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附录-公式定理速查
附录 公式定理速查
一、向量
- 模：
$$|\boldsymbol a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$
- 单位化：
$$\boldsymbol e_{\boldsymbol a}=\frac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|}.$$
- 标量积：
$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta
=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$$
- 夹角：
$$\cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}.$$
- 投影：
$$\operatorname{proj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|}.$$
- 向量积：
$$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\
x_1&y_1&z_1\
x_2&y_2&z_2
\end{vmatrix}.$$
- 混合积：
$$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]=
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&z_1\
x_2&y_2&z_2\
x_3&y_3&z_3
\end{vmatrix}.$$
- 平行四边形面积：
$$S=|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|.$$
- 三角形面积：
$$S=\frac12|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|.$$
- 平行六面体体积：
$$V=|[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]|.$$
- 四面体体积：
$$V=\frac16|[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]|.$$
- 共线：
$$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol0.$$
- 共面：
$$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]=0.$$
- 垂直：
$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0.$$
- 方向余弦：
$$\cos\alpha=\frac{x}{|\boldsymbol a|},\quad
\cos\beta=\frac{y}{|\boldsymbol a|},\quad
\cos\gamma=\frac{z}{|\boldsymbol a|},$$
$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.$$
- 拉格朗日恒等式：
$$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|^2
=|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2.$$
- 二重向量积：
$$\boldsymbol a\times(\boldsymbol b\times\boldsymbol c)
=\boldsymbol b(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c)-\boldsymbol c(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b).$$
二、平面与直线
1. 平面
- 点法式：
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$
- 一般式：
$$Ax+By+Cz+D=0.$$
- 截距式：
$$\frac xa+\frac yb+\frac zc=1.$$
- 点到平面距离：
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$
- 两平面夹角：
$$\cos\theta=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}
{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.$$
- 平行：
$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.$$
- 垂直：
$$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0.$$
- 平行平面距离：
$$d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$
2. 空间直线
- 参数式：
$$x=x_0+lt,\quad y=y_0+mt,\quad z=z_0+nt.$$
- 对称式：
$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}.$$
- 一般式：
$$\begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.
\end{cases}$$
- 方向向量：
$$\boldsymbol d=(A_1,B_1,C_1)\times(A_2,B_2,C_2).$$
- 两直线夹角：
$$\cos\theta=\frac{|\boldsymbol d_1\cdot\boldsymbol d_2|}{|\boldsymbol d_1||\boldsymbol d_2|}.$$
- 线面角：
$$\sin\varphi=\frac{|\boldsymbol d\cdot\boldsymbol n|}{|\boldsymbol d||\boldsymbol n|}.$$
- 点到直线距离：
$$d=\frac{|\overrightarrow{P_0P}\times\boldsymbol d|}{|\boldsymbol d|}.$$
- 异面直线距离：
$$d=\frac{|[\boldsymbol d_1,\boldsymbol d_2,\overrightarrow{P_1P_2}]|}
{|\boldsymbol d_1\times\boldsymbol d_2|}.$$
三、曲面
- 球面：
$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$$
- 柱面（母线平行于 $z$ 轴）：
$$F(x,y)=0.$$
- 锥面（顶点在原点）：
$$F\left(\frac xz,\frac yz\right)=0.$$
- 绕 $z$ 轴旋转：
$$F\left(\pm\sqrt{x^2+y^2},z\right)=0.$$
- 柱坐标：
$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z.$$
- 球坐标：
$$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad
z=\rho\cos\varphi.$$
四、二次曲面
- 椭球面：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$
- 单叶双曲面：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$$
- 双叶双曲面：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.$$
- 椭圆抛物面：
$$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}.$$
- 双曲抛物面：
$$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}.$$
- 二次锥面：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0.$$
- 椭圆柱面：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$
- 双曲柱面：
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$
- 抛物柱面：
$$y^2=2px.$$
切平面
- 椭球面：
$$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}+\frac{zz_0}{c^2}=1.$$
- 单叶双曲面：
$$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-\frac{zz_0}{c^2}=1.$$
- 双叶双曲面：
$$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-\frac{zz_0}{c^2}=-1.$$
- 椭圆抛物面：
$$z+z_0=2\left(\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}\right).$$
- 双曲抛物面：
$$z+z_0=2\left(\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}\right).$$
- 二次锥面：
$$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-\frac{zz_0}{c^2}=0.$$
五、二次曲线的一般理论
- 一般方程：
$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0.$$
- 不变量：
$$I_1=a_{11}+a_{22},$$
$$I_2=a_{11}a_{22}-a_{12}^2,$$
$$I_3=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\
a_{12}&a_{22}&a_{23}\
a_{13}&a_{23}&a_{33}
\end{vmatrix}.$$
- 中心：
$$\begin{cases}
a_{11}x_0+a_{12}y_0+a_{13}=0,\
a_{12}x_0+a_{22}y_0+a_{23}=0.
\end{cases}$$
- 渐近方向：
$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2=0.$$
- 直径：
$$(a_{11}x+a_{12}y+a_{13})l+(a_{12}x+a_{22}y+a_{23})m=0.$$
- 主方向：
$$(A-\lambda I)\begin{pmatrix}l\m\end{pmatrix}=0.$$
- 分类：
- $I_2>0$：椭圆型；
- $I_2<0$：双曲型；
- $I_2=0$：抛物型；
- $I_3=0$：退化。
六、二次曲面的一般理论
- 一般方程：
$$a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz
+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0.$$
- 中心：
$$A\begin{pmatrix}x_0\y_0\z_0\end{pmatrix}+\boldsymbol b=0.$$
- 切平面：
$$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0.$$
- 直径面：
$$(a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+a_{14})l
+(a_{12}x+a_{22}y+a_{23}z+a_{24})m
+(a_{13}x+a_{23}y+a_{33}z+a_{34})n=0.$$
- 渐近锥面：
$$a_{11}X^2+a_{22}Y^2+a_{33}Z^2
+2a_{12}XY+2a_{13}XZ+2a_{23}YZ=0.$$
- 主方向：
$$(A-\lambda I)\begin{pmatrix}l\m\n\end{pmatrix}=0.$$
七、坐标变换与仿射变换
- 平移：
$$x=x'+x_0,\quad y=y'+y_0,\quad z=z'+z_0.$$
- 平面旋转：
$$\begin{cases}
x=x'\cos\theta-y'\sin\theta,\
y=x'\sin\theta+y'\cos\theta.
\end{cases}$$
- 一般直角坐标变换：
$$\boldsymbol x=A\boldsymbol x'+\boldsymbol b,\qquad A^{\mathrm T}A=I.$$
- 仿射变换：
$$\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol b,\qquad \det A\ne0.$$
- 面积伸缩：
$$S'=|\det A|S.$$
- 体积伸缩：
$$V'=|\det A|V.$$
- 仿射不变量：共线性、平行性、线段比、中点、重心坐标。
- 非仿射不变量：长度、角度、垂直性。
八、射影几何初步
- 齐次坐标：
$$(x:y:z)=(\lambda x:\lambda y:\lambda z).$$
- 无穷远直线：
$$z=0.$$
- 直线：
$$ax+by+cz=0.$$
- 两点确定直线：
$$P\times Q.$$
- 两直线交点：
$$l\times m.$$
- 射影变换：
$$\boldsymbol x'\sim A\boldsymbol x,\qquad \det A\ne0.$$
- 交比：
$$(P_1,P_2;P_3,P_4)
=\frac{(t_3-t_1)(t_4-t_2)}{(t_3-t_2)(t_4-t_1)}.$$
- 调和比：
$$(P_1,P_2;P_3,P_4)=-1.$$
- 二次曲线：
$$\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x=0.$$
- 椭圆、双曲线、抛物线与无穷远直线的交点分别为 $0$、$2$、$1$（二重）。
- 在复射影平面中，所有非退化二次曲线射影等价。