第 5 章 二次曲面

本章整理二次曲面的标准方程、截痕法、直纹性以及切平面。二次曲面是空间解析几何的主要研究对象。

5.1 二次曲面的标准方程

5.1.1 椭球面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\quad(a,b,c>0).$$

  • 关于三个坐标平面、三个坐标轴和原点都对称。
  • 与坐标平面的截痕都是椭圆：
    • $z=0$：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$；
    • $y=0$：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$；
    • $x=0$：$\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$。
  • 当 $a=b=c$ 时，为球面。
  • 参数方程： $$\begin{cases} x=a\sin\varphi\cos\theta,\ y=b\sin\varphi\sin\theta,\ z=c\cos\varphi. \end{cases}$$

5.1.2 单叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$$

  • 关于三个坐标平面、三个坐标轴和原点都对称。
  • 与 $xy$ 平面的截痕是椭圆；与包含 $z$ 轴的平面的截痕是双曲线。
  • 曲面连通，形状像“腰鼓”。
  • 是直纹曲面：有两族母线，每族母线都是直线。
  • 当 $a=b$ 时，为旋转单叶双曲面。

5.1.3 双叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.$$

  • 关于三个坐标平面、三个坐标轴和原点都对称。
  • 曲面分成两叶，分别位于 $z\ge c$ 和 $z\le -c$。
  • 与 $xy$ 平面无交；与平行于 $xy$ 平面的平面 $z=k$（$|k|\ge c$）的截痕是椭圆。
  • 不是直纹曲面。

5.1.4 椭圆抛物面

$$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}.$$

  • 关于 $yz$ 平面和 $zx$ 平面对称。
  • 开口沿 $z$ 轴正方向。
  • 与 $z=k$（$k\ge0$）的截痕是椭圆；与 $y=0$ 或 $x=0$ 的截痕是抛物线。
  • 当 $a=b$ 时，为旋转抛物面。

5.1.5 双曲抛物面

$$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}.$$

  • 关于 $yz$ 平面和 $zx$ 平面对称。
  • 形状像马鞍，故称马鞍面。
  • 与 $z=k$ 的截痕是双曲线（$k\ne0$）或两条相交直线（$k=0$）。
  • 是直纹曲面：有两族母线。

5.1.6 二次锥面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0.$$

  • 顶点在原点，关于三个坐标平面、三个坐标轴和原点都对称。
  • 与 $z=k$（$k\ne0$）的截痕是椭圆；与 $z=0$ 的截痕退化为原点。
  • 可看作单叶双曲面和双叶双曲面的“渐近锥面”。

5.1.7 二次柱面

  • 椭圆柱面： $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

  • 双曲柱面： $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$

  • 抛物柱面： $$y^2=2px.$$

  • 这些柱面的母线平行于 $z$ 轴。

常见二次曲面的形状

5.2 截痕法

用截痕法研究二次曲面的步骤：

  1. 求曲面与三个坐标平面的截痕。
  2. 求曲面与平行于坐标平面的平面 $x=k$、$y=k$、$z=k$ 的截痕。
  3. 根据截痕的形状和变化趋势判断曲面类型。
  4. 结合对称性画出曲面的大致形状。
  • 椭球面：三个方向的截痕都是椭圆。
  • 单叶双曲面：一个方向是椭圆，另外两个方向是双曲线。
  • 双叶双曲面：一个方向无截痕，另外两个方向是双曲线。
  • 椭圆抛物面：一个方向是椭圆，另外两个方向是抛物线。
  • 双曲抛物面：一个方向是双曲线，另外两个方向是抛物线。

5.3 直纹曲面

5.3.1 单叶双曲面的直母线

单叶双曲面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$ 可以分解为 $$\left(\frac xa+\frac zc\right)\left(\frac xa-\frac zc\right) =\left(1+\frac yb\right)\left(1-\frac yb\right).$$

两族直母线：

  • 第一族： $$\begin{cases} \dfrac xa+\dfrac zc=\lambda\left(1+\dfrac yb\right),\[6pt] \dfrac xa-\dfrac zc=\dfrac1\lambda\left(1-\dfrac yb\right), \end{cases}\quad\lambda\ne0.$$

  • 第二族： $$\begin{cases} \dfrac xa+\dfrac zc=\mu\left(1-\dfrac yb\right),\[6pt] \dfrac xa-\dfrac zc=\dfrac1\mu\left(1+\dfrac yb\right), \end{cases}\quad\mu\ne0.$$

  • 每一族中的每一条都是直线，整族直线铺满曲面。

  • 同族两条母线异面，异族两条母线相交。

5.3.2 双曲抛物面的直母线

双曲抛物面 $$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$$ 可以写成 $$z=\left(\frac xa+\frac yb\right)\left(\frac xa-\frac yb\right).$$

两族直母线：

  • 第一族： $$\begin{cases} \dfrac xa+\dfrac yb=\lambda,\[6pt] z=\lambda\left(\dfrac xa-\dfrac yb\right), \end{cases}\quad\lambda\in\mathbb{R}.$$

  • 第二族： $$\begin{cases} \dfrac xa-\dfrac yb=\mu,\[6pt] z=\mu\left(\dfrac xa+\dfrac yb\right), \end{cases}\quad\mu\in\mathbb{R}.$$

  • 每一族都是直线族，整族铺满曲面。

  • 双曲抛物面是双重直纹曲面。

5.4 二次曲面的切平面

5.4.1 一般二次曲面的切平面

设二次曲面 $$F(x,y,z)=0$$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处有连续偏导数，且 $\nabla F(P_0)\ne\boldsymbol0$，则切平面为 $$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0.$$

  • 法向量为 $\nabla F(P_0)$。
  • 法线为 $$\frac{x-x_0}{F_x(P_0)} =\frac{y-y_0}{F_y(P_0)} =\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}.$$

5.4.2 标准二次曲面的切平面

  • 椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处： $$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}+\frac{zz_0}{c^2}=1.$$
  • 单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处： $$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-\frac{zz_0}{c^2}=1.$$
  • 双叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处： $$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-\frac{zz_0}{c^2}=-1.$$
  • 椭圆抛物面 $z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处： $$z+z_0=2\left(\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}\right).$$
  • 双曲抛物面 $z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处： $$z+z_0=2\left(\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}\right).$$
  • 二次锥面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处： $$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-\frac{zz_0}{c^2}=0.$$

5.4.3 奇点

  • 若 $\nabla F(P_0)=\boldsymbol0$，则 $P_0$ 可能是奇点，切平面可能不存在或不唯一。
  • 二次锥面的顶点是奇点，过顶点的任意平面都可能与锥面相切（按极限意义）。
  • 判断切平面时，先检查梯度是否为零。

5.5 二次曲面的分类概述

  • 椭球面型：椭球面、虚椭球面、点椭球面。
  • 双曲面型：单叶双曲面、双叶双曲面、二次锥面。
  • 抛物面型：椭圆抛物面、双曲抛物面、抛物柱面。
  • 柱面型：椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面、一对相交平面、一对平行平面等。
  • 完整的分类可用二次曲面的不变量完成，见第 7 章。

5.6 常见题型

  1. 识别曲面：比较标准方程、配方、看截痕。
  2. 求截痕：令某个变量为常数，代入曲面方程。
  3. 求切平面：用梯度或标准公式，先验证点在曲面上。
  4. 判断直纹性：尝试把方程分解为两个一次因式的乘积，或写出两族直线。
  5. 求曲面方程：根据几何条件设方程，代入条件确定参数。

练习

  1. 识别曲面 $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+z^2=1.$$

  2. 识别曲面 $$x^2+y^2-z^2=1.$$

  3. 识别曲面 $$x^2+y^2-z^2=-1.$$

  4. 识别曲面 $$z=x^2+y^2.$$

  5. 识别曲面 $$z=x^2-y^2.$$

  6. 识别曲面 $$x^2+y^2=z^2.$$

  7. 求曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+z^2=1$ 与平面 $z=0$ 的截痕。

  8. 求曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ 与平面 $z=0$ 的截痕。

  9. 求椭球面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+z^2=1$ 在点 $(2,0,0)$ 处的切平面。

  10. 求旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切平面。

  11. 证明双曲抛物面 $z=x^2-y^2$ 是直纹曲面。

  12. 写出单叶双曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ 的一族直母线。

检测题

  1. 识别曲面 $$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}-\frac{z^2}{25}=1.$$

  2. 识别曲面 $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=z.$$

  3. 识别曲面 $$x^2-y^2=2z.$$

  4. 求曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+z^2=1$ 与平面 $x=0$ 的截痕。

  5. 求球面 $x^2+y^2+z^2=3$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面。

  6. 求单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}-z^2=1$ 的渐近锥面。

  7. 证明双曲抛物面是直纹曲面。

  8. 识别曲面 $$x^2+y^2=4.$$

  9. 求单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}-z^2=1$ 与平面 $y=0$ 的截痕。

  10. 求椭球面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+z^2=1$ 在点 $(0,3,0)$ 处的切平面。

参考答案与提示

  1. 椭球面，半轴分别为 $2,3,1$。
  2. 单叶双曲面，$z$ 轴为实轴方向。
  3. 双叶双曲面，两叶分别位于 $z\ge1$ 和 $z\le-1$。
  4. 椭圆抛物面（旋转抛物面），开口沿 $z$ 轴正方向。
  5. 双曲抛物面（马鞍面）。
  6. 二次锥面，顶点在原点，以 $z$ 轴为轴。
  7. 令 $z=0$： $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1,$$ 截痕为椭圆。
  8. 令 $z=0$： $$x^2+y^2=1,$$ 截痕为圆。
  9. 设 $$F=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+z^2-1.$$ 在 $(2,0,0)$ 处， $$F_x=1,\qquad F_y=0,\qquad F_z=0.$$ 切平面为 $$1\cdot(x-2)=0,$$ 即 $$x=2.$$
  10. 设 $F=x^2+y^2-z$。在 $(1,1,2)$ 处， $$F_x=2,\qquad F_y=2,\qquad F_z=-1.$$ 切平面为 $$2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0,$$ 即 $$z=2x+2y-2.$$
  11. 将方程写成 $$z=(x+y)(x-y).$$ 取直线族 $$\begin{cases} x+y=\lambda,\ z=\lambda(x-y), \end{cases}$$ 以及 $$\begin{cases} x-y=\mu,\ z=\mu(x+y). \end{cases}$$ 这两族直线都在曲面上，且铺满曲面，故为直纹曲面。
  12. 将方程写成 $$(x+z)(x-z)=(1+y)(1-y).$$ 取 $$\begin{cases} x+z=\lambda(1+y),\ x-z=\dfrac1\lambda(1-y), \end{cases}\quad\lambda\ne0.$$ 这是两平面的交线，因而是直线，且整族直线铺满曲面。

检测题参考答案

  1. 单叶双曲面，$z$ 轴为实轴方向。
  2. 椭圆抛物面，开口沿 $z$ 轴正方向。
  3. 双曲抛物面。
  4. 令 $x=0$： $$\frac{y^2}{9}+z^2=1,$$ 截痕为椭圆。
  5. 球心在原点，半径 $\sqrt3$。在 $(1,1,1)$ 处法向量为 $(1,1,1)$，切平面为 $$(x-1)+(y-1)+(z-1)=0,$$ 即 $$x+y+z=3.$$
  6. 把右端改为 $0$： $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-z^2=0.$$
  7. 同练习第 11 题。
  8. 圆柱面，母线平行于 $z$ 轴，半径 $2$。
  9. 令 $y=0$： $$\frac{x^2}{4}-z^2=1,$$ 截痕为双曲线。
  10. 在 $(0,3,0)$ 处，$F_y=\dfrac{2y}{9}=\dfrac23$，其余偏导数为 $0$，故切平面为 $$\frac23(y-3)=0,$$ 即 $$y=3.$$