第 3 章 函数

本章把函数概念、函数性质、幂函数、指数函数、对数函数、函数与方程、函数模型合并为一条主线。函数是高中数学的核心对象，研究函数就是研究定义域、对应关系、值域以及图像和性质。

3.1 函数的概念与表示

3.1.1 函数的概念

设 $A,B$ 是非空实数集，如果对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，按照某种确定的对应关系 $f$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 与之对应，那么称 $f:A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数。

  • $x$ 叫自变量，$y$ 叫函数值，$A$ 叫定义域，函数值的集合叫值域。
  • 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
  • 定义域和对应关系分别相同，两个函数才表示同一个函数。
  • 值域是 $B$ 的子集，不一定是整个 $B$。

3.1.2 函数的表示方法

  • 解析法：用解析式表示函数关系，例如 $y=2x+1$。
  • 列表法：用表格表示自变量与函数值的对应关系。
  • 图像法：用图像表示函数关系。
  • 分段函数：在定义域的不同子区间上有不同解析式的函数。
    • 分段函数的定义域是各段定义域的并集；
    • 分段函数的值域是各段值域的并集；
    • 求分段函数的值时，要先判断自变量属于哪一段。

3.1.3 求定义域

求函数定义域时，常见限制条件：

  • 分式的分母不为 $0$；
  • 偶次根式的被开方数大于或等于 $0$；
  • 对数的真数大于 $0$，底数大于 $0$ 且不等于 $1$；
  • $0$ 次幂的底数不为 $0$；
  • 实际问题中自变量要符合实际意义；
  • 多个限制条件同时存在时，取交集。

3.1.4 复合函数

如果 $y=f(u)$，$u=g(x)$，那么 $y=f(g(x))$ 叫复合函数。

  • 复合函数的定义域：使内层函数 $g(x)$ 有意义，并且内层函数值 $u$ 使外层函数 $f(u)$ 有意义的 $x$ 的集合。
  • 求复合函数定义域时，要同时考虑内层和外层的限制条件。
  • 复合函数的单调性遵循“同增异减”：
    • 内外层单调性相同，复合函数为增函数；
    • 内外层单调性相反，复合函数为减函数。

3.1.5 函数图像的变换

  • 平移变换：
    • $y=f(x-a)$：图像向右平移 $a$ 个单位（$a>0$）；
    • $y=f(x+a)$：图像向左平移 $a$ 个单位（$a>0$）；
    • $y=f(x)+b$：图像向上平移 $b$ 个单位（$b>0$）；
    • $y=f(x)-b$：图像向下平移 $b$ 个单位（$b>0$）。
  • 伸缩变换：
    • $y=f(\omega x)$：横坐标变为原来的 $\frac{1}{|\omega|}$；
    • $y=Af(x)$：纵坐标变为原来的 $|A|$ 倍。
  • 对称变换：
    • $y=f(-x)$：图像关于 $y$ 轴对称；
    • $y=-f(x)$：图像关于 $x$ 轴对称；
    • $y=-f(-x)$：图像关于原点对称；
    • $y=f^{-1}(x)$：图像与原函数图像关于直线 $y=x$ 对称（限存在反函数的函数）。
  • 绝对值变换：
    • $y=|f(x)|$：把 $x$ 轴下方的图像翻折到 $x$ 轴上方；
    • $y=f(|x|)$：保留 $y$ 轴右侧图像，再把它对称到 $y$ 轴左侧。
  • 进行多次变换时，要注意变换的先后顺序；横向变换通常先提出系数再平移。

3.1.6 求函数值域的常用方法

  • 观察法：适用于简单的整式、根式、指数式等。
  • 配方法：适用于二次函数或可化为二次函数的函数。
  • 换元法：引入新变量，把问题转化为熟悉函数的值域问题，注意新变量的范围。
  • 分离常数法：适用于形如 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的函数。
  • 单调性法：利用函数在区间上的单调性求最值。
  • 基本不等式法：适用于和、积为定值的情形，注意“一正二定三相等”。
  • 判别式法：把函数式整理为关于 $x$ 的二次方程，利用判别式求值域。
  • 图像法：结合函数图像观察函数值的取值范围。

3.2 函数的单调性

3.2.1 单调性的定义

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，区间 $D\subseteq I$。如果对任意 $x_1,x_2\in D$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，那么称 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递增；如果都有 $f(x_1)>f(x_2)$，那么称 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递减。

  • 单调区间是定义域的子区间。
  • 单调性是一个区间上的性质，不能脱离区间谈单调性。
  • 函数的单调区间之间通常用“和”或逗号分隔，不能用并集符号连接。

3.2.2 判断和证明单调性

  1. 取值：在区间内任取 $x_1<x_2$。
  2. 作差：计算 $f(x_1)-f(x_2)$。
  3. 变形：因式分解、通分、配方、有理化等。
  4. 定号：判断差的符号。
  5. 结论：根据定义判断单调递增或递减。
  • 也可以用图像、已知函数的单调性、复合函数单调性规律来判断。
  • 常见函数的单调性：
    • 一次函数 $y=kx+b$：$k>0$ 时递增，$k<0$ 时递减；
    • 二次函数：在对称轴两侧单调性相反；
    • 指数函数：底数 $>1$ 时递增，$0<$底数$<1$ 时递减；
    • 对数函数：底数 $>1$ 时递增，$0<$底数$<1$ 时递减。

3.3 函数的奇偶性

3.3.1 奇偶性的定义

如果函数 $f(x)$ 的定义域关于原点对称，并且对定义域内任意 $x$，都有 $f(-x)=f(x)$，那么 $f(x)$ 是偶函数；如果都有 $f(-x)=-f(x)$，那么 $f(x)$ 是奇函数。

  • 判断奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称；如果定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数。
  • 偶函数的图像关于 $y$ 轴对称。
  • 奇函数的图像关于原点对称。
  • 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
  • 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。
  • 如果奇函数在 $x=0$ 处有定义，那么 $f(0)=0$。

3.3.2 判断奇偶性的步骤

  1. 求定义域，判断是否关于原点对称。
  2. 计算 $f(-x)$。
  3. 比较 $f(-x)$ 与 $f(x)$、$-f(x)$ 的关系。
  4. 得出结论。
  • 常见的奇函数：$y=x$，$y=x^3$，$y=\sin x$，$y=\tan x$。
  • 常见的偶函数：$y=x^2$，$y=|x|$，$y=\cos x$。

3.4 函数的周期性与对称性（拓展）

3.4.1 周期性

如果存在非零常数 $T$，使得对定义域内任意 $x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，那么 $f(x)$ 是周期函数，$T$ 是它的一个周期。

  • 最小正周期：如果所有正周期中存在最小的一个，这个最小的正周期叫最小正周期。
  • 常见的周期结论：
    • $f(x+a)=f(x)$，周期 $T=a$；
    • $f(x+a)=-f(x)$，周期 $T=2a$；
    • $f(x+a)=\frac{1}{f(x)}$，周期 $T=2a$；
    • $f(x+a)=-\frac{1}{f(x)}$，周期 $T=2a$。

3.4.2 对称性

  • 若 $f(a+x)=f(a-x)$，则 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。
  • 若 $f(a+x)+f(a-x)=2b$，则 $f(x)$ 的图像关于点 $(a,b)$ 中心对称。
  • 若 $f(x+a)$ 是偶函数，则 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。
  • 若 $f(x+a)$ 是奇函数，则 $f(x)$ 的图像关于点 $(a,0)$ 中心对称。

3.5 幂函数

3.5.1 幂函数的概念

形如 $y=x^\alpha$（$\alpha$ 为常数）的函数叫幂函数。

  • 幂函数的自变量在底数位置，指数是常数。
  • 常见的幂函数：$y=x$，$y=x^2$，$y=x^3$，$y=x^{\frac12}$，$y=x^{-1}$。

3.5.2 常见幂函数的图像与性质

函数 定义域 值域 奇偶性 单调性
$y=x$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ 奇 在 $\mathbb{R}$ 上增
$y=x^2$ $\mathbb{R}$ $[0,+\infty)$ 偶 在 $(-\infty,0]$ 上减，在 $[0,+\infty)$ 上增
$y=x^3$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ 奇 在 $\mathbb{R}$ 上增
$y=x^{\frac12}$ $[0,+\infty)$ $[0,+\infty)$ 非奇非偶 在 $[0,+\infty)$ 上增
$y=x^{-1}$ $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 奇 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别减
  • 幂函数的图像都经过点 $(1,1)$（当指数有意义时）。
  • 当 $\alpha>0$ 时，图像在第一象限内上升；当 $\alpha<0$ 时，图像在第一象限内下降。

3.5.3 对勾函数（拓展）

形如

$$ y=x+\frac{a}{x}\quad(a>0) $$

的函数叫对勾函数。

  • 定义域：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
  • 奇偶性：奇函数。
  • 单调性：在 $(-\infty,-\sqrt a)$ 和 $(\sqrt a,+\infty)$ 上单调递增；在 $(-\sqrt a,0)$ 和 $(0,\sqrt a)$ 上单调递减。
  • 值域：$(-\infty,-2\sqrt a]\cup[2\sqrt a,+\infty)$。
  • 当 $x>0$ 时，在 $x=\sqrt a$ 处取得最小值 $2\sqrt a$；当 $x<0$ 时，在 $x=-\sqrt a$ 处取得最大值 $-2\sqrt a$。
  • 对勾函数的图像有两支，分别位于第一、第三象限，形似“对勾”。

3.6 指数与指数函数

3.6.1 指数幂的运算

  • 根式：$\sqrt[n]{a^n}=a$（$n$ 为奇数）；$\sqrt[n]{a^n}=|a|$（$n$ 为偶数）。
  • 分数指数幂： $$ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\quad(a>0,\ m,n\in\mathbb{N}^*,\ n>1) $$ $$ a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\quad(a>0) $$
  • 指数运算律（$a>0,b>0$）： $$ a^m\cdot a^n=a^{m+n} $$ $$ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} $$ $$ (a^m)^n=a^{mn} $$ $$ (ab)^n=a^n b^n $$
  • $a^0=1$（$a\ne0$）。

3.6.2 指数函数

形如 $y=a^x$（$a>0$ 且 $a\ne1$）的函数叫指数函数。

  • 定义域：$\mathbb{R}$；值域：$(0,+\infty)$。
  • 图像恒过点 $(0,1)$。
  • 当 $a>1$ 时，函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；当 $0<a<1$ 时，函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。
  • 指数函数的图像都在 $x$ 轴上方，且以 $x$ 轴为渐近线。
  • 比较指数幂大小：
    • 同底数，利用指数函数的单调性；
    • 同指数，利用幂函数的单调性；
    • 底数和指数都不同，常引入中间量 $1$ 或 $0$ 比较。

指数函数与对数函数的图像

3.7 对数与对数函数

3.7.1 对数的概念

如果 $a^b=N$（$a>0$ 且 $a\ne1$，$N>0$），那么 $b$ 叫以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $\log_a N=b$。

  • 指数式与对数式的互化：$a^b=N\Leftrightarrow\log_a N=b$。
  • 常用对数：以 $10$ 为底的对数，记作 $\lg N$。
  • 自然对数：以 $\mathrm{e}$ 为底的对数，记作 $\ln N$。
  • 基本性质： $$ \log_a1=0,\qquad \log_a a=1 $$ $$ a^{\log_a N}=N $$ $$ \log_a a^b=b $$

3.7.2 对数的运算

  • 积的对数： $$ \log_a(MN)=\log_a M+\log_a N\quad(M,N>0) $$
  • 商的对数： $$ \log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N\quad(M,N>0) $$
  • 幂的对数： $$ \log_a M^n=n\log_a M\quad(M>0) $$
  • 换底公式： $$ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\quad(a,c>0,\ a,c\ne1,\ b>0) $$
  • 常用推论： $$ \log_a b\cdot\log_b a=1 $$ $$ \log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\log_a b $$

3.7.3 对数函数

形如 $y=\log_a x$（$a>0$ 且 $a\ne1$）的函数叫对数函数。

  • 定义域：$(0,+\infty)$；值域：$\mathbb{R}$。
  • 图像恒过点 $(1,0)$。
  • 当 $a>1$ 时，函数在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；当 $0<a<1$ 时，函数在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。
  • 对数函数与同底的指数函数互为反函数，图像关于直线 $y=x$ 对称。
  • 比较对数大小：
    • 同底数，利用对数函数的单调性；
    • 同真数，利用换底公式或图像；
    • 底数和真数都不同，常引入中间量 $0$ 或 $1$。

3.8 函数与方程

3.8.1 函数的零点

对于函数 $y=f(x)$，使 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 叫函数的零点。

  • 函数的零点不是点，而是一个实数。
  • 函数 $f(x)$ 的零点就是方程 $f(x)=0$ 的根，也是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐标。
  • 求函数零点的方法：解方程、图像法、零点存在定理。

3.8.2 零点存在定理

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的图像是连续不断的一条曲线，并且 $f(a)f(b)<0$，那么函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内至少存在一个零点。

  • 零点存在定理只能判断“至少存在”，不能确定零点的个数。
  • 如果函数在区间上单调，并且满足 $f(a)f(b)<0$，那么在该区间内存在唯一的零点。
  • 二分法：通过不断缩小零点所在区间，求零点的近似值。
    • 适用于连续函数；
    • 每次取区间中点，判断零点在左半区间还是右半区间；
    • 直到区间长度小于给定精度。

3.9 函数模型

  • 一次函数模型：均匀变化，增长率为常数。
  • 二次函数模型：面积、利润等最值问题。
  • 指数函数模型：增长率与当前数量成正比，例如复利、人口增长。
  • 对数函数模型：增长逐渐变缓，例如某些测量问题。
  • 幂函数模型：增长与某个幂次有关。
  • 函数增长差异：当 $x$ 足够大时，指数增长快于幂增长，幂增长快于对数增长。
  • 建立函数模型的一般步骤：审题、设变量、列关系式、确定定义域、求解、检验。

练习

  1. 求下列函数的定义域。 （1）$f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$ （2）$f(x)=\ln(x+1)+\frac{1}{x-3}$ （3）$f(x)=\sqrt{4-x^2}$

  2. 已知 $f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\x^2,&x\ge0\end{cases}$，求 $f(-2)$、$f(0)$、$f(3)$。

  3. 判断下列函数的奇偶性。 （1）$f(x)=x^3+x$ （2）$f(x)=x^2+1$ （3）$f(x)=x+\frac{1}{x}$

  4. 用定义证明：函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上单调递减。

  5. 已知幂函数 $f(x)=x^\alpha$ 的图像经过点 $(2,8)$，求 $\alpha$ 和 $f(3)$。

  6. 计算。 （1）$2^0+2^{-2}$ （2）$8^{\frac23}$ （3）$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$

  7. 计算。 （1）$\log_2 8$ （2）$\log_3\frac{1}{9}$ （3）$\lg100$ （4）$\ln\mathrm{e}^2$ （5）$\log_2 3\cdot\log_3 4$

  8. 比较下列各组数的大小。 （1）$2^{0.3}$ 与 $2^{0.5}$ （2）$0.8^{-0.1}$ 与 $0.8^{-0.2}$ （3）$\log_2 3$ 与 $\log_2 5$ （4）$\log_{0.5}3$ 与 $\log_{0.5}5$

  9. 求下列函数的零点。 （1）$f(x)=x^2-2x-3$ （2）$f(x)=2^x-4$ （3）$f(x)=\ln x-1$

  10. 证明函数 $f(x)=x^3+x-1$ 在区间 $(0,1)$ 内存在零点。

  11. 某商品原价为 $100$ 元，连续两次提价，每次提价的百分率相同，现价为 $121$ 元。求每次提价的百分率。

  12. 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。解不等式 $f(2x-1)+f(x)>0$。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）函数 $y=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上是偶函数。 （2）函数 $y=\frac{1}{x}$ 在定义域上是减函数。 （3）若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(0)=0$。 （4）指数函数 $y=a^x$ 的值域是 $(0,+\infty)$。

  2. 求函数 $f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ 的定义域。

  3. 判断函数 $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ 的奇偶性，并说明理由。

  4. 计算。 （1）$\log_2\frac{1}{8}$ （2）$\lg2+\lg5$ （3）$\log_4 8$ （4）$27^{\frac13}+\log_3 9$

  5. 比较大小。 （1）$1.7^{0.3}$ 与 $1.7^{0.5}$ （2）$0.9^{-1}$ 与 $0.9^{-2}$ （3）$\log_3 2$ 与 $\log_3 4$ （4）$\log_{0.7}3$ 与 $\log_{0.7}5$

  6. 已知函数 $f(x)=x^2-4x+3$。 （1）求函数的零点。 （2）求函数在区间 $[0,3]$ 上的最值。

  7. 某工厂今年的产量为 $a$，计划以后每年的产量比上一年增长 $10%$。写出 $x$ 年后的产量 $y$ 与 $x$ 的函数关系式。

  8. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 求函数 $f(x)=\ln(x-1)$ 的定义域。 解：因为 $x-1>0$，所以 $x>1$，定义域为 $(1,+\infty)$。

  9. 写出满足下列条件的函数各一个。 （1）一个定义域为 $\mathbb{R}$ 的奇函数。 （2）一个在 $(0,+\infty)$ 上单调递减的指数函数。 （3）一个在 $\mathbb{R}$ 上单调递增的一次函数。

  10. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$。 （1）判断函数的奇偶性。 （2）判断函数在 $\mathbb{R}$ 上的单调性，并说明理由。

参考答案与提示

  1. （1）$x\ge1$ 且 $x\ne2$，定义域 $[1,2)\cup(2,+\infty)$；（2）$x>-1$ 且 $x\ne3$，定义域 $(-1,3)\cup(3,+\infty)$；（3）$4-x^2\ge0$，定义域 $[-2,2]$。
  2. $f(-2)=-2+1=-1$；$f(0)=0$；$f(3)=9$。
  3. （1）奇函数，定义域 $\mathbb{R}$，$f(-x)=-x^3-x=-f(x)$；（2）偶函数，定义域 $\mathbb{R}$，$f(-x)=x^2+1=f(x)$；（3）奇函数，定义域 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，$f(-x)=-x-\frac{1}{x}=-f(x)$。
  4. 设 $0<x_1<x_2<1$，则 $f(x_1)-f(x_2)=x_1+\frac{1}{x_1}-x_2-\frac{1}{x_2}=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)$。因为 $x_1-x_2<0$，且 $0<x_1x_2<1$，所以 $1-\frac{1}{x_1x_2}<0$，从而 $f(x_1)-f(x_2)>0$，即 $f(x_1)>f(x_2)$，所以函数在 $(0,1)$ 上单调递减。
  5. $2^\alpha=8$，$\alpha=3$，所以 $f(x)=x^3$，$f(3)=27$。
  6. （1）$1+\frac14=\frac54$；（2）$8^{\frac23}=(\sqrt[3]{8})^2=4$；（3）$2^2=4$。
  7. （1）$3$；（2）$-2$；（3）$2$；（4）$2$；（5）$\log_2 3\cdot\log_3 4=\log_2 4=2$。
  8. （1）$2^{0.3}<2^{0.5}$；（2）因为 $y=0.8^x$ 递减，$-0.1>-0.2$，所以 $0.8^{-0.1}<0.8^{-0.2}$；（3）$\log_2 3<\log_2 5$；（4）因为 $y=\log_{0.5}x$ 递减，所以 $\log_{0.5}3>\log_{0.5}5$。
  9. （1）$x=-1,3$；（2）$x=2$；（3）$x=\mathrm{e}$。
  10. $f(0)=-1<0$，$f(1)=1>0$，且 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，由零点存在定理，存在 $c\in(0,1)$ 使 $f(c)=0$。
  11. 设每次提价的百分率为 $x$，$100(1+x)^2=121$，$(1+x)^2=1.21$，$1+x=1.1$（负值舍去），$x=0.1=10%$。
  12. $f(2x-1)+f(x)>0$，即 $f(2x-1)>-f(x)=f(-x)$。因为 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，所以 $2x-1>-x$，解得 $x>\frac13$。

检测题参考答案

  1. （1）正确，$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，定义域 $\mathbb{R}$ 关于原点对称；（2）错误，$y=\frac1x$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别递减，但在整个定义域上不是减函数；（3）错误，奇函数在 $x=0$ 处有定义时才有 $f(0)=0$；若定义域不含 $0$，则不能推出；（4）正确，指数函数 $y=a^x$（$a>0,a\ne1$）的值域为 $(0,+\infty)$。
  2. $x+2\ge0$ 且 $x\ne1$，定义域 $[-2,1)\cup(1,+\infty)$。
  3. 定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称；$f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+1}=-\frac{x}{x^2+1}=-f(x)$，所以是奇函数。
  4. （1）$-3$；（2）$\lg(2\times5)=\lg10=1$；（3）$\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac32$；（4）$27^{\frac13}=3$，$\log_3 9=2$，和为 $5$。
  5. （1）$1.7^{0.3}<1.7^{0.5}$；（2）因为 $y=0.9^x$ 递减，$-1>-2$，所以 $0.9^{-1}<0.9^{-2}$；（3）$\log_3 2<\log_3 4$；（4）因为 $y=\log_{0.7}x$ 递减，所以 $\log_{0.7}3>\log_{0.7}5$。
  6. （1）$f(x)=(x-1)(x-3)$，零点为 $1,3$；（2）$f(x)=(x-2)^2-1$，在 $[0,3]$ 上最小值为 $-1$（$x=2$），最大值为 $3$（$x=0$）。
  7. $y=a(1+10%)^x=a\cdot1.1^x$（$x\in\mathbb{N}$）。
  8. 正确。对数真数大于 $0$，所以 $x-1>0$，定义域为 $(1,+\infty)$。
  9. 示例：（1）$y=x^3$；（2）$y=0.5^x$；（3）$y=x+1$。
  10. （1）定义域为 $\mathbb{R}$，$f(-x)=\frac{1}{2^{-x}+1}=\frac{2^x}{1+2^x}=1-\frac{1}{2^x+1}$，所以 $f(-x)+f(x)=1$，函数既不是奇函数也不是偶函数。（2）因为 $2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，$2^x+1$ 递增，所以 $\frac{1}{2^x+1}$ 递减，即 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。