第 2 章平面与空间直线

本章整理平面方程、点到平面的距离、两平面的位置关系、空间直线方程、线线角与线面角、距离公式、投影以及平面束。平面与直线是向量代数最直接的应用。

2.1 平面方程

2.1.1 点法式

已知平面过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量为 $\boldsymbol n=(A,B,C)\ne\boldsymbol0$，则平面方程为 $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$

法向量垂直于平面内任意向量。
若平面内有两个不共线向量 $\boldsymbol u,\boldsymbol v$，则法向量可取 $$\boldsymbol n=\boldsymbol u\times\boldsymbol v.$$

2.1.2 一般式

平面的一般方程为 $$Ax+By+Cz+D=0,$$ 其中 $A,B,C$ 不全为零，$\boldsymbol n=(A,B,C)$ 是平面的一个法向量。

当 $D=0$ 时，平面过原点。
当 $A=0$ 时，平面平行于 $x$ 轴；$B=0$ 时平行于 $y$ 轴；$C=0$ 时平行于 $z$ 轴。
当 $A=B=0$ 时，平面平行于 $xy$ 平面（即 $z=\text{常数}$）。
类似可判断其他缺项情形。

2.1.3 截距式

若平面在 $x,y,z$ 轴上的截距分别为 $a,b,c$（均非零），则 $$\frac xa+\frac yb+\frac zc=1.$$

截距式不适用于过原点或平行于坐标轴的平面。

2.1.4 三点式

过不共线三点 $P_1,P_2,P_3$ 的平面方程为 $$\begin{vmatrix} x-x_1&y-y_1&z-z_1\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1 \end{vmatrix}=0.$$

等价于法向量取 $$\boldsymbol n=\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}.$$

2.1.5 法式方程

$$x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0,$$ 其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 是平面的单位法向量，$p\ge0$ 是原点到平面的距离。

2.1.6 平面束

设两平面 $$\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$$ $$\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$ 相交于直线 $L$，则过 $L$ 的平面束可表示为 $$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0.$$

该方程表示除 $\pi_2$ 以外所有过 $L$ 的平面；需要 $\pi_2$ 时单独补上。
平面束常用于求过交线且满足某条件的平面。

2.2 点、平面间的位置关系

2.2.1 点到平面的距离

点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为 $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

分子是把点代入平面方程左侧的绝对值。
分母是法向量的模。

2.2.2 两平面的位置关系

设 $$\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$$ $$\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.$$

平行（含重合）： $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.$$
重合：上述比例成立，且 $$\frac{D_1}{D_2}$$ 也等于同一个比例。
垂直： $$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0.$$
夹角 $\theta$： $$\cos\theta=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.$$

2.2.3 两平行平面的距离

若 $$Ax+By+Cz+D_1=0,\qquad Ax+By+Cz+D_2=0,$$ 则距离为 $$d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

2.3 空间直线方程

2.3.1 参数式

过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$、方向向量为 $\boldsymbol d=(l,m,n)\ne\boldsymbol0$ 的直线： $$\begin{cases} x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.$$

方向向量平行于直线。
参数 $t$ 的几何意义：以 $\boldsymbol d$ 为单位时，$|t|$ 为点 $P_0$ 到对应点的距离。

2.3.2 对称式（点向式）

消去参数 $t$，得 $$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}.$$

若某个方向分量为 $0$，应理解为对应的分子为 $0$。例如 $n=0$ 时写成 $$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m},\qquad z=z_0.$$

2.3.3 一般式（两平面交线）

直线可表示为两个相交平面的交线： $$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0. \end{cases}$$

方向向量： $$\boldsymbol d=\boldsymbol n_1\times\boldsymbol n_2 =(A_1,B_1,C_1)\times(A_2,B_2,C_2).$$
求直线上的一个点：令某个坐标取方便的值，解二元一次方程组。
一般式与对称式可以互化。

2.3.4 两点式

过 $P_1(x_1,y_1,z_1)$、$P_2(x_2,y_2,z_2)$ 的直线： $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{y-y_1}{y_2-y_1} =\frac{z-z_1}{z_2-z_1}.$$

方向向量为 $\overrightarrow{P_1P_2}$。

2.4 线线、线面关系

2.4.1 两直线的位置关系

设两直线方向向量分别为 $\boldsymbol d_1,\boldsymbol d_2$，分别过点 $P_1,P_2$。

平行：$\boldsymbol d_1\parallel\boldsymbol d_2$。
重合：$\boldsymbol d_1\parallel\boldsymbol d_2$ 且 $P_2-P_1\parallel\boldsymbol d_1$。
相交：三向量 $\boldsymbol d_1,\boldsymbol d_2,\overrightarrow{P_1P_2}$ 共面，且 $\boldsymbol d_1\nparallel\boldsymbol d_2$。
异面：三向量不共面，即 $$[\boldsymbol d_1,\boldsymbol d_2,\overrightarrow{P_1P_2}]\ne0.$$
夹角 $\theta$： $$\cos\theta=\frac{|\boldsymbol d_1\cdot\boldsymbol d_2|}{|\boldsymbol d_1|,|\boldsymbol d_2|}.$$
垂直： $$\boldsymbol d_1\cdot\boldsymbol d_2=0.$$

2.4.2 直线与平面的位置关系

设直线方向向量为 $\boldsymbol d$，平面法向量为 $\boldsymbol n$。

直线在平面内：$\boldsymbol d\cdot\boldsymbol n=0$，且直线上一点在平面内。
直线与平面平行（不在平面内）：$\boldsymbol d\cdot\boldsymbol n=0$，且直线上一点不在平面内。
直线与平面相交：$\boldsymbol d\cdot\boldsymbol n\ne0$。
线面角 $\varphi$（直线与它在平面上的投影的夹角）： $$\sin\varphi=\frac{|\boldsymbol d\cdot\boldsymbol n|}{|\boldsymbol d|,|\boldsymbol n|}.$$
直线与平面垂直： $$\boldsymbol d\parallel\boldsymbol n.$$

平面与空间直线的位置关系

2.4.3 直线与平面的交点

将直线参数式代入平面方程： $$A(x_0+lt)+B(y_0+mt)+C(z_0+nt)+D=0.$$

若 $Al+Bm+Cn\ne0$，解出唯一 $t$，得到交点。
若 $Al+Bm+Cn=0$ 且点 $P_0$ 在平面上，则直线在平面内。
若 $Al+Bm+Cn=0$ 且点 $P_0$ 不在平面上，则直线与平面平行。

2.5 距离公式

2.5.1 点到直线的距离

设直线过点 $P_0$、方向向量为 $\boldsymbol d$，点 $P$ 到直线的距离： $$d=\frac{|\overrightarrow{P_0P}\times\boldsymbol d|}{|\boldsymbol d|}.$$

几何意义：以 $\overrightarrow{P_0P}$ 和 $\boldsymbol d$ 为邻边的平行四边形的高。

2.5.2 两平行直线的距离

在一条直线上取一点，转化为点到直线的距离。

2.5.3 两异面直线的距离

设两直线分别过 $P_1,P_2$，方向向量为 $\boldsymbol d_1,\boldsymbol d_2$，则 $$d=\frac{|[\boldsymbol d_1,\boldsymbol d_2,\overrightarrow{P_1P_2}]|} {|\boldsymbol d_1\times\boldsymbol d_2|}.$$

分子是以 $\boldsymbol d_1,\boldsymbol d_2,\overrightarrow{P_1P_2}$ 为棱的平行六面体体积。
分母是以 $\boldsymbol d_1,\boldsymbol d_2$ 为邻边的平行四边形面积。
两异面直线的公垂线方向为 $\boldsymbol d_1\times\boldsymbol d_2$。

2.6 投影

2.6.1 点在平面上的投影

点 $P$ 在平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 上的投影 $P'$： $$P'=P-\frac{Ax_P+By_P+Cz_P+D}{A^2+B^2+C^2}(A,B,C).$$

即从 $P$ 沿法向量方向移动到平面上。

2.6.2 点在直线上的投影

设直线过 $P_0$、方向向量为 $\boldsymbol d$，则点 $P$ 在直线上的投影： $$P'=P_0+\frac{\overrightarrow{P_0P}\cdot\boldsymbol d}{|\boldsymbol d|^2}\boldsymbol d.$$

2.6.3 直线在平面上的投影

求直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上的投影：

过 $L$ 作一个与 $\pi$ 垂直的平面 $\pi'$；
$\pi'$ 的法向量为 $\boldsymbol d\times\boldsymbol n$，其中 $\boldsymbol d$ 是 $L$ 的方向向量，$\boldsymbol n$ 是 $\pi$ 的法向量；
投影直线为 $\pi\cap\pi'$。

2.7 常见题型与方法

求平面方程：找一点和法向量；或利用三点、截距、平面束。
求直线方程：找一点和方向向量；或用两平面交线。
判断位置关系：比较方向向量、法向量、混合积。
求距离：点面距离、点线距离、异面直线距离。
求夹角：线线角用方向向量，线面角用方向向量与法向量，二面角用两平面法向量。
求投影：点向平面作垂线，或点向直线作垂线。
过交线的平面：用平面束，代入条件确定参数。

练习

求过点 $(1,2,3)$ 且法向量为 $(2,-1,1)$ 的平面方程。
求过 $A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$ 的平面方程。
求点 $(1,2,3)$ 到平面 $2x-y+2z-3=0$ 的距离。
求平面 $x+y+z=1$ 与 $x-y+z=1$ 的夹角。
求过点 $(1,2,3)$ 且方向向量为 $(2,-1,4)$ 的直线方程。
求直线 $$x=1+t,\quad y=2-t,\quad z=3+2t$$ 与平面 $x+y+z=6$ 的交点。
判断平面 $x+y+z=1$ 与 $2x+2y+2z=4$ 的位置关系。
求直线方向向量 $(1,2,-1)$ 与 $(2,-1,1)$ 的夹角。
求点 $(1,2,3)$ 在平面 $x+y+z=0$ 上的投影。
求两平面 $x+y+z=1$、$x-y+z=0$ 的交线方程。
求点 $(1,1,1)$ 到直线 $$x=y=z$$ 的距离。
求过直线 $x=y=z$ 和点 $(1,0,0)$ 的平面方程。

检测题

求过点 $(2,-1,3)$ 且平行于平面 $x+2y-3z=0$ 的平面方程。
求过点 $(1,0,-1)$ 且垂直于平面 $2x-y+z=1$ 的直线方程。
求点 $(1,1,1)$ 到平面 $x+2y+2z=4$ 的距离。
求直线 $$\frac{x-1}{2}=\frac y1=\frac{z+1}{-1}$$ 与平面 $x+y+z=2$ 的交点。
求直线方向向量 $(1,2,-1)$ 与平面法向量 $(1,-1,1)$ 所成线面角的正弦值。
判断直线 $x=y=z$ 与平面 $x+y-z=0$ 的位置关系。
求两平行平面 $x+y+z=1$ 与 $x+y+z=3$ 的距离。
求点 $(1,2,3)$ 在直线 $x=y=z$ 上的投影。
求两异面直线 $$L_1:x=t,\ y=0,\ z=0,$$ $$L_2:x=0,\ y=s,\ z=1$$ 之间的距离。
求过 $x$ 轴和点 $(1,2,3)$ 的平面方程。

参考答案与提示

$$2(x-1)-(y-2)+(z-3)=0,$$ 即 $$2x-y+z-3=0.$$
法向量可取 $$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =(-1,1,0)\times(-1,0,1)=(1,1,1),$$ 故平面为 $$x+y+z=1.$$
$$d=\frac{|2-2+6-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{3}{3}=1.$$
法向量 $\boldsymbol n_1=(1,1,1)$，$\boldsymbol n_2=(1,-1,1)$， $$\cos\theta=\frac{|1-1+1|}{\sqrt3\sqrt3}=\frac13.$$
$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{4}.$$
代入： $$(1+t)+(2-t)+(3+2t)=6+2t=6,$$ 故 $t=0$，交点为 $(1,2,3)$。
两平面法向量成比例，且常数项不成同一比例，故两平面平行且不重合。
$$\cos\theta=\frac{|2-2-1|}{\sqrt6\sqrt6}=\frac16.$$
平面法向量为 $(1,1,1)$，点代入得 $1+2+3=6$，故投影为 $$(1,2,3)-\frac6{3}(1,1,1)=(-1,0,1).$$
方向向量 $$(1,1,1)\times(1,-1,1)=(2,0,-2)\parallel(1,0,-1).$$ 令 $z=0$，解 $x+y=1$，$x-y=0$，得 $x=y=\dfrac12$。交线为 $$\frac{x-\frac12}{1}=\frac{y-\frac12}{0}=\frac{z}{-1}.$$ 即 $$\begin{cases} y=\frac12,\ x+z=\frac12. \end{cases}$$
直线过原点，方向向量 $\boldsymbol d=(1,1,1)$，$\overrightarrow{OP}=(1,1,1)$。距离为 $$\frac{|\overrightarrow{OP}\times\boldsymbol d|}{|\boldsymbol d|}=0.$$ 点 $(1,1,1)$ 在直线上。
直线方向向量为 $(1,1,1)$，从原点到点 $(1,0,0)$ 的向量为 $(1,0,0)$。法向量 $$(1,1,1)\times(1,0,0)=(0,1,-1),$$ 故平面为 $$y-z=0.$$

检测题参考答案

所求平面与已知平面平行，法向量相同： $$(x-2)+2(y+1)-3(z-3)=0,$$ 即 $$x+2y-3z+9=0.$$
直线方向向量为平面法向量 $(2,-1,1)$，故 $$\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{1}.$$
$$d=\frac{|1+2+2-4|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac13.$$
参数式： $$x=1+2t,\quad y=t,\quad z=-1-t.$$ 代入： $$(1+2t)+t+(-1-t)=2t=2,$$ 故 $t=1$，交点为 $(3,1,-2)$。
线面角 $\varphi$ 满足 $$\sin\varphi=\frac{|(1,2,-1)\cdot(1,-1,1)|}{\sqrt6\sqrt3} =\frac{2}{\sqrt{18}}=\frac{\sqrt2}{3}.$$
将 $x=y=z=t$ 代入平面： $$t+t-t=t=0.$$ 故直线与平面交于原点，不包含在平面内。
$$d=\frac{|3-1|}{\sqrt3}=\frac2{\sqrt3}.$$
直线 $x=y=z$ 的参数式为 $(t,t,t)$，投影参数 $$t=\frac{(1,2,3)\cdot(1,1,1)}{3}=2,$$ 投影为 $(2,2,2)$。
两直线方向向量 $\boldsymbol d_1=(1,0,0)$，$\boldsymbol d_2=(0,1,0)$， $$\boldsymbol d_1\times\boldsymbol d_2=(0,0,1).$$ $P_1=(0,0,0)$，$P_2=(0,0,1)$，$\overrightarrow{P_1P_2}=(0,0,1)$。距离为 $$d=\frac{|(0,0,1)\cdot(0,0,1)|}{1}=1.$$
$x$ 轴方向向量为 $(1,0,0)$，点 $(1,2,3)$ 与原点连线的方向为 $(1,2,3)$。法向量 $$(1,0,0)\times(1,2,3)=(0,-3,2),$$ 故平面为 $$-3y+2z=0,$$ 即 $$3y-2z=0.$$

第02章-平面与空间直线

第 2 章 平面与空间直线