第 8 章 坐标变换与仿射变换

本章整理平移变换、旋转变换、一般直角坐标变换、仿射变换、仿射不变量与仿射等价。坐标变换是化简几何方程的工具，仿射变换则是从度量性质走向仿射性质的入口。

8.1 平移变换

8.1.1 坐标平移

将坐标原点平移到 $O'(x_0,y_0,z_0)$，坐标轴方向不变，则同一点的新旧坐标满足 $$\begin{cases} x=x'+x_0,\ y=y'+y_0,\ z=z'+z_0. \end{cases}$$

  • 逆变换： $$\begin{cases} x'=x-x_0,\ y'=y-y_0,\ z'=z-z_0. \end{cases}$$
  • 平移不改变二次项系数，只改变一次项和常数项。
  • 平移常用于消去一次项，把二次曲线/曲面的中心移到原点。

8.1.2 平移对二次曲线的影响

对 $$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,$$ 作平移 $x=x'+x_0$，$y=y'+y_0$，二次项不变，一次项系数变为 $$a'{13}=a{11}x_0+a_{12}y_0+a_{13},$$ $$a'{23}=a{12}x_0+a_{22}y_0+a_{23}.$$

  • 若 $(x_0,y_0)$ 是中心，则 $a'{13}=a'{23}=0$。

8.2 旋转变换

8.2.1 平面旋转

将坐标轴绕原点旋转 $\theta$ 角，则 $$\begin{cases} x=x'\cos\theta-y'\sin\theta,\ y=x'\sin\theta+y'\cos\theta. \end{cases}$$

  • 逆变换： $$\begin{cases} x'=x\cos\theta+y\sin\theta,\ y'=-x\sin\theta+y\cos\theta. \end{cases}$$
  • 旋转矩阵： $$R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix},$$ 满足 $R^{\mathrm T}R=I$，$\det R=1$。

8.2.2 空间旋转

空间直角坐标变换的一般形式为 $$\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x'\y'\z'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_0\y_0\z_0\end{pmatrix},$$ 其中 $A$ 是正交矩阵： $$A^{\mathrm T}A=I,\qquad \det A=\pm1.$$

  • $\det A=1$ 时为旋转（保持定向）。
  • $\det A=-1$ 时包含反射。
  • $A$ 的列向量是新坐标轴在原坐标系中的方向余弦。

8.2.3 旋转不变量

  • 旋转保持长度、角度、距离、面积、体积。
  • 旋转不改变二次项矩阵的特征值。
  • 选择适当的旋转可以消去二次曲线/二次曲面的交叉项（$xy$、$xz$、$yz$ 项）。

8.3 一般直角坐标变换

8.3.1 变换公式

$$\begin{cases} x=a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'+x_0,\ y=a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'+y_0,\ z=a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'+z_0, \end{cases}$$ 其中矩阵 $A=(a_{ij})$ 是正交矩阵。

  • $A$ 的列向量是新坐标轴的方向余弦。
  • $A$ 的行向量是旧坐标轴在新坐标系中的方向余弦。

坐标平移与旋转

  • 正交变换保持距离和角度。

8.3.2 坐标变换的复合

  • 先作变换 $T_1$，再作变换 $T_2$，复合变换为 $T_2\circ T_1$。
  • 矩阵形式： $$\boldsymbol x=A_1\boldsymbol x'+b_1,\qquad \boldsymbol x'=A_2\boldsymbol x''+b_2,$$ 则 $$\boldsymbol x=A_1A_2\boldsymbol x''+A_1b_2+b_1.$$
  • 逆变换： $$\boldsymbol x'=A^{-1}(\boldsymbol x-b).$$
  • 正交矩阵的逆等于转置。

8.4 仿射变换

8.4.1 定义

形如 $$\begin{cases} x'=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+b_1,\ y'=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z+b_2,\ z'=a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z+b_3 \end{cases}$$ 的变换称为仿射变换，其中矩阵 $A=(a_{ij})$ 可逆。

  • 矩阵形式： $$\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol b,\qquad \det A\ne0.$$
  • 仿射变换的逆仍是仿射变换。
  • 仿射变换的复合仍是仿射变换。
  • 仿射变换全体构成仿射群。

8.4.2 仿射变换保持的性质

  • 保持共线性和共面性。
  • 保持平行性：平行直线仍平行，平行平面仍平行。
  • 保持直线上的定比：若 $P$ 分 $P_1P_2$ 成比 $\lambda$，则 $T(P)$ 分 $T(P_1)T(P_2)$ 成同一比 $\lambda$。
  • 保持中点。
  • 保持重心和重心坐标。
  • 把直线映为直线，把平面映为平面。
  • 把二次曲线映为二次曲线，把二次曲面映为二次曲面。
  • 面积按 $|\det A|$ 倍伸缩；体积按 $|\det A|$ 倍伸缩。

8.4.3 仿射变换不保持的性质

  • 一般不保持长度。
  • 一般不保持角度。
  • 一般不保持垂直性。
  • 一般不保持圆，圆可能变为椭圆。
  • 一般不保持面积和体积的具体值，只保持比例。

8.4.4 仿射变换的分解

仿射变换 $\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol b$ 可分解为：

  1. 线性变换 $\boldsymbol x'=A\boldsymbol x$；
  2. 平移 $\boldsymbol x'=\boldsymbol x+\boldsymbol b$。

线性变换又可分解为旋转、伸缩、错切等。

8.5 仿射不变量

在仿射变换下保持不变的性质或量称为仿射不变量。

常见仿射不变量：

  • 共线性、共面性。

  • 平行性。

  • 直线上有向线段的比。

  • 中点。

  • 重心坐标。

  • 二次曲线的类型（椭圆型、双曲型、抛物型）。

  • 两个图形的面积比、体积比。

  • 长度、角度、垂直性不是仿射不变量。

  • 圆不是仿射不变量，但“圆锥曲线”是仿射不变类。

8.6 仿射等价

若存在仿射变换把一个图形映为另一个图形，则称两个图形仿射等价。

  • 任意两个三角形仿射等价。
  • 任意两个平行四边形仿射等价。
  • 任意椭圆都仿射等价于单位圆。
  • 任意双曲线都仿射等价于 $x^2-y^2=1$。
  • 任意抛物线都仿射等价于 $y^2=2px$。
  • 椭圆、双曲线、抛物线三者互不仿射等价（它们与无穷远直线的位置关系不同）。

8.6.1 圆到椭圆

变换 $$x'=ax,\qquad y'=by\quad(a,b>0)$$ 把单位圆 $x^2+y^2=1$ 映为椭圆 $$\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1.$$

  • 这是“圆是椭圆的仿射像”的标准例子。
  • 椭圆的面积等于单位圆面积乘以 $ab$，即 $\pi ab$。

仿射变换

8.6.2 三角形到三角形

给定两个三角形 $ABC$ 和 $A'B'C'$，存在唯一仿射变换把 $A,B,C$ 分别映为 $A',B',C'$。

  • 这也是重心坐标在仿射变换下保持的原因。
  • 任意三角形都可以仿射变换为标准三角形。

8.7 常见题型与方法

  1. 坐标平移：把新原点代入旧坐标，化简方程。
  2. 坐标旋转：用旋转矩阵，选择角度消去交叉项。
  3. 一般直角坐标变换：写出正交矩阵，验证 $A^{\mathrm T}A=I$。
  4. 仿射变换：写成 $\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol b$，检查 $\det A\ne0$。
  5. 判断仿射不变量：看性质是否只依赖共线、平行、比例。
  6. 求仿射变换：用三个点（平面）或四个点（空间）确定。

练习

  1. 将坐标原点平移到 $(1,2)$，化简方程 $$x^2+y^2-2x-4y=0.$$

  2. 将坐标轴旋转 $45^\circ$，化简方程 $xy=1$。

  3. 写出平面内旋转 $60^\circ$ 的旋转矩阵。

  4. 设仿射变换 $$T(x,y)=(2x+1,3y-1).$$ 求单位正方形在 $T$ 下的像的面积。

  5. 证明仿射变换保持中点。

  6. 说明椭圆 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 与单位圆仿射等价。

  7. 说明任意两个三角形仿射等价。

  8. 列举三个仿射不变量和三个非仿射不变量。

  9. 求把 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$ 分别映为 $(1,2)$、$(3,4)$、$(5,1)$ 的仿射变换。

  10. 设 $T_1(x,y)=(2x,2y)$，$T_2(x,y)=(x+1,y)$。求 $T_2\circ T_1$。

  11. 说明单位圆 $x^2+y^2=1$ 在变换 $(x,y)\mapsto(2x,3y)$ 下的像。

  12. 证明仿射变换把平行直线映为平行直线。

检测题

  1. 将坐标原点平移到 $(-1,2)$，化简方程 $$x^2+y^2+2x-4y=0.$$

  2. 将坐标轴旋转 $45^\circ$，化简方程 $xy=2$。

  3. 说明圆在仿射变换下的像一般是椭圆。

  4. 设仿射变换 $$T(x,y)=(3x-y+1,2x+4y-2).$$ 求其面积伸缩因子。

  5. 证明仿射变换保持直线上的定比。

  6. 证明仿射变换把平行直线映为平行直线。

  7. 说明所有抛物线仿射等价。

  8. 写出把 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$ 映为 $(0,0)$、$(2,0)$、$(0,3)$ 的仿射变换。

  9. 说明重心坐标在仿射变换下不变。

  10. 列举仿射变换不保持的几何量。

参考答案与提示

  1. 令 $x=x'+1$，$y=y'+2$，代入： $$(x'+1)^2+(y'+2)^2-2(x'+1)-4(y'+2)=0,$$ 化简得 $$x'^2+y'^2=5.$$
  2. 令 $$x=\frac{u-v}{\sqrt2},\qquad y=\frac{u+v}{\sqrt2},$$ 则 $$xy=\frac{u^2-v^2}{2}=1,$$ 即 $$u^2-v^2=2.$$
  3. $$R(60^\circ)=\begin{pmatrix} \frac12&-\frac{\sqrt3}2\ \frac{\sqrt3}2&\frac12 \end{pmatrix}.$$
  4. 线性部分的矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}2&0\0&3\end{pmatrix},\qquad \det A=6.$$ 单位正方形面积为 $1$，像的面积为 $6$。
  5. 设 $M$ 是 $P,Q$ 的中点，则 $$M=\frac{P+Q}{2}.$$ 对仿射变换 $T(\boldsymbol x)=A\boldsymbol x+\boldsymbol b$， $$T(M)=A\frac{P+Q}{2}+\boldsymbol b =\frac{(AP+\boldsymbol b)+(AQ+\boldsymbol b)}2 =\frac{T(P)+T(Q)}2.$$ 故 $T(M)$ 是 $T(P),T(Q)$ 的中点。
  6. 令 $$x'=ax,\qquad y'=by,$$ 则 $x^2+y^2=1$ 变为 $$\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1.$$ 该变换可逆（$a,b>0$），故为仿射变换。
  7. 设两个三角形分别为 $ABC$ 和 $A'B'C'$。以 $A$ 为原点、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 为基，可将 $ABC$ 仿射化为标准三角形；同理可将 $A'B'C'$ 化为标准三角形。复合其中一个变换与另一个变换的逆，即得所需仿射变换。
  8. 仿射不变量：共线性、平行性、直线上有向线段的比。非仿射不变量：长度、角度、垂直性。
  9. 设 $$T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}+\boldsymbol b.$$ 由 $T(0,0)=(1,2)$ 得 $\boldsymbol b=(1,2)$。于是 $$A\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}=(2,2),\qquad A\begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix}=(4,-1).$$ 故 $$A=\begin{pmatrix}2&4\2&-1\end{pmatrix},$$ $$T(x,y)=(2x+4y+1,\ 2x-y+2).$$
  10. $$T_2(T_1(x,y))=T_2(2x,2y)=(2x+1,2y).$$
  11. 令 $x'=2x$，$y'=3y$，则 $x=x'/2$，$y=y'/3$。单位圆变为 $$\frac{x'^2}{4}+\frac{y'^2}{9}=1,$$ 即椭圆。
  12. 设两条平行直线方向向量为 $\boldsymbol d$，则它们的像的方向向量为 $A\boldsymbol d$。由于 $A$ 可逆，$A\boldsymbol d\ne\boldsymbol0$，且两条直线的像方向相同，故仍平行。

检测题参考答案

  1. 令 $x=x'-1$，$y=y'+2$，代入得 $$x'^2+y'^2=5.$$
  2. 令 $$x=\frac{u-v}{\sqrt2},\qquad y=\frac{u+v}{\sqrt2},$$ 则 $$xy=\frac{u^2-v^2}{2}=2,$$ 即 $$u^2-v^2=4.$$
  3. 圆可参数化为 $(\cos t,\sin t)$。仿射变换把圆映为 $$(a\cos t+b\sin t+c,\ d\cos t+e\sin t+f),$$ 这是一条椭圆（或退化为线段），一般不是圆。
  4. 线性部分矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}3&-1\2&4\end{pmatrix},\qquad \det A=12+2=14.$$ 面积伸缩因子为 $14$。
  5. 设 $P$ 分 $P_1P_2$ 成比 $\lambda$，即 $$P=\frac{P_1+\lambda P_2}{1+\lambda}.$$ 仿射变换保持线性组合，故 $$T(P)=\frac{T(P_1)+\lambda T(P_2)}{1+\lambda},$$ 即像点分像线段成同一比。
  6. 平行直线有相同方向向量 $\boldsymbol d$，仿射变换把方向变为 $A\boldsymbol d$。由于 $A$ 可逆，$A\boldsymbol d\ne\boldsymbol0$，故像直线仍有相同方向，仍平行。
  7. 任意抛物线都可经仿射变换化为 $y^2=2px$，故所有抛物线仿射等价。
  8. 设 $T(x,y)=A(x,y)+\boldsymbol b$。由 $T(0,0)=(0,0)$ 得 $\boldsymbol b=0$；由 $T(1,0)=(2,0)$ 得第一列为 $(2,0)$；由 $T(0,1)=(0,3)$ 得第二列为 $(0,3)$。故 $$T(x,y)=(2x,3y).$$
  9. 重心坐标由线性组合定义，仿射变换保持线性组合，故重心坐标不变。
  10. 仿射变换一般不保持长度、角度、垂直性、面积和体积的具体值，也不保持圆。