第 3 章空间曲面与曲线

本章整理空间曲面与曲线的方程、参数表示、投影、柱坐标与球坐标以及常见曲面。曲面与曲线是解析几何研究的主要几何对象。

3.1 空间曲面

3.1.1 曲面方程

若曲面 $S$ 上每一点的坐标都满足方程 $$F(x,y,z)=0,$$ 且不在 $S$ 上的点都不满足该方程，则称该方程为曲面 $S$ 的方程。
显式方程： $$z=f(x,y).$$
参数方程： $$\begin{cases} x=x(u,v),\ y=y(u,v),\ z=z(u,v), \end{cases}\quad (u,v)\in D.$$
参数 $u,v$ 称为曲面的参数，$D$ 为参数区域。

3.1.2 球面

以 $C(a,b,c)$ 为球心、$R$ 为半径的球面： $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$$

一般方程： $$x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0.$$
球面的参数方程： $$\begin{cases} x=a+R\sin\varphi\cos\theta,\ y=b+R\sin\varphi\sin\theta,\ z=c+R\cos\varphi, \end{cases}$$ 其中 $0\le\varphi\le\pi$，$0\le\theta<2\pi$。

3.1.3 柱面与锥面（初步）

柱面：动直线沿定曲线平行移动所形成的曲面。定曲线称为准线，动直线称为母线。
- 圆柱面： $$x^2+y^2=R^2.$$
- 椭圆柱面： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$
- 抛物柱面： $$y^2=2px.$$
锥面：动直线过定点并沿定曲线移动所形成的曲面。定点称为顶点，定曲线称为准线。
- 圆锥面： $$x^2+y^2=z^2.$$
柱面、锥面与旋转曲面的系统讨论见第 4 章。

3.1.4 旋转曲面（初步）

由一条曲线绕一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转曲面。定直线称为旋转轴。
常见旋转曲面：
- 旋转抛物面： $$z=x^2+y^2.$$
- 旋转双曲面： $$x^2+y^2-z^2=1.$$
- 球面： $$x^2+y^2+z^2=R^2.$$

3.1.5 二次曲面（初步）

椭球面： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$
单叶双曲面： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$$
双叶双曲面： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.$$
椭圆抛物面： $$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}.$$
双曲抛物面： $$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}.$$
二次锥面： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0.$$
详细讨论见第 5 章。

3.2 空间曲线

3.2.1 曲线的一般方程

空间曲线通常表示为两个曲面的交线： $$\begin{cases} F(x,y,z)=0,\ G(x,y,z)=0. \end{cases}$$

曲线上的点同时满足两个曲面方程。
表示不唯一：同一条曲线可以用不同的两张曲面相交表示。

3.2.2 曲线的参数方程

$$\begin{cases} x=x(t),\ y=y(t),\ z=z(t), \end{cases}\quad t\in[\alpha,\beta].$$

参数 $t$ 可以是时间、角度或其他几何量。
常见的圆、椭圆、螺旋线都适合用参数方程表示。

3.2.3 常见曲线

圆（在 $xy$ 平面内）： $$\begin{cases} x=R\cos t,\ y=R\sin t,\ z=0. \end{cases}$$
螺旋线： $$\begin{cases} x=R\cos t,\ y=R\sin t,\ z=kt. \end{cases}$$
圆柱与平面的交线： $$\begin{cases} x^2+y^2=R^2,\ z=x. \end{cases}$$ 可参数化为 $(R\cos t,R\sin t,R\cos t)$。

3.3 坐标曲面与坐标曲线

3.3.1 柱坐标

柱坐标 $(r,\theta,z)$ 与直角坐标的关系： $$\begin{cases} x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z, \end{cases}\qquad \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2},\ \theta=\arctan\frac yx,\ z=z. \end{cases}$$

$r\ge0$，$0\le\theta<2\pi$。
柱坐标的坐标曲面：
- $r=\text{常数}$：以 $z$ 轴为轴的圆柱面；
- $\theta=\text{常数}$：过 $z$ 轴的半平面；
- $z=\text{常数}$：平行于 $xy$ 平面的平面。

3.3.2 球坐标

球坐标 $(\rho,\varphi,\theta)$ 与直角坐标的关系： $$\begin{cases} x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\ z=\rho\cos\varphi, \end{cases}\qquad \begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\ \varphi=\arccos\frac{z}{\rho},\ \theta=\arctan\frac yx. \end{cases}$$

$\rho\ge0$，$0\le\varphi\le\pi$，$0\le\theta<2\pi$。
球坐标的坐标曲面：
- $\rho=\text{常数}$：以原点为球心的球面；
- $\varphi=\text{常数}$：以 $z$ 轴为轴的圆锥面；
- $\theta=\text{常数}$：过 $z$ 轴的半平面。

3.3.3 坐标变换举例

柱坐标 $(2,\pi/3,1)$ 对应的直角坐标： $$x=2\cos\frac\pi3=1,\quad y=2\sin\frac\pi3=\sqrt3,\quad z=1.$$
球坐标 $(2,\pi/3,\pi/6)$ 对应的直角坐标： $$x=2\sin\frac\pi3\cos\frac\pi6=\frac32,\quad y=2\sin\frac\pi3\sin\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2,\quad z=2\cos\frac\pi3=1.$$

3.4 空间曲线在坐标面上的投影

3.4.1 投影曲线

曲线 $\Gamma$ 在 $xy$ 平面上的投影曲线，是由 $\Gamma$ 上每一点向 $xy$ 平面作垂线，垂足形成的曲线。
求法：从曲线方程中消去 $z$，得到投影柱面方程 $$H(x,y)=0,$$ 再与 $z=0$ 联立： $$\begin{cases} H(x,y)=0,\ z=0. \end{cases}$$
类似可求在 $yz$ 平面、$zx$ 平面上的投影。

3.4.2 投影柱面

曲线 $\Gamma$ 在 $xy$ 平面上的投影柱面是母线平行于 $z$ 轴的柱面，其方程由消去 $z$ 得到。
投影柱面包含曲线，但不一定等于曲线本身。
求投影时要注意变量的取值范围，避免把投影柱面上的多余部分当作曲线投影。

3.4.3 例

曲线 $$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=1,\ x+y=0 \end{cases}$$ 在 $xy$ 平面上的投影：

由 $x+y=0$ 得 $y=-x$；
由球面方程得 $z^2=1-2x^2\ge0$，所以 $|x|\le\dfrac1{\sqrt2}$；
投影为线段 $$\begin{cases} y=-x,\ z=0,\ |x|\le\frac1{\sqrt2}. \end{cases}$$

3.5 空间曲线的参数化

3.5.1 圆与椭圆

$xy$ 平面内的圆： $$(R\cos t,R\sin t,0).$$
平面 $z=k$ 上的椭圆： $$\left(a\cos t,b\sin t,k\right).$$
空间圆：先求圆心和半径，再在圆所在平面内取一组正交基。

3.5.2 螺旋线

圆柱螺旋线： $$(R\cos t,R\sin t,kt).$$
螺距为 $2\pi|k|$。
螺旋线在 $xy$ 平面上的投影是圆 $x^2+y^2=R^2$。

3.5.3 两曲面交线的参数化

若其中一个曲面是柱面 $x^2+y^2=R^2$，可令 $x=R\cos t$，$y=R\sin t$，再由另一个曲面方程解出 $z$。
若交线是平面曲线，可在该平面内取参数。
参数化后要注意参数的取值范围和曲线是否闭合。

3.6 曲面与曲线的对称性

若方程在 $x\mapsto -x$ 下不变，则曲面关于 $yz$ 平面对称。
若方程在 $y\mapsto -y$ 下不变，则曲面关于 $zx$ 平面对称。
若方程在 $z\mapsto -z$ 下不变，则曲面关于 $xy$ 平面对称。
若方程在 $(x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z)$ 下不变，则曲面关于原点对称。
曲线也可以利用对称性简化作图和参数化。

3.7 常见题型与方法

由几何条件求曲面方程：设动点 $(x,y,z)$，把条件翻译成等式，化简。
识别曲面：配方、比较标准方程、看截痕。
求曲线投影：消去一个变量，写出投影柱面，再与坐标平面联立。
参数化曲线：优先利用柱面或平面上的圆、椭圆。
坐标变换：柱坐标、球坐标与直角坐标互化。
判断点是否在曲面/曲线上：代入方程检验。

练习

求以 $(1,0,-2)$ 为球心、$3$ 为半径的球面方程。
求球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $z=0$ 的交线，并写出参数方程。
求曲线 $$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=1,\ x+y=0 \end{cases}$$ 在 $xy$ 平面上的投影。
识别曲面 $x^2+y^2=2z$。
识别曲面 $x^2+y^2-z^2=1$。
写出圆柱面 $x^2+y^2=1$ 的参数方程。
写出以原点为球心、$R$ 为半径的球面的参数方程。
参数化曲线 $$\begin{cases} x^2+y^2=1,\ z=x. \end{cases}$$
求螺旋线 $$x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=t$$ 在 $xy$ 平面上的投影。
判断点 $(1,1,1)$ 是否在曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ 上。
求以圆 $x^2+y^2=1$（$z=0$）为准线、母线平行于 $z$ 轴的柱面方程。
将柱坐标 $(2,\pi/3,1)$ 化为直角坐标。

检测题

求以 $(-1,2,0)$ 为球心、$2$ 为半径的球面方程。
识别曲面 $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+z^2=1.$$
求曲线 $$\begin{cases} z=x^2+y^2,\ z=1 \end{cases}$$ 在 $xy$ 平面上的投影。
写出锥面 $z^2=x^2+y^2$ 的参数方程。
识别曲面 $x^2-y^2=1$。
写出螺旋线 $(\cos t,\sin t,t)$ 在 $xy$ 平面上的投影。
识别曲面 $z=xy$。
求球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 与平面 $z=1$ 的交线。
求以抛物线 $y=x^2$（$z=0$）为准线、母线平行于 $z$ 轴的柱面方程。
求球面 $x^2+y^2+z^2-4x=0$ 的球心和半径。

参考答案与提示

$$(x-1)^2+y^2+(z+2)^2=9.$$
交线为 $$\begin{cases} x^2+y^2=1,\ z=0. \end{cases}$$ 参数方程： $$(x,y,z)=(\cos t,\sin t,0).$$
由 $x+y=0$ 得 $y=-x$；由球面方程得 $z^2=1-2x^2\ge0$，故 $|x|\le\dfrac1{\sqrt2}$。投影为 $$\begin{cases} y=-x,\ z=0,\ |x|\le\frac1{\sqrt2}. \end{cases}$$
这是旋转抛物面（椭圆抛物面的特例），开口沿 $z$ 轴正方向。
这是单叶双曲面，$z$ 轴为实轴方向。
$$(x,y,z)=(\cos u,\sin u,v).$$
$$(x,y,z)=(R\sin\varphi\cos\theta,R\sin\varphi\sin\theta,R\cos\varphi).$$
$$(x,y,z)=(\cos t,\sin t,\cos t).$$
投影为圆 $$\begin{cases} x^2+y^2=1,\ z=0. \end{cases}$$
代入：$1+1-1=1$，故点在曲面上。
$$x^2+y^2=1.$$
$$(x,y,z)=\left(2\cos\frac\pi3,2\sin\frac\pi3,1\right)=(1,\sqrt3,1).$$

检测题参考答案

$$(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=4.$$
椭球面，半轴分别为 $2,3,1$。
由 $z=1$ 与 $z=x^2+y^2$ 得 $$\begin{cases} x^2+y^2=1,\ z=0. \end{cases}$$ 投影为单位圆。
$$(x,y,z)=(u\cos v,u\sin v,u),\quad u\ge0,\ 0\le v<2\pi.$$
双曲柱面，母线平行于 $z$ 轴。
投影为 $$\begin{cases} x^2+y^2=1,\ z=0. \end{cases}$$
双曲抛物面（马鞍面）。
交线为圆 $$\begin{cases} x^2+y^2=3,\ z=1. \end{cases}$$
柱面方程为 $$y=x^2.$$
配方： $$(x-2)^2+y^2+z^2=4,$$ 球心为 $(2,0,0)$，半径为 $2$。

第03章-空间曲面与曲线

第 3 章 空间曲面与曲线