第 7 章 二次曲面的一般理论

本章整理二次曲面的一般方程、中心、切平面、直径面、渐近锥面、主方向、正交化简与分类。它是二次曲线一般理论在三维空间中的推广。

7.1 二次曲面的一般方程

7.1.1 方程形式

二次曲面的一般方程为 $$\begin{aligned} &a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz\ &\quad+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0. \end{aligned}$$

矩阵形式： $$(x,y,z,1)\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\ a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\ a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\ a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\1\end{pmatrix}=0.$$

记 $$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}a_{14}\a_{24}\a_{34}\end{pmatrix}.$$

  • $A$ 是二次项矩阵，对称。
  • $A$ 的特征值决定曲面的主方向和类型。

7.1.2 不变量

常用的不变量包括：

$$I_1=a_{11}+a_{22}+a_{33},$$

$$I_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix},$$

$$I_3=|A|,$$

$$I_4=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\ a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\ a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\ a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44} \end{vmatrix}.$$

  • 在直角坐标变换下，这些不变量保持不变。
  • $I_3\ne0$ 时，二次曲面有唯一中心（中心型）。
  • $I_3=0$ 时，可能是抛物面型或柱面型，需进一步判断。

7.2 二次曲面的中心

7.2.1 中心方程

二次曲面的中心 $(x_0,y_0,z_0)$ 满足 $$A\begin{pmatrix}x_0\y_0\z_0\end{pmatrix}+\boldsymbol b=\boldsymbol0,$$ 即 $$\begin{cases} a_{11}x_0+a_{12}y_0+a_{13}z_0+a_{14}=0,\ a_{12}x_0+a_{22}y_0+a_{23}z_0+a_{24}=0,\ a_{13}x_0+a_{23}y_0+a_{33}z_0+a_{34}=0. \end{cases}$$

  • 若 $I_3=|A|\ne0$，有唯一中心。
  • 若 $I_3=0$，可能无中心，也可能有中心直线或中心平面。
  • 有唯一中心时，作平移 $$x=x_0+X,\quad y=y_0+Y,\quad z=z_0+Z,$$ 可消去一次项。

7.2.2 中心化后的方程

平移后方程化为 $$a_{11}X^2+a_{22}Y^2+a_{33}Z^2+2a_{12}XY+2a_{13}XZ+2a_{23}YZ+\frac{I_4}{I_3}=0.$$

  • 记 $c=I_4/I_3$，则方程只含二次项和常数项。
  • 再通过正交变换消去交叉项。

7.3 切平面与法线

7.3.1 一般二次曲面的切平面

设曲面由 $F(x,y,z)=0$ 给出，$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 在曲面上，且 $\nabla F(P_0)\ne\boldsymbol0$，则切平面为 $$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0.$$

  • 法向量为 $\nabla F(P_0)$。
  • 法线： $$\frac{x-x_0}{F_x(P_0)} =\frac{y-y_0}{F_y(P_0)} =\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}.$$

7.3.2 标准二次曲面的切平面

  • 椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$： $$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}+\frac{zz_0}{c^2}=1.$$
  • 单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$： $$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-\frac{zz_0}{c^2}=1.$$
  • 双叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1$： $$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-\frac{zz_0}{c^2}=-1.$$
  • 椭圆抛物面 $z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$： $$z+z_0=2\left(\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}\right).$$
  • 双曲抛物面 $z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}$： $$z+z_0=2\left(\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}\right).$$
  • 二次锥面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0$： $$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-\frac{zz_0}{c^2}=0.$$

7.3.3 奇点

  • 若 $\nabla F(P_0)=\boldsymbol0$，则 $P_0$ 是奇点，切平面可能不存在或不唯一。
  • 二次锥面的顶点是奇点。
  • 判断切平面前，先检查梯度是否为零。

7.4 直径面

与方向 $\boldsymbol l=(l,m,n)$ 共轭的直径面方程为 $$\begin{aligned} &(a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+a_{14})l\ &+(a_{12}x+a_{22}y+a_{23}z+a_{24})m\ &+(a_{13}x+a_{23}y+a_{33}z+a_{34})n=0. \end{aligned}$$

  • 直径面是平行于方向 $\boldsymbol l$ 的弦的中点轨迹。
  • 若曲面有唯一中心，所有直径面都过中心。
  • 对中心二次曲面，直径面可写成 $$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)A\begin{pmatrix}l\m\n\end{pmatrix}=0.$$

7.5 渐近锥面

对中心二次曲面，把方程中心化后只保留二次项，得到 $$(X,Y,Z)A\begin{pmatrix}X\Y\Z\end{pmatrix}=0.$$ 这个方程表示的锥面称为原二次曲面的渐近锥面。

  • 单叶双曲面和双叶双曲面有共同的渐近锥面。
  • 椭球面没有实渐近锥面。
  • 抛物面没有中心，通常不定义渐近锥面（或视为退化为无穷远）。

7.5.1 例

单叶双曲面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$ 的渐近锥面为 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0.$$

7.6 主方向与主化简

7.6.1 主方向

主方向由二次项矩阵 $A$ 的特征值确定： $$(A-\lambda I)\begin{pmatrix}l\m\n\end{pmatrix}=\boldsymbol0.$$

  • $A$ 是实对称矩阵，故有三个实特征值，且可取三个相互垂直的主方向。
  • 沿主方向的直径面称为主平面。
  • 三个主平面的交线称为主轴。

7.6.2 主化简步骤

  1. 写出二次项矩阵 $A$，求其特征值和单位特征向量。
  2. 以单位特征向量为新的坐标轴，作正交变换。
  3. 交叉项消失，方程化为 $$\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+\lambda_3Z^2+2a'{14}X+2a'{24}Y+2a'{34}Z+a'{44}=0.$$
  4. 若 $I_3\ne0$，再平移消去一次项。
  5. 根据系数符号判断曲面类型。

7.6.3 正交变换下的标准形

  • 椭球面： $$\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+\lambda_3Z^2=c,\quad \lambda_i\text{ 同号}.$$
  • 单叶/双叶双曲面： $$\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+\lambda_3Z^2=c,\quad \lambda_i\text{ 不同号}.$$
  • 椭圆抛物面/双曲抛物面： $$\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+2pZ=0\quad\text{或}\quad \lambda_1X^2-\lambda_2Y^2+2pZ=0.$$
  • 二次锥面： $$\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+\lambda_3Z^2=0,\quad \lambda_i\text{ 不同号}.$$

7.7 二次曲面的分类概述

7.7.1 非退化二次曲面

  • 椭球面。
  • 单叶双曲面。
  • 双叶双曲面。
  • 椭圆抛物面。
  • 双曲抛物面。
  • 二次锥面（可视为退化，但常单列）。

7.7.2 退化二次曲面

  • 二次柱面：椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。
  • 一对相交平面。
  • 一对平行平面、一对重合平面。
  • 一条直线、一点、空集。

7.7.3 分类思路

  1. 计算 $I_1,I_2,I_3,I_4$。
  2. 由 $I_3$ 判断是否为 中心型（$I_3\ne0$）或非中心型（$I_3=0$）。
  3. 对中心型，求中心，平移后由 $A$ 的特征值符号和常数项判断类型。
  4. 对非中心型，先用正交变换化简二次项，再平移或判断退化情形。
  5. 结合截痕法验证。

7.8 常见题型与方法

  1. 求中心：解 $Ax+\boldsymbol b=0$。
  2. 求切平面：用梯度或标准公式。
  3. 求直径面：代入共轭方向公式。
  4. 求渐近锥面：中心化后保留二次项。
  5. 求主方向/主轴：求 $A$ 的特征值和特征向量。
  6. 判断类型：不变量 + 配方 + 截痕。

练习

  1. 求二次曲面 $$x^2+2y^2+3z^2-2x+4y-6z=0$$ 的中心。

  2. 识别曲面 $$x^2+y^2-z^2=1.$$

  3. 求椭球面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+z^2=1$ 在点 $(2,0,0)$ 处的切平面。

  4. 求旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切平面。

  5. 求单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}-z^2=1$ 的渐近锥面。

  6. 求单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}-z^2=1$ 与 $z$ 方向 $(0,0,1)$ 共轭的直径面。

  7. 求椭球面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+z^2=1$ 的主方向。

  8. 判断方程 $x^2+y^2=0$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中表示什么图形。

  9. 识别曲面 $$x^2+y^2-z^2=0.$$

  10. 求二次曲面 $$x^2+2y^2+3z^2-2x+4y-6z=0$$ 的二次项矩阵的秩。

  11. 求二次曲面 $$x^2+y^2-z^2+2x-4y+6z=0$$ 的中心。

  12. 求球面 $x^2+y^2+z^2=3$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面。

检测题

  1. 求二次曲面 $$x^2+2y^2+3z^2-2x+4y-6z=1$$ 的中心。

  2. 识别曲面 $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{16}=1.$$

  3. 求椭球面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+z^2=1$ 在点 $(0,3,0)$ 处的切平面。

  4. 求单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}-z^2=1$ 的渐近锥面。

  5. 求单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}-z^2=1$ 与 $x$ 方向 $(1,0,0)$ 共轭的直径面。

  6. 求二次曲面 $$x^2+y^2+4z^2=1$$ 的主方向。

  7. 识别曲面 $$x^2+y^2=1.$$

  8. 判断方程 $x^2+y^2+z^2=0$ 表示什么图形。

  9. 求二次锥面 $x^2+y^2-z^2=0$ 在点 $(1,1,\sqrt2)$ 处的切平面。

  10. 求二次曲面 $$x^2+2y^2+3z^2-2x+4y-6z=0$$ 的二次项矩阵的特征值。

参考答案与提示

  1. 配方： $$(x-1)^2+2(y+1)^2+3(z-1)^2=6,$$ 中心为 $(1,-1,1)$。
  2. 单叶双曲面，$z$ 轴为实轴方向。
  3. 切平面为 $$\frac{2x}{4}=1,$$ 即 $$x=2.$$
  4. 设 $F=x^2+y^2-z$。在 $(1,1,2)$ 处，$F_x=2,F_y=2,F_z=-1$，故 $$2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0,$$ 即 $$z=2x+2y-2.$$
  5. 把右端改为 $0$： $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-z^2=0.$$
  6. 二次项矩阵为 $$A=\begin{pmatrix}\frac14&0&0\0&\frac19&0\0&0&-1\end{pmatrix}.$$ 与方向 $(0,0,1)$ 共轭的直径面为 $$-z=0,$$ 即 $z=0$。
  7. 二次项矩阵为对角矩阵，主方向为三个坐标轴方向： $$(1,0,0),\quad(0,1,0),\quad(0,0,1).$$
  8. $x^2+y^2=0$ 等价于 $x=y=0$，$z$ 任意，故表示 $z$ 轴。
  9. 二次锥面，顶点在原点，以 $z$ 轴为轴。
  10. 二次项矩阵为 $$\operatorname{diag}(1,2,3),$$ 秩为 $3$。
  11. 配方： $$(x+1)^2+(y-2)^2-(z-3)^2=-4,$$ 中心为 $(-1,2,3)$。
  12. 球心在原点，半径 $\sqrt3$。在 $(1,1,1)$ 处切平面为 $$x+y+z=3.$$

检测题参考答案

  1. 配方： $$(x-1)^2+2(y+1)^2+3(z-1)^2=7,$$ 中心为 $(1,-1,1)$。
  2. 单叶双曲面。
  3. 切平面为 $$\frac{3y}{9}=1,$$ 即 $$y=3.$$
  4. $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-z^2=0.$$
  5. 二次项矩阵为 $$A=\operatorname{diag}\left(\frac14,\frac19,-1\right).$$ 与方向 $(1,0,0)$ 共轭的直径面为 $$\frac x4=0,$$ 即 $x=0$。
  6. 二次项矩阵为 $$A=\operatorname{diag}(1,1,4),$$ 主方向为三个坐标轴方向。
  7. 圆柱面，母线平行于 $z$ 轴，半径 $1$。
  8. 只有实解 $(0,0,0)$，故表示原点。
  9. 对 $x^2+y^2-z^2=0$，在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处切平面为 $$xx_0+yy_0-zz_0=0.$$ 代入 $(1,1,\sqrt2)$： $$x+y-\sqrt2z=0.$$
  10. 二次项矩阵为 $$\operatorname{diag}(1,2,3),$$ 特征值为 $1,2,3$。