第 6 章 二次曲线的一般理论

本章整理二次曲线的一般方程、不变量、中心、渐近线、直径、主方向、正交化简与分类。二次曲线的一般理论是解析几何从标准方程走向一般方程的关键一步。

6.1 二次曲线的一般方程

6.1.1 方程形式

二次曲线的一般方程为 $$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,$$ 其中 $a_{11},a_{12},a_{22}$ 不全为零。

矩阵形式： $$(x,y,1)\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\1\end{pmatrix}=0.$$

记 $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}a_{13}\a_{23}\end{pmatrix},\qquad \widetilde A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix}.$$

  • $A$ 是二次项矩阵。
  • $\widetilde A$ 是增广矩阵。

6.1.2 二次曲线的类型

  • 椭圆型：$I_2=a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0$。
  • 双曲型：$I_2<0$。
  • 抛物型：$I_2=0$。
  • 退化情形包括点、相交直线、平行直线、重合直线、空集等。

二次曲线的三种类型

6.2 不变量

6.2.1 三个基本不变量

$$I_1=a_{11}+a_{22},$$

$$I_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}^2,$$

$$I_3=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{vmatrix}.$$

  • 在直角坐标变换（平移、旋转）下，$I_1,I_2,I_3$ 不变。
  • 因此它们可用于判断二次曲线的类型，而不必先化简方程。
  • $I_2\ne0$ 时，$I_3/I_2$ 也是常用量。

6.2.2 用不变量判断类型

  • $I_2>0$：
    • 若 $I_3/I_2<0$：实椭圆；
    • 若 $I_3/I_2>0$：虚椭圆（无实图形）；
    • 若 $I_3=0$：一点。
  • $I_2<0$：
    • 若 $I_3\ne0$：双曲线；
    • 若 $I_3=0$：两条相交直线。
  • $I_2=0$：
    • 若 $I_3\ne0$：抛物线；
    • 若 $I_3=0$：退化情形（平行直线、重合直线或空集），需进一步判断。

6.3 二次曲线的中心

6.3.1 中心方程

二次曲线的中心 $(x_0,y_0)$ 满足 $$\begin{cases} a_{11}x_0+a_{12}y_0+a_{13}=0,\ a_{12}x_0+a_{22}y_0+a_{23}=0. \end{cases}$$

  • 即 $$A\begin{pmatrix}x_0\y_0\end{pmatrix}+\boldsymbol b=\boldsymbol0.$$
  • 若 $I_2\ne0$，方程组有唯一解，曲线有唯一中心。
  • 若 $I_2=0$，可能无中心，也可能有一条中心直线。

6.3.2 中心化

若曲线有唯一中心 $(x_0,y_0)$，作平移 $$x=x_0+X,\qquad y=y_0+Y,$$ 则一次项消失，方程化为 $$a_{11}X^2+2a_{12}XY+a_{22}Y^2+\frac{I_3}{I_2}=0.$$

  • 这一步是化简二次曲线的核心。
  • 之后再通过旋转消去交叉项。

6.4 渐近线

6.4.1 渐近方向

二次曲线的渐近方向由二次齐次方程 $$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2=0$$ 确定。

  • 若 $I_2<0$，该方程有两个实方向，对应双曲线的两条渐近线。
  • 若 $I_2>0$，没有实渐近方向。
  • 若 $I_2=0$，有一个重方向。

6.4.2 渐近线方程

若曲线有中心 $(x_0,y_0)$，渐近线是过中心且沿渐近方向的直线。

  • 对标准双曲线 $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$$ 渐近线为 $$\frac xa\pm\frac yb=0.$$
  • 对一般双曲线，先求中心，再求渐近方向，写出过中心的直线。

6.5 直径与主方向

6.5.1 直径

与方向 $\boldsymbol l=(l,m)$ 共轭的直径方程为 $$(a_{11}x+a_{12}y+a_{13})l+(a_{12}x+a_{22}y+a_{23})m=0.$$

  • 直径是平行弦中点的轨迹。
  • 若 $I_2\ne0$，每条直径都过中心。

6.5.2 主方向

主方向由二次项矩阵 $A$ 的特征值确定： $$(A-\lambda I)\begin{pmatrix}l\m\end{pmatrix}=\boldsymbol0.$$

即 $$\begin{cases} (a_{11}-\lambda)l+a_{12}m=0,\ a_{12}l+(a_{22}-\lambda)m=0. \end{cases}$$

  • 特征值 $\lambda_1,\lambda_2$ 是主方向对应的方向数。
  • 两个主方向相互垂直。
  • 沿主方向的直径称为主直径（主轴）。

6.5.3 主化简

  1. 求 $A$ 的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$ 和对应的单位特征向量。
  2. 以单位特征向量为新的坐标轴方向，作正交变换。
  3. 交叉项消失，方程化为 $$\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+2a'{13}X+2a'{23}Y+a'_{33}=0.$$
  4. 若 $I_2\ne0$，再平移消去一次项。
  5. 根据系数判断曲线类型。

6.6 二次曲线的分类

6.6.1 非退化二次曲线

  • 椭圆： $$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1.$$
  • 双曲线： $$\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1.$$
  • 抛物线： $$Y^2=2pX.$$

6.6.2 退化二次曲线

  • 两条相交直线： $$\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=0.$$
  • 两条平行直线： $$X^2=a^2.$$
  • 两条重合直线： $$X^2=0.$$
  • 一点： $$X^2+Y^2=0.$$
  • 空集： $$X^2+Y^2=-1.$$

6.6.3 分类流程

  1. 计算 $I_1,I_2,I_3$。
  2. 由 $I_2$ 的符号判断椭圆型、双曲型或抛物型。
  3. 由 $I_3$ 判断是否退化。
  4. 求中心（若存在），平移消去一次项。
  5. 求主方向，旋转消去交叉项。
  6. 化为标准形，写出曲线类型和参数。

6.7 常见题型与方法

  1. 判断类型：先算不变量，不要急于配方。
  2. 求中心：解中心方程组。
  3. 求渐近线：先求中心，再解渐近方向。
  4. 求主轴：求二次项矩阵的特征值和特征向量。
  5. 化简方程：先平移（若有中心），再旋转；或先旋转再平移。
  6. 判断退化：检查 $I_3$ 是否为零，再结合配方结果。

练习

  1. 判断二次曲线 $$x^2+2xy+y^2=0$$ 的类型。

  2. 判断二次曲线 $$x^2-y^2=1$$ 的类型。

  3. 求二次曲线 $$x^2+2y^2-2x+4y-1=0$$ 的中心。

  4. 求椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 在点 $(2,0)$ 处的切线。

  5. 求双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1$ 的渐近线。

  6. 判断二次曲线 $$x^2+xy+y^2=1$$ 的类型。

  7. 判断二次曲线 $$x^2-2xy+y^2=2x$$ 的类型。

  8. 用旋转化简 $xy=1$。

  9. 求二次曲线 $$x^2+4xy+y^2=1$$ 的主方向。

  10. 求二次曲线 $$x^2-2xy+2y^2-4x+2y=0$$ 的中心。

  11. 求双曲线 $x^2-y^2=1$ 的渐近线。

  12. 判断二次曲线 $$x^2+2xy+y^2+2x+2y=0$$ 的类型。

检测题

  1. 判断二次曲线 $$x^2+4xy+4y^2=1$$ 的类型。

  2. 判断二次曲线 $$x^2+y^2-2x=0$$ 的类型。

  3. 求二次曲线 $$x^2+2y^2-4x+8y=0$$ 的中心。

  4. 求圆 $x^2+y^2=4$ 在点 $(\sqrt2,\sqrt2)$ 处的切线。

  5. 求双曲线 $x^2-y^2=1$ 的渐近线。

  6. 用旋转化简 $xy=1$。

  7. 判断二次曲线 $$x^2-2xy+y^2+2x-2y=0$$ 的类型。

  8. 求椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的主轴。

  9. 计算二次曲线 $$x^2+xy+y^2=1$$ 的不变量 $I_1,I_2,I_3$。

  10. 判断二次曲线 $$x^2+y^2=0$$ 的类型。

参考答案与提示

  1. $$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2=0,$$ 故为两条重合直线。
  2. $I_2<0$，$I_3\ne0$，故为双曲线。
  3. 中心方程： $$\begin{cases} 2x-2=0,\ 4y+4=0, \end{cases}$$ 解得中心为 $(1,-1)$。
  4. 对椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$，在 $(x_0,y_0)$ 处的切线为 $$\frac{xx_0}{4}+\frac{yy_0}{9}=1.$$ 代入 $(2,0)$： $$\frac{2x}{4}=1,$$ 即 $$x=2.$$
  5. $$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=0,$$ 即 $$\frac x2\pm\frac y3=0.$$
  6. $I_2=1-\dfrac14=\dfrac34>0$，$I_3\ne0$，且 $I_3/I_2<0$，故为实椭圆。
  7. $$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2,$$ 方程化为 $$(x-y)^2=2x,$$ 故为抛物线。
  8. 令 $$x=\frac{u+v}{\sqrt2},\qquad y=\frac{u-v}{\sqrt2},$$ 则 $$xy=\frac{u^2-v^2}{2}=1,$$ 即 $$u^2-v^2=2.$$ 这是双曲线。
  9. 二次项矩阵 $$A=\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix}.$$ 特征值为 $3,-1$，对应主方向为 $$(1,1),\qquad(1,-1).$$
  10. 中心方程： $$\begin{cases} x-y-2=0,\ -x+2y+1=0. \end{cases}$$ 由第一式 $x=y+2$，代入第二式： $$-(y+2)+2y+1=0,$$ 故 $y=1$，$x=3$。中心为 $(3,1)$。
  11. $$x^2-y^2=0,$$ 即 $$x\pm y=0.$$
  12. 令 $u=x+y$，则 $$u^2+2u=0,$$ 即 $$u(u+2)=0.$$ 故为两条平行直线 $$x+y=0,\qquad x+y=-2.$$

检测题参考答案

  1. $$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2=1,$$ 故为两条平行直线 $$x+2y=\pm1.$$
  2. 配方： $$(x-1)^2+y^2=1,$$ 故为圆，圆心 $(1,0)$，半径 $1$。
  3. 配方： $$(x-2)^2+2(y+2)^2=12,$$ 中心为 $(2,-2)$。
  4. 圆 $x^2+y^2=4$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的切线为 $$xx_0+yy_0=4.$$ 代入 $(\sqrt2,\sqrt2)$： $$\sqrt2x+\sqrt2y=4,$$ 即 $$x+y=2\sqrt2.$$
  5. $$x^2-y^2=0,$$ 即 $$x\pm y=0.$$
  6. 令 $$x=\frac{u+v}{\sqrt2},\qquad y=\frac{u-v}{\sqrt2},$$ 则 $$xy=\frac{u^2-v^2}{2}=1,$$ 即 $$u^2-v^2=2.$$
  7. 令 $u=x-y$，则 $$u^2+2u=0,$$ 故 $$u=0\quad\text{或}\quad u=-2,$$ 即两条平行直线 $$x-y=0,\qquad x-y=-2.$$
  8. 椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的主轴为坐标轴： $$x=0,\qquad y=0.$$
  9. $$I_1=1+1=2,$$ $$I_2=\begin{vmatrix}1&\frac12\[2pt]\frac12&1\end{vmatrix}=\frac34,$$ $$I_3=\begin{vmatrix} 1&\frac12&0\ \frac12&1&0\ 0&0&-1 \end{vmatrix}=-\frac34.$$
  10. $$x^2+y^2=0$$ 只有实解 $(0,0)$，故为一点。