大学解析几何讲义（浓缩教材）
这套讲义是什么
- 按知识主题组织解析几何的内容，覆盖通常大学一学期解析几何课程的范围。
- 只保留定义、定理、公式、方法和推理格式等实质内容，不含情境引入、例题、探究活动、阅读材料等教学性内容。
- 每章包含三部分：知识点、练习（巩固基本概念和常规方法）、检测题（综合性、灵活性较强，用于检验是否真正掌握）。
- 每章末尾附参考答案与提示，方便自检。
- 公式使用 LaTeX 书写，Typora 可直接渲染；插图使用 SVG，放在
assets/目录中。
使用说明
- 建议按章顺序阅读。向量与坐标是全书基础，平面与直线是向量代数的直接应用，曲面与二次曲线、二次曲面是几何对象的主干，坐标变换、仿射变换与射影几何是观点上的提升。
- 先读知识点，再做“练习”；做完后对照答案。确认基本方法无误后，再独立完成“检测题”。
- 注意：本讲义的练习紧跟在对应章节之后，相当于提前告诉你“用本章方法”。做真题或综合题时没有这个提示，需要自己完成“题目条件 → 几何结构 → 所用公式”的翻译。
- 计算题要画图，尤其是平面与直线、曲面截痕、二次曲线分类；解析几何的很多错误来自坐标系选择和符号。
- 本讲义按解析几何的知识体系编写，不依赖某一套教材的具体编排。
目录
| 章 | 文件 | 主要内容 | 大致对应 |
|---|---|---|---|
| 第 1 章 | 向量与坐标 | 向量概念与线性运算、线性相关与基、坐标、标量积、向量积、混合积、方向余弦、定比分点、球面方程 | 解析几何一 |
| 第 2 章 | 平面与空间直线 | 平面方程、点法式与一般式、点到平面距离、两平面位置关系、空间直线方程、线线角与线面角、距离与投影 | 解析几何一 |
| 第 3 章 | 空间曲面与曲线 | 曲面方程与参数方程、曲线的一般方程与参数方程、投影、柱坐标与球坐标、常见曲面 | 解析几何一 |
| 第 4 章 | 柱面、锥面与旋转曲面 | 柱面、锥面、旋转曲面的定义与方程求法、母线方向、顶点、旋转轴 | 解析几何二 |
| 第 5 章 | 二次曲面 | 椭球面、双曲面、抛物面、二次锥面、二次柱面、截痕法、直纹性、切平面 | 解析几何二 |
| 第 6 章 | 二次曲线的一般理论 | 二次曲线一般方程、不变量、中心、渐近线、直径、主方向、正交化简与分类 | 解析几何二 |
| 第 7 章 | 二次曲面的一般理论 | 二次曲面一般方程、中心、切平面、直径面、渐近锥面、主方向、不变量与分类 | 解析几何二 |
| 第 8 章 | 坐标变换与仿射变换 | 平移与旋转、坐标变换公式、正交变换、仿射变换、仿射不变量、仿射等价 | 解析几何二 |
| 第 9 章 | 射影几何初步 | 射影平面、齐次坐标、无穷远点与无穷远直线、射影变换、交比、对偶、二次曲线的射影分类 | 解析几何二 |
| 附录 | 公式定理速查 | 向量、平面与直线、曲面、二次曲线与二次曲面、变换与射影公式汇总 | — |
符号约定
- 用 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 表示向量，$|\boldsymbol a|$ 表示向量的模，$\lambda\boldsymbol a$ 表示数乘。
- 用 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 表示标量积，$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$ 表示向量积，$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]$ 表示混合积。
- 用 ${\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3}$ 表示空间的一组基，$(x,y,z)$ 表示点在直角坐标系中的坐标，$(X,Y,Z)$ 表示向量的坐标。
- 用 $\pi$ 表示平面，$L$ 表示直线，$S$ 表示曲面，$\Gamma$ 表示曲线。
- 用 $d(P,\pi)$ 表示点 $P$ 到平面 $\pi$ 的距离，$d(P,L)$ 表示点到直线的距离，$d(L_1,L_2)$ 表示两直线间的距离。
- 用 $\theta$ 表示两向量、两直线或两平面的夹角；线面角用 $\varphi$ 表示。
- 二次曲线一般方程写成 $$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0.$$
- 二次曲面一般方程写成 $$a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0.$$
- 用 $(x_1:x_2:x_3)$ 表示射影平面中的齐次坐标，$x_3=0$ 表示无穷远直线。