅当它们大小相等、方向相同。
非零向量 $\boldsymbol a$ 的单位化： $$\boldsymbol e_{\boldsymbol a}=\frac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|}.$$

1.1.2 向量的加法

三角形法则：将 $\boldsymbol b$ 的起点移到 $\boldsymbol a$ 的终点，从 $\boldsymbol a$ 的起点到 $\boldsymbol b$ 的终点的向量为 $\boldsymbol a+\boldsymbol b$。
平行四边形法则：以 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线向量为 $\boldsymbol a+\boldsymbol b$。
运算性质： $$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a,\qquad (\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b+\boldsymbol c),$$ $$\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a,\qquad \boldsymbol a+(-\boldsymbol a)=\boldsymbol 0.$$
减法： $$\boldsymbol a-\boldsymbol b=\boldsymbol a+(-\boldsymbol b).$$

1.1.3 数乘

设 $\lambda\in\mathbb R$，$\lambda\boldsymbol a$ 是与 $\boldsymbol a$ 共线的向量：
- $|\lambda\boldsymbol a|=|\lambda|,|\boldsymbol a|$；
- $\lambda>0$ 时方向与 $\boldsymbol a$ 相同，$\lambda<0$ 时方向相反，$\lambda=0$ 时为零向量。
运算性质： $$\lambda(\mu\boldsymbol a)=(\lambda\mu)\boldsymbol a,\qquad (\lambda+\mu)\boldsymbol a=\lambda\boldsymbol a+\mu\boldsymbol a,\qquad \lambda(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\lambda\boldsymbol a+\lambda\boldsymbol b.$$

1.1.4 共线与共面

两个非零向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 共线当且仅当存在 $\lambda$，使 $$\boldsymbol b=\lambda\boldsymbol a.$$ 记作 $\boldsymbol a\parallel\boldsymbol b$。
三个非零向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 共面当且仅当其中一个是另外两个的线性组合，即存在不全为零的 $\lambda,\mu,\nu$，使 $$\lambda\boldsymbol a+\mu\boldsymbol b+\nu\boldsymbol c=\boldsymbol 0.$$
三个向量共面的几何判别将在混合积中给出。

1.1.5 线性相关与基

若存在不全为零的数 $k_1,\dots,k_m$，使 $$k_1\boldsymbol a_1+\cdots+k_m\boldsymbol a_m=\boldsymbol 0,$$ 则称向量组 $\boldsymbol a_1,\dots,\boldsymbol a_m$ 线性相关；否则称线性无关。
空间中任意三个不共面的向量线性无关，构成空间的一组基。
若 $\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3$ 是一组基，则任意向量 $\boldsymbol a$ 可唯一表示为 $$\boldsymbol a=x\boldsymbol e_1+y\boldsymbol e_2+z\boldsymbol e_3,$$ 称 $(x,y,z)$ 为 $\boldsymbol a$ 在这组基下的坐标。
在直角坐标系中，取分别沿 $x,y,z$ 轴正方向的单位向量 $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ 为基： $$\boldsymbol a=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+z\boldsymbol k=(x,y,z).$$

向量的加法与叉积

1.2 标量积

1.2.1 定义

两个向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 的标量积（点积、内积）定义为 $$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a|,|\boldsymbol b|\cos\theta,$$ 其中 $\theta$ 是 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 的夹角，$0\le\theta\le\pi$。

几何意义：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 等于 $|\boldsymbol a|$ 乘以 $\boldsymbol b$ 在 $\boldsymbol a$ 方向上的投影。
若 $\boldsymbol a=(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b=(x_2,y_2,z_2)$，则 $$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$$
$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a=|\boldsymbol a|^2$，所以 $$|\boldsymbol a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.$$

1.2.2 性质

对称性：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$。
线性性： $$(\lambda\boldsymbol a+\mu\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c =\lambda\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c+\mu\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c.$$
正定性：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a\ge0$，且等于 $0$ 当且仅当 $\boldsymbol a=\boldsymbol 0$。
垂直条件： $$\boldsymbol a\perp\boldsymbol b\iff\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0.$$
夹角公式： $$\cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a|,|\boldsymbol b|}.$$

1.2.3 投影与方向余弦

向量 $\boldsymbol a$ 在向量 $\boldsymbol b$ 方向上的数量投影： $$\operatorname{proj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a =\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|}.$$
向量投影： $$\operatorname{Proj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a =\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|^2}\boldsymbol b.$$
非零向量 $\boldsymbol a=(x,y,z)$ 的方向余弦： $$\cos\alpha=\frac{x}{|\boldsymbol a|},\qquad \cos\beta=\frac{y}{|\boldsymbol a|},\qquad \cos\gamma=\frac{z}{|\boldsymbol a|},$$ 其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 分别是 $\boldsymbol a$ 与 $x,y,z$ 轴正方向的夹角。
方向余弦满足 $$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.$$
单位向量可写成 $$\boldsymbol e_{\boldsymbol a}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma).$$

1.3 向量积

1.3.1 定义

两个向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 的向量积（叉积、外积）是一个向量 $\boldsymbol a\times\boldsymbol b$，满足：（1）$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|=|\boldsymbol a|,|\boldsymbol b|\sin\theta$；（2）$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$ 垂直于 $\boldsymbol a$ 和 $\boldsymbol b$；（3）$\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol a\times\boldsymbol b$ 按右手系排列。

几何意义：$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|$ 等于以 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 为邻边的平行四边形的面积。
坐标公式： $$\boldsymbol a\times\boldsymbol b= \begin{vmatrix} \boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\ x_1&y_1&z_1\ x_2&y_2&z_2 \end{vmatrix} =(y_1z_2-z_1y_2,\ z_1x_2-x_1z_2,\ x_1y_2-y_1x_2).$$
性质： $$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=-\boldsymbol b\times\boldsymbol a,$$ $$\boldsymbol a\times\boldsymbol a=\boldsymbol 0,$$ $$(\lambda\boldsymbol a+\mu\boldsymbol b)\times\boldsymbol c =\lambda\boldsymbol a\times\boldsymbol c+\mu\boldsymbol b\times\boldsymbol c.$$
共线条件： $$\boldsymbol a\parallel\boldsymbol b\iff\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0.$$
三角形面积：以 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 为两边的三角形面积为 $$S=\frac12|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|.$$

1.4 混合积

1.4.1 定义

三个向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 的混合积定义为 $$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]=\boldsymbol a\cdot(\boldsymbol b\times\boldsymbol c).$$

坐标公式： $$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]= \begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\ x_2&y_2&z_2\ x_3&y_3&z_3 \end{vmatrix}.$$
几何意义：$|[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]|$ 等于以 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 为棱的平行六面体的体积。
轮换对称性： $$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c] =[\boldsymbol b,\boldsymbol c,\boldsymbol a] =[\boldsymbol c,\boldsymbol a,\boldsymbol b].$$
交换两个向量，混合积变号： $$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]=-[\boldsymbol b,\boldsymbol a,\boldsymbol c].$$
共面条件： $$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]=0\iff\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c\text{ 共面}.$$
四面体体积：以 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 为从同一顶点出发的三条棱的四面体体积为 $$V=\frac16|[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]|.$$

1.5 直角坐标系中的基本公式

1.5.1 两点间距离

设 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则 $$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$$

向量 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$。

1.5.2 定比分点

设 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 成比 $\lambda$（$P_1P:PP_2=\lambda$），$P_1(x_1,y_1,z_1)$，$P_2(x_2,y_2,z_2)$，则 $$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\qquad y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\qquad z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}\quad(\lambda\ne-1).$$

中点公式（$\lambda=1$）： $$x=\frac{x_1+x_2}2,\qquad y=\frac{y_1+y_2}2,\qquad z=\frac{z_1+z_2}2.$$
定比分点的向量形式： $$\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OP_1}+\lambda\overrightarrow{OP_2}}{1+\lambda}.$$

1.5.3 球面方程

以 $C(a,b,c)$ 为球心、$R$ 为半径的球面： $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$$
一般形式： $$x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0.$$ 配方后得 $$\left(x+\frac D2\right)^2+\left(y+\frac E2\right)^2+\left(z+\frac F2\right)^2 =\frac{D^2+E^2+F^2}4-G.$$ 当右端大于 $0$ 时为球面，等于 $0$ 时为一点，小于 $0$ 时无实图形。

1.6 常用向量恒等式

拉格朗日恒等式： $$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|^2 =|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2.$$
二重向量积： $$\boldsymbol a\times(\boldsymbol b\times\boldsymbol c) =\boldsymbol b(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c)-\boldsymbol c(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b),$$ $$(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\times\boldsymbol c =\boldsymbol b(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c)-\boldsymbol a(\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c).$$
雅可比恒等式： $$\boldsymbol a\times(\boldsymbol b\times\boldsymbol c) +\boldsymbol b\times(\boldsymbol c\times\boldsymbol a) +\boldsymbol c\times(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)=\boldsymbol 0.$$
平行四边形恒等式： $$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2+|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2 =2|\boldsymbol a|^2+2|\boldsymbol b|^2.$$
极化恒等式： $$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b =\frac14\left(|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2-|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2\right).$$

1.7 几何量的向量表示

两向量夹角： $$\cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a|,|\boldsymbol b|}.$$
平行四边形面积： $$S=|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|.$$
三角形面积： $$S=\frac12|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|.$$
平行六面体体积： $$V=|[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]|.$$
四面体体积： $$V=\frac16|[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]|.$$
三向量共面： $$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]=0.$$
两向量共线： $$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0.$$
两向量垂直： $$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0.$$

练习

设 $\boldsymbol a=(1,2,-1)$，$\boldsymbol b=(2,0,1)$。求 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$、$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$、$|\boldsymbol a|$、$|\boldsymbol b|$，并求两向量夹角的余弦。
计算混合积 $[\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k]$，其中 $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ 是标准单位向量。
求以 $\boldsymbol a=(1,2,3)$、$\boldsymbol b=(2,-1,1)$ 为邻边的平行四边形的面积。
求以 $\boldsymbol a=(1,0,0)$、$\boldsymbol b=(1,1,0)$、$\boldsymbol c=(1,1,1)$ 为棱的平行六面体的体积。
判断 $\boldsymbol a=(1,2,3)$、$\boldsymbol b=(2,4,6)$、$\boldsymbol c=(1,0,1)$ 是否共面。
求与 $\boldsymbol a=(1,1,0)$、$\boldsymbol b=(0,1,1)$ 都垂直的单位向量。
求向量 $\boldsymbol a=(1,2,2)$ 的方向余弦。
求 $\boldsymbol a=(1,2,3)$ 在 $\boldsymbol b=(2,-1,2)$ 上的数量投影和向量投影。
证明： $$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\times(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=-2\boldsymbol a\times\boldsymbol b.$$
证明拉格朗日恒等式 $$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|^2 =|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2.$$
设 $A(1,0,2)$，$B(4,3,8)$，点 $P$ 分 $\overrightarrow{AB}$ 成比 $2:1$。求 $P$ 的坐标。
求以 $(1,-2,3)$ 为球心、$4$ 为半径的球面方程。

检测题

设 $\boldsymbol a=(2,-1,3)$，$\boldsymbol b=(1,0,-2)$。求 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 与 $\boldsymbol a\times\boldsymbol b$。
求以 $A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$ 为顶点的三角形的面积。
求以原点 $O$ 和 $A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$ 为顶点的四面体的体积。
求 $\lambda$，使 $\boldsymbol a=(1,\lambda,1)$、$\boldsymbol b=(1,0,1)$、$\boldsymbol c=(0,1,1)$ 共面。
求向量 $\boldsymbol a=(1,1,\sqrt2)$ 的方向角。
求 $\boldsymbol b=(2,-1,0)$ 在 $\boldsymbol a=(1,2,2)$ 上的数量投影。
证明： $$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c] =[\boldsymbol b,\boldsymbol c,\boldsymbol a] =[\boldsymbol c,\boldsymbol a,\boldsymbol b].$$
求模为 $2$ 且与 $\boldsymbol a=(1,2,-2)$ 平行的向量。
求球面 $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$ 的球心和半径。
证明平行四边形恒等式 $$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2+|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2 =2|\boldsymbol a|^2+2|\boldsymbol b|^2.$$

参考答案与提示

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=1\cdot2+2\cdot0+(-1)\cdot1=1.$$ $$\boldsymbol a\times\boldsymbol b= \begin{vmatrix} \boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\ 1&2&-1\ 2&0&1 \end{vmatrix} =(2,-3,-4).$$ $$|\boldsymbol a|=\sqrt6,\qquad |\boldsymbol b|=\sqrt5,\qquad \cos\theta=\frac1{\sqrt{30}}.$$
$$[\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k] =\boldsymbol i\cdot(\boldsymbol j\times\boldsymbol k) =\boldsymbol i\cdot\boldsymbol i=1.$$
$$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(5,5,-5),\qquad S=|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|=5\sqrt3.$$
$$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]= \begin{vmatrix} 1&0&0\ 1&1&0\ 1&1&1 \end{vmatrix}=1,$$ 故体积为 $1$。
$\boldsymbol b=2\boldsymbol a$，三向量中已有两个共线，故共面；也可验证混合积为 $0$。
$$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(1,-1,1),$$ 单位向量为 $$\pm\frac1{\sqrt3}(1,-1,1).$$
$|\boldsymbol a|=3$，故 $$\cos\alpha=\frac13,\qquad \cos\beta=\frac23,\qquad \cos\gamma=\frac23.$$
$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=2-2+6=6$，$|\boldsymbol b|=3$。数量投影为 $$2,$$ 向量投影为 $$2\cdot\frac{\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|} =\left(\frac43,-\frac23,\frac43\right).$$
展开： $$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\times(\boldsymbol a-\boldsymbol b) =\boldsymbol a\times\boldsymbol a-\boldsymbol a\times\boldsymbol b +\boldsymbol b\times\boldsymbol a-\boldsymbol b\times\boldsymbol b =-\boldsymbol a\times\boldsymbol b-\boldsymbol a\times\boldsymbol b =-2\boldsymbol a\times\boldsymbol b.$$
设 $\theta$ 为两向量夹角，则 $$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|^2 =|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2\sin^2\theta =|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2(1-\cos^2\theta) =|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2.$$
由定比分点公式， $$P=\frac{A+2B}{3} =\left(\frac{1+8}{3},\frac{0+6}{3},\frac{2+16}{3}\right) =(3,2,6).$$
$$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16.$$

检测题参考答案

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=2+0-6=-4,$$ $$\boldsymbol a\times\boldsymbol b= \begin{vmatrix} \boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\ 2&-1&3\ 1&0&-2 \end{vmatrix} =(2,7,1).$$
$$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1,0,1),$$ $$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,1),$$ $$S=\frac12\sqrt3=\frac{\sqrt3}2.$$
$$V=\frac16\left|\begin{vmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 \end{vmatrix}\right|=\frac16.$$
混合积为 $$\begin{vmatrix} 1&\lambda&1\ 1&0&1\ 0&1&1 \end{vmatrix}=-\lambda.$$ 共面条件为 $-\lambda=0$，故 $\lambda=0$。
$|\boldsymbol a|=2$，方向余弦为 $$\left(\frac12,\frac12,\frac{\sqrt2}2\right),$$ 方向角为 $60^\circ,60^\circ,45^\circ$。
$\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a=0$，故数量投影为 $0$。
混合积为三阶行列式，轮换行不改变行列式，故三个混合积相等。
$\boldsymbol a$ 的单位向量为 $\dfrac13(1,2,-2)$，故所求向量为 $$\pm\frac23(1,2,-2).$$
配方： $$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9,$$ 球心为 $(1,-2,3)$，半径为 $3$。
展开： $$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol a|^2+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2,$$ $$|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol a|^2-2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2,$$ 两式相加即得。

第01章-向量与坐标

第 1 章 向量与坐标