第 4 章柱面、锥面与旋转曲面

本章整理柱面、锥面和旋转曲面的定义、方程求法以及常见例子。这三类曲面是二次曲面和空间几何作图的基础。

4.1 柱面

4.1.1 定义

动直线沿一条定曲线平行移动所形成的曲面称为柱面。定曲线称为准线，动直线称为母线。

母线方向固定。
柱面在垂直于母线方向的平面上的截痕都是全等的曲线。
若母线平行于某个坐标轴，柱面方程中会缺少该坐标变量。

4.1.2 母线平行于坐标轴的柱面

准线在 $xy$ 平面内，方程为 $$F(x,y)=0,$$ 母线平行于 $z$ 轴，则柱面方程为 $$F(x,y)=0.$$
准线在 $yz$ 平面内，方程为 $G(y,z)=0$，母线平行于 $x$ 轴，则柱面方程为 $$G(y,z)=0.$$
准线在 $zx$ 平面内，方程为 $H(z,x)=0$，母线平行于 $y$ 轴，则柱面方程为 $$H(z,x)=0.$$

4.1.3 常见柱面

圆柱面： $$x^2+y^2=R^2.$$
椭圆柱面： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$
抛物柱面： $$y^2=2px.$$
双曲柱面： $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$

4.1.4 一般方向的柱面

若准线为 $$\begin{cases} F(x,y,z)=0,\ G(x,y,z)=0, \end{cases}$$ 母线方向为 $\boldsymbol l=(l,m,n)$，则柱面上任一点 $(x,y,z)$ 可由准线上一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 沿 $\boldsymbol l$ 方向移动得到： $$\begin{cases} x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt. \end{cases}$$ 从准线方程和上述关系消去 $x_0,y_0,z_0,t$，得到柱面方程。

实际计算时，常把 $x_0=x-lt$、$y_0=y-mt$、$z_0=z-nt$ 代入准线方程，再消去 $t$。
若母线方向与某坐标轴平行，则直接缺变量，计算最简单。

4.2 锥面

4.2.1 定义

动直线过一定点并沿一条定曲线移动所形成的曲面称为锥面。定点称为顶点，定曲线称为准线。

锥面上任意一点与顶点的连线都在锥面上。
顶点是锥面的奇点。
锥面在任意不经过顶点的平面上的截痕是与准线同类型的曲线。

4.2.2 顶点在原点的锥面

若准线在平面 $z=1$ 上，方程为 $$F(x,y)=1,$$ 则顶点在原点、以该曲线为准线的锥面方程为 $$F\left(\frac xz,\frac yz\right)=1\quad(z\ne0),$$ 整理后通常得到关于 $x,y,z$ 的齐次方程。

更一般地，若准线在平面 $z=h$ 上，方程为 $F(x,y)=h$，则锥面为 $$F\left(h\frac xz,h\frac yz\right)=h.$$
若锥面方程是齐次的，即 $$F(tx,ty,tz)=t^kF(x,y,z),$$ 则它是以原点为顶点的锥面。

4.2.3 顶点不在原点的锥面

设顶点为 $V(x_0,y_0,z_0)$，准线为 $$\begin{cases} F(x,y,z)=0,\ G(x,y,z)=0. \end{cases}$$ 对锥面上任一点 $P(x,y,z)$，直线 $VP$ 与准线交于 $Q$。可令 $$Q=V+t(P-V),$$ 把 $Q$ 代入准线方程，消去 $t$，得到锥面方程。

4.2.4 常见锥面

圆锥面： $$x^2+y^2=z^2.$$
椭圆锥面： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2.$$
二次锥面： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0.$$

4.3 旋转曲面

4.3.1 定义

一条曲线绕一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转曲面。定直线称为旋转轴，曲线称为母线。

旋转曲面上每一点到旋转轴的距离只与它在母线中的对应点有关。
垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的交线是圆（或点）。

4.3.2 绕坐标轴旋转

曲线在 $xz$ 平面内： $$\begin{cases} F(x,z)=0,\ y=0, \end{cases}$$ 绕 $z$ 轴旋转，得到 $$F\left(\pm\sqrt{x^2+y^2},z\right)=0.$$ 通常把 $x^2$ 替换为 $x^2+y^2$。
曲线在 $yz$ 平面内： $$\begin{cases} G(y,z)=0,\ x=0, \end{cases}$$ 绕 $z$ 轴旋转，得到 $$G\left(\pm\sqrt{x^2+y^2},z\right)=0.$$
绕 $x$ 轴或 $y$ 轴旋转可类似处理：
- 绕 $x$ 轴：把 $y^2+z^2$ 作为径向平方；
- 绕 $y$ 轴：把 $x^2+z^2$ 作为径向平方。

4.3.3 绕任意直线旋转

设旋转轴为过点 $P_0$、方向向量为 $\boldsymbol u$ 的直线，母线为曲线 $\Gamma$。对母线上一点 $Q$，它旋转后得到的圆满足：

到轴的距离等于 $Q$ 到轴的距离；
在垂直于轴的平面上的投影相同。

可用距离公式和平面方程联立消去参数。实际计算中，若旋转轴是坐标轴，应优先选择坐标系使轴与坐标轴重合。

4.3.4 常见旋转曲面

球面： $$x^2+y^2+z^2=R^2.$$
旋转抛物面： $$z=x^2+y^2.$$
旋转双曲面： $$x^2+y^2-z^2=1.$$
圆锥面： $$x^2+y^2=z^2.$$
环面：圆绕同平面内不相交的直线旋转所得曲面。

柱面、锥面与旋转曲面

4.4 三类曲面的判别

柱面：方程中缺少一个变量（母线平行于该变量对应的坐标轴），或可整理成只含两个变量的方程。
锥面：方程关于 $x,y,z$ 是齐次的（顶点在原点），或可整理成 $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ 的齐次方程。
旋转曲面：方程中某两个变量的组合以 $x^2+y^2$、$y^2+z^2$ 或 $z^2+x^2$ 的形式出现。
同一曲面可能有多种描述。例如 $x^2+y^2=z^2$ 既可以看作以原点为顶点的圆锥面，也可以看作直线 $z=x$ 绕 $z$ 轴旋转所得的旋转曲面。

4.5 求曲面方程的一般步骤

明确曲面类型：柱面、锥面还是旋转曲面。
写出准线/母线/旋转轴的方程或方向。
设动点 $(x,y,z)$，把几何条件翻译成代数关系。
消去参数，化简方程。
检查是否有增根或漏根，注意变量的取值范围。
必要时用截痕法验证曲面类型。

练习

求以圆 $x^2+y^2=1$（$z=0$）为准线、母线平行于向量 $(1,1,1)$ 的柱面方程。
求以原点为顶点、以圆 $x^2+y^2=1$（$z=1$）为准线的锥面方程。
求曲线 $z=x^2$（$y=0$）绕 $z$ 轴旋转所得的曲面方程。
求直线 $z=y$（$x=0$）绕 $z$ 轴旋转所得的曲面方程。
识别曲面 $x^2+y^2=4z^2$。
识别曲面 $y^2=2x$（在 $\mathbb{R}^3$ 中）。
求以椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$（$z=0$）为准线、母线平行于 $z$ 轴的柱面方程。
求以 $(0,0,1)$ 为顶点、以圆 $x^2+y^2=1$（$z=0$）为准线的锥面方程。
求椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$（$y=0$）绕 $z$ 轴旋转所得的曲面方程。
识别曲面 $x^2+y^2=z$。
求以圆 $x^2+y^2=1$（$z=0$）为准线、母线平行于向量 $(0,1,1)$ 的柱面方程。
求曲线 $z=y^2$（$x=0$）绕 $z$ 轴旋转所得的曲面方程。

检测题

求以抛物线 $x^2=2py$（$z=0$）为准线、母线平行于 $z$ 轴的柱面方程。
求以原点为顶点、以椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$（$z=2$）为准线的锥面方程。
求曲线 $z=y^2$（$x=0$）绕 $z$ 轴旋转所得的曲面方程。
识别曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$（在 $\mathbb{R}^3$ 中）。
求以圆 $x^2+y^2=1$（$z=0$）为准线、母线平行于向量 $(0,1,1)$ 的柱面方程。
求以原点为顶点、以圆 $x^2+y^2=1$（$z=1$）为准线的锥面方程。
求曲线 $z=\sqrt y$（$x=0$）绕 $z$ 轴旋转所得的曲面方程。
识别曲面 $x^2+y^2-z^2=0$。
写出锥面 $z^2=x^2+y^2$ 的参数方程。
说明曲线 $F(y,z)=0$（$x=0$）绕 $z$ 轴旋转所得曲面的方程。

参考答案与提示

设柱面上一点为 $(x,y,z)$，沿母线方向退回到准线所在平面 $z=0$： $$x_0=x-t,\quad y_0=y-t,\quad z_0=z-t=0,$$ 故 $t=z$，$x_0=x-z$，$y_0=y-z$。代入准线方程： $$(x-z)^2+(y-z)^2=1.$$
令锥面上点 $(x,y,z)$ 与原点连线交准线平面 $z=1$ 于 $(x/z,y/z,1)$。代入准线： $$\left(\frac xz\right)^2+\left(\frac yz\right)^2=1,$$ 即 $$x^2+y^2=z^2.$$
把 $x^2$ 替换为 $x^2+y^2$： $$z=x^2+y^2.$$
母线为 $z=y$，绕 $z$ 轴旋转，径向距离为 $\sqrt{x^2+y^2}$，故 $$z^2=x^2+y^2.$$
可写成 $$x^2+y^2=(2z)^2,$$ 是顶点在原点、以 $z$ 轴为轴的圆锥面。
方程只含 $x,y$，缺少 $z$，故为母线平行于 $z$ 轴的抛物柱面。
$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1.$$
顶点 $(0,0,1)$，准线在 $z=0$。设锥面上点 $(x,y,z)$，它与顶点的连线交 $z=0$ 于 $$\left(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z},0\right),$$ 代入圆方程： $$\frac{x^2}{(1-z)^2}+\frac{y^2}{(1-z)^2}=1,$$ 即 $$x^2+y^2=(1-z)^2.$$
绕 $z$ 轴旋转，把 $x^2$ 替换为 $x^2+y^2$： $$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$
这是旋转抛物面（椭圆抛物面的特例），开口沿 $z$ 轴正方向。
令 $z_0=0$，则 $t=z$，$x_0=x$，$y_0=y-z$。代入准线： $$x^2+(y-z)^2=1.$$
母线 $z=y^2$ 在 $yz$ 平面内。原曲线中 $y$ 是到 $z$ 轴的距离，旋转后该距离为 $\sqrt{x^2+y^2}$，所以 $$z=\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2=x^2+y^2.$$

检测题参考答案

$$x^2=2py.$$
准线平面 $z=2$，设锥面上点 $(x,y,z)$，连线交 $z=2$ 于 $(2x/z,2y/z,2)$。代入椭圆： $$\frac{(2x/z)^2}{4}+\frac{(2y/z)^2}{9}=1,$$ 即 $$x^2+\frac{4y^2}{9}=z^2.$$
把 $y^2$ 替换为 $x^2+y^2$： $$z=x^2+y^2.$$
椭圆柱面，母线平行于 $z$ 轴。
$$x^2+(y-z)^2=1.$$
$$x^2+y^2=z^2.$$
原曲线 $z=\sqrt y$，即 $y=z^2$。绕 $z$ 轴旋转后，径向距离 $\sqrt{x^2+y^2}=z^2$，故 $$x^2+y^2=z^4.$$
顶点在原点、以 $z$ 轴为轴的圆锥面。
$$(x,y,z)=(u\cos v,u\sin v,u),\quad u\ge0,\ 0\le v<2\pi.$$
把 $y^2$ 替换为 $x^2+y^2$，得到 $$F\left(\pm\sqrt{x^2+y^2},z\right)=0.$$

第04章-柱面、锥面与旋转曲面

第 4 章 柱面、锥面与旋转曲面