第 9 章 射影几何初步

本章整理射影平面、齐次坐标、无穷远点与无穷远直线、射影变换、交比、对偶以及二次曲线的射影分类。射影几何把平行、无穷远等概念统一起来，是解析几何观点上的提升。

9.1 射影平面与齐次坐标

9.1.1 齐次坐标

平面上的点用三元有序数组 $$(x_1:x_2:x_3)$$ 表示，其中 $x_1,x_2,x_3$ 不全为零，且规定 $$(x_1:x_2:x_3)=(\lambda x_1:\lambda x_2:\lambda x_3)\quad(\lambda\ne0).$$ 这样的坐标称为齐次坐标。

  • 齐次坐标与普通坐标的关系：当 $x_3\ne0$ 时， $$\left(\frac{x_1}{x_3},\frac{x_2}{x_3}\right)$$ 是普通直角坐标。
  • 当 $x_3=0$ 时，$(x_1:x_2:0)$ 表示无穷远点，方向由 $(x_1,x_2)$ 决定。
  • 所有无穷远点构成无穷远直线： $$x_3=0.$$
  • 射影平面 = 普通平面 + 无穷远直线。

9.1.2 射影直线

射影平面中的直线由齐次线性方程 $$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$$ 给出，其中 $(a_1,a_2,a_3)\ne(0,0,0)$。

  • 直线也用齐次坐标 $(a_1:a_2:a_3)$ 表示。
  • 点 $(x_1:x_2:x_3)$ 在直线 $(a_1:a_2:a_3)$ 上当且仅当 $$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0.$$
  • 两点 $P,Q$ 确定的直线为 $$P\times Q.$$
  • 两直线 $l,m$ 的交点为 $$l\times m.$$

9.1.3 无穷远点与平行线

  • 普通平面内两条平行线在射影平面中相交于无穷远点。
  • 例如直线 $$x+y=1,\qquad x+y=2$$ 的齐次方程为 $$x+y-z=0,\qquad x+y-2z=0.$$ 联立得 $z=0$，$x+y=0$，交点为 $$(1:-1:0).$$
  • 所有斜率为 $-1$ 的平行线都经过这个无穷远点。
  • 无穷远直线的方程是 $z=0$。

射影平面中的无穷远点

9.2 射影变换

9.2.1 定义

射影平面上的变换 $$\begin{pmatrix}x_1'\x_2'\x_3'\end{pmatrix} \sim A\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix},$$ 其中 $A$ 是可逆 $3\times3$ 矩阵，称为射影变换。

  • 符号“$\sim$”表示相差一个非零常数倍。
  • 射影变换把点映为点，把直线映为直线。
  • 射影变换保持关联关系：点在直线上，像点在像直线上。
  • 射影变换保持交比。
  • 射影变换全体构成射影群 $PGL(3,\mathbb{R})$。

9.2.2 仿射变换作为射影变换

仿射变换 $$\begin{pmatrix}x'\y'\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1\ a_{21}&a_{22}&b_2\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\1\end{pmatrix}$$ 是保持无穷远直线 $z=0$ 不变的射影变换。

  • 仿射变换把无穷远点映为无穷远点。
  • 一般射影变换可能把无穷远点映为有限点，或把有限点映为无穷远点。
  • 仿射几何是射影几何的子几何。

9.2.3 射影变换的确定

  • 平面上任意四个点（其中任意三点不共线）可以唯一确定一个射影变换。
  • 因此，射影变换的自由度为 $8$（$3\times3$ 矩阵有 $9$ 个元素，去掉一个比例因子）。
  • 仿射变换的自由度为 $6$。

9.3 交比

9.3.1 共线四点的交比

设 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 是射影直线上四点，在某个仿射坐标下其坐标分别为 $t_1,t_2,t_3,t_4$，定义交比 $$(P_1,P_2;P_3,P_4) =\frac{(t_3-t_1)(t_4-t_2)}{(t_3-t_2)(t_4-t_1)}.$$

  • 交比与仿射坐标的选择无关，是射影不变量。
  • 交比在射影变换下保持不变。
  • 若 $P_4$ 是无穷远点，则交比可理解为极限： $$(P_1,P_2;P_3,\infty)=\frac{t_3-t_1}{t_3-t_2}.$$
  • 交比满足 $$(P_1,P_2;P_3,P_4)=(P_2,P_1;P_4,P_3).$$

9.3.2 调和比

  • 若 $$(P_1,P_2;P_3,P_4)=-1,$$ 则称 $P_3,P_4$ 调和分割 $P_1,P_2$。
  • 调和比在射影几何中描述对称性、极点和极线。

9.4 对偶

9.4.1 点线对偶

在射影平面中，点和直线具有对称地位：

  • 点 $(x_1:x_2:x_3)$ 与直线 $(a_1:a_2:a_3)$ 的关联条件为 $$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0.$$
  • 把点 $(a_1:a_2:a_3)$ 与直线 $(a_1:a_2:a_3)$ 互换，关联关系不变。
  • 因此，关于点和直线的每个定理，都有一个对偶定理。

9.4.2 对偶的例子

  • “两点确定一条直线”的对偶是“两直线确定一个点”。
  • “三点共线”的对偶是“三线共点”。
  • 二次曲线的切线的对偶是二次曲线的切线包络。

9.4.3 极点与极线

  • 对非退化二次曲线，点 $P$ 的极线是一条直线。
  • 点 $P$ 在二次曲线上时，极线就是切线。
  • 极点在曲线外时，极线是切点弦。
  • 极点与极线的关系是射影几何中的对偶关系。

9.5 二次曲线的射影理论

9.5.1 齐次方程

二次曲线在射影平面中由齐次二次方程 $$a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2 +2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3=0$$ 给出。

  • 矩阵形式： $$\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x=0,$$ 其中 $A$ 是对称 $3\times3$ 矩阵。
  • 非退化条件：$\det A\ne0$。

9.5.2 与无穷远直线的位置关系

  • 椭圆：与无穷远直线没有实交点。

  • 双曲线：与无穷远直线有两个实交点。

  • 抛物线：与无穷远直线相切（一个二重实交点）。

  • 这说明椭圆、双曲线、抛物线在仿射几何中不同，但在射影几何中可以互相转化。

  • 在复射影平面中，所有非退化二次曲线都射影等价。

  • 在实射影平面中，有实点的非退化二次曲线彼此射影等价；空二次曲线（如 $x^2+y^2+z^2=0$）是另一类。

9.5.3 切线与极线

  • 二次曲线 $F(x_1,x_2,x_3)=0$ 在点 $P$ 处的切线由极线公式给出。
  • 对 $x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$，在 $(x_{10}:x_{20}:x_{30})$ 处的切线为 $$x_1x_{10}+x_2x_{20}-x_3x_{30}=0.$$
  • 若 $P$ 在曲线外，极线与曲线的两个交点给出过 $P$ 的两条切线的切点。

9.5.4 二次曲线的射影分类

  • 非退化二次曲线：所有有实点的非退化二次曲线射影等价。
  • 退化二次曲线：
    • 两条相交直线；
    • 两条重合直线；
    • 一对共轭虚直线；
    • 一点（在实射影平面中可视为两条共轭虚直线的交点）。

9.6 射影几何与仿射几何、欧氏几何的关系

  • 欧氏几何：保持长度、角度。
  • 仿射几何：保持平行性、共线性、线段比。
  • 射影几何：保持关联性、交比。
  • 变换群越大，几何性质越少： $$\text{欧氏几何}\subset\text{仿射几何}\subset\text{射影几何}.$$
  • 解析几何主要在欧氏和仿射框架下讨论，射影几何提供了更统一的观点。

9.7 常见题型与方法

  1. 齐次坐标互化：$(x,y)\leftrightarrow(x:y:1)$；方向 $(u,v)\leftrightarrow(u:v:0)$。
  2. 求直线：两点叉乘；求交点：两直线叉乘。
  3. 判断无穷远点：看第三坐标是否为零。
  4. 射影变换：写成 $3\times3$ 可逆矩阵，按齐次坐标作用。
  5. 交比：选仿射坐标，代入公式。
  6. 二次曲线分类：看与无穷远直线的交点个数。
  7. 切线/极线：用齐次二次型的极线公式。

练习

  1. 写出点 $(2,3)$ 的齐次坐标，以及方向 $(1,2)$ 对应的无穷远点。

  2. 写出射影平面中无穷远直线的方程。

  3. 求过点 $P(1:0:1)$ 和 $Q(0:1:1)$ 的直线方程。

  4. 求平行直线 $x+y=1$ 与 $x+y=2$ 在射影平面中的交点。

  5. 求共线四点 $t=0,1,2,3$ 的交比 $(0,1;2,3)$。

  6. 设射影变换由矩阵 $$\operatorname{diag}(2,3,1)$$ 给出，求点 $(1:1:1)$ 的像。

  7. 判断二次曲线 $$x^2+y^2-z^2=0$$ 与无穷远直线的交点情况，并说明其仿射类型。

  8. 判断二次曲线 $$x^2-y^2-z^2=0$$ 与无穷远直线的交点情况。

  9. 判断二次曲线 $$y^2-2xz=0$$ 与无穷远直线的交点情况。

  10. 写出点 $(1:2:1)$ 的对偶直线。

  11. 说明在复射影平面中所有非退化二次曲线射影等价。

  12. 求二次曲线 $x^2+y^2-z^2=0$ 在点 $(1:0:1)$ 处的切线。

检测题

  1. 求直线 $x+2y=1$ 上的无穷远点。

  2. 求过 $(1:0:0)$ 和 $(0:1:0)$ 的直线。

  3. 求直线 $x+y+z=0$ 与 $x-y+z=0$ 的交点。

  4. 求交比 $(0,1;3,4)$。

  5. 设射影变换由矩阵 $$\operatorname{diag}(1,2,3)$$ 给出，求点 $(1:1:1)$ 的像。

  6. 判断二次曲线 $$x^2+y^2+z^2=0$$ 在实射影平面中是否有实点。

  7. 判断二次曲线 $$x^2-y^2=0$$ 的类型。

  8. 写出直线 $x+2y+3z=0$ 的对偶点。

  9. 求二次曲线 $x^2+y^2-z^2=0$ 在点 $(0:1:1)$ 处的切线。

  10. 说明所有有实点的非退化二次曲线在实射影平面中射影等价。

参考答案与提示

  1. 点 $(2,3)$ 的齐次坐标为 $$(2:3:1).$$ 方向 $(1,2)$ 对应的无穷远点为 $$(1:2:0).$$
  2. 无穷远直线为 $$z=0.$$
  3. 直线为两点叉乘： $$P\times Q= \begin{vmatrix} \boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\ 1&0&1\ 0&1&1 \end{vmatrix} =(-1,-1,1).$$ 故直线方程为 $$-x-y+z=0,$$ 即 $$x+y-z=0.$$
  4. 齐次方程： $$x+y-z=0,\qquad x+y-2z=0.$$ 相减得 $z=0$，再得 $x+y=0$。交点为 $$(1:-1:0).$$
  5. $$(0,1;2,3) =\frac{(2-0)(3-1)}{(2-1)(3-0)} =\frac{2\cdot2}{1\cdot3}=\frac43.$$
  6. $$(2:3:1)\cdot(1:1:1)=(2:3:1).$$
  7. 令 $z=0$： $$x^2+y^2=0,$$ 在实射影平面中只有 $x=y=0$，不构成点；在复射影平面中有两个共轭虚交点。故仿射类型为椭圆。
  8. 令 $z=0$： $$x^2-y^2=0,$$ 即 $x=\pm y$，有两个实交点。故仿射类型为双曲线。
  9. 令 $z=0$： $$y^2=0,$$ 得到一个二重实交点。故仿射类型为抛物线。
  10. 点 $(1:2:1)$ 的对偶直线为 $$x+2y+z=0.$$
  11. 任一非退化二次曲线都可通过射影变换化为 $$x^2+y^2-z^2=0,$$ 故在复射影平面中彼此射影等价。
  12. 极线公式： $$x\cdot1+y\cdot0-z\cdot1=0,$$ 即 $$x-z=0.$$

检测题参考答案

  1. 直线 $x+2y=1$ 的齐次方程为 $$x+2y-z=0.$$ 令 $z=0$，得 $x+2y=0$，故无穷远点为 $$(2:-1:0).$$
  2. 两点叉乘： $$(1:0:0)\times(0:1:0)=(0,0,1),$$ 故直线为 $$z=0.$$
  3. 两直线叉乘： $$(1,1,1)\times(1,-1,1)=(2,0,-2),$$ 交点为 $$(1:0:-1).$$
  4. $$(0,1;3,4) =\frac{(3-0)(4-1)}{(3-1)(4-0)} =\frac{3\cdot3}{2\cdot4}=\frac98.$$
  5. $$(1:2:3)\cdot(1:1:1)=(1:2:3).$$
  6. $$x^2+y^2+z^2=0$$ 在实射影平面中只有零解，故没有实点。
  7. $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0,$$ 故为两条相交直线 $$x=y,\qquad x=-y.$$
  8. 直线 $x+2y+3z=0$ 的对偶点为 $$(1:2:3).$$
  9. 极线公式： $$x\cdot0+y\cdot1-z\cdot1=0,$$ 即 $$y-z=0.$$
  10. 任一有实点的非退化二次曲线都可通过实射影变换化为 $$x^2+y^2-z^2=0,$$ 故彼此射影等价。