第 9 章直线与圆

本章把直线的方程、两直线的位置关系、距离公式、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系合并在一起。解析几何的基本思想是“用坐标表示图形，用方程研究位置关系”。

9.1 直线的倾斜角与斜率

9.1.1 倾斜角

当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，取 $x$ 轴作为基准，$x$ 轴正向与直线 $l$ 向上的方向之间所成的角 $\alpha$ 叫直线 $l$ 的倾斜角。当直线与 $x$ 轴平行或重合时，规定倾斜角为 $0^\circ$。

倾斜角的范围是 $[0^\circ,180^\circ)$。
倾斜角为 $90^\circ$ 时，直线垂直于 $x$ 轴，此时直线没有斜率。

9.1.2 斜率

一条直线的倾斜角 $\alpha$ 的正切值叫这条直线的斜率，记作 $k=\tan\alpha$（$\alpha\ne90^\circ$）。

经过两点 $P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$（$x_1\ne x_2$）的直线的斜率： $$ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$
当 $x_1=x_2$ 时，直线垂直于 $x$ 轴，斜率不存在。
当 $k>0$ 时，倾斜角为锐角；当 $k<0$ 时，倾斜角为钝角；当 $k=0$ 时，倾斜角为 $0^\circ$。
斜率越大，直线越“陡”；斜率的正负反映直线的方向。

9.1.3 两条直线的平行与垂直

两条不重合的直线，如果斜率都存在，那么：
- 平行：$k_1=k_2$；
- 垂直：$k_1k_2=-1$。
如果两条直线中有一条斜率不存在，另一条斜率为 $0$，那么它们垂直。
如果两条直线都垂直于 $x$ 轴，那么它们平行（或重合）。
用一般式判断：
- 平行：$A_1B_2-A_2B_1=0$；
- 垂直：$A_1A_2+B_1B_2=0$。

9.2 直线的方程

9.2.1 直线方程的五种形式

点斜式：$y-y_0=k(x-x_0)$，适用于斜率存在的直线。
斜截式：$y=kx+b$，适用于斜率存在的直线，$b$ 是纵截距。
两点式：$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$，适用于 $x_1\ne x_2$ 且 $y_1\ne y_2$ 的直线。
截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，适用于不过原点且不与坐标轴垂直的直线，$a,b$ 分别是横、纵截距。
一般式：$Ax+By+C=0$（$A,B$ 不同时为 $0$），适用于所有直线。
点斜式、斜截式不能表示斜率不存在的直线；两点式不能表示与坐标轴垂直的直线；截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线。
使用直线方程时，要注意其适用条件，避免漏解。

9.2.2 直线的交点

两条直线的交点坐标，就是由它们的方程组成的方程组的解。
若方程组有唯一解，两直线相交；若方程组无解，两直线平行；若方程组有无穷多解，两直线重合。

9.3 距离公式

9.3.1 两点间的距离

$$ |P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$

9.3.2 点到直线的距离

点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离：

$$ d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

使用点到直线距离公式时，直线必须写成一般式。
如果直线方程不是一般式，要先化为一般式。

9.3.3 两条平行直线间的距离

两条平行直线 $Ax+By+C_1=0$ 与 $Ax+By+C_2=0$ 之间的距离：

$$ d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

使用公式前，要保证两条直线的 $A,B$ 系数分别相同。
如果系数不同，可以先化为相同系数。

9.4 圆的方程

9.4.1 圆的标准方程

以点 $C(a,b)$ 为圆心、$r$ 为半径的圆的标准方程是：

$$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $$

圆心为 $(a,b)$，半径为 $r$。
当圆心在原点时，方程为 $x^2+y^2=r^2$。

9.4.2 圆的一般方程

$$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $$

当 $D^2+E^2-4F>0$ 时，方程表示圆：
- 圆心：$\left(-\frac D2,-\frac E2\right)$；
- 半径：$r=\frac12\sqrt{D^2+E^2-4F}$。
当 $D^2+E^2-4F=0$ 时，方程表示一个点。
当 $D^2+E^2-4F<0$ 时，方程不表示任何图形。
圆的一般方程中，$x^2$ 与 $y^2$ 的系数必须相同，且没有 $xy$ 项。

9.4.3 点与圆的位置关系

设点 $P(x_0,y_0)$ 到圆心 $C(a,b)$ 的距离为 $d$，圆半径为 $r$：

$d<r$：点在圆内；
$d=r$：点在圆上；
$d>r$：点在圆外。

9.5 直线与圆的位置关系

9.5.1 位置关系的判断

设圆心到直线的距离为 $d$，圆半径为 $r$：

$d<r$：直线与圆相交，有两个公共点；
$d=r$：直线与圆相切，有一个公共点；
$d>r$：直线与圆相离，没有公共点。
也可以联立直线与圆的方程，用判别式判断。
几何法（比较 $d$ 与 $r$）通常比代数法更简便。

9.5.2 弦长公式

直线与圆相交时，弦长： $$ |AB|=2\sqrt{r^2-d^2} $$ 其中 $d$ 是圆心到直线的距离。
也可以用弦长公式： $$ |AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2| $$ 其中 $k$ 是直线斜率，$x_1,x_2$ 是交点的横坐标。

9.5.3 圆的切线

过圆上一点 $P(x_0,y_0)$ 的圆的切线：
- 对于圆 $x^2+y^2=r^2$，切线方程为 $x_0x+y_0y=r^2$；
- 对于圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，切线方程为 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$。
过圆外一点作圆的切线，通常有两条；可以用圆心到直线的距离等于半径求切线斜率。
切线垂直于过切点的半径。

9.5.4 圆与圆的位置关系

设两圆半径分别为 $R,r$（$R\ge r$），圆心距为 $d$：

$d>R+r$：外离；
$d=R+r$：外切；
$|R-r|<d<R+r$：相交；
$d=|R-r|$：内切；
$d<|R-r|$：内含。
两圆相交时，公共弦所在直线可以由两圆方程相减得到。
两圆相交时，公共弦长可以用弦长公式求。

9.6 直线与圆的综合问题

对称问题：点关于直线对称、直线关于点对称、圆关于直线对称。
最值问题：圆上一点到定点/定直线的距离最值，通常转化为圆心到定点/定直线的距离加减半径。
轨迹问题：求动点轨迹方程，常用直接法、定义法、代入法。
定点、定值问题：通过设参数、联立方程，证明结果与参数无关。
数形结合：把代数条件转化为几何图形，利用圆的性质简化计算。

练习

求经过 $A(1,2)$、$B(3,6)$ 的直线的斜率和倾斜角。
求满足下列条件的直线方程。（1）经过点 $(1,2)$，斜率为 $-3$。（2）经过点 $(2,0)$ 和 $(0,3)$。（3）在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别为 $2$ 和 $-3$。
已知直线 $l:2x+3y+1=0$。（1）求过点 $(1,1)$ 且与 $l$ 平行的直线方程。（2）求过点 $(1,1)$ 且与 $l$ 垂直的直线方程。
求点 $P(1,1)$ 到直线 $3x+4y-2=0$ 的距离。
求两条平行直线 $3x+4y-1=0$ 与 $3x+4y+5=0$ 之间的距离。
求以 $(1,-2)$ 为圆心、$3$ 为半径的圆的标准方程和一般方程。
判断直线 $3x+4y-25=0$ 与圆 $x^2+y^2=25$ 的位置关系。
求圆 $x^2+y^2=25$ 在点 $(3,4)$ 处的切线方程。
求直线 $y=x+1$ 被圆 $x^2+y^2=25$ 截得的弦长。
判断圆 $x^2+y^2=25$ 与圆 $(x-3)^2+y^2=16$ 的位置关系。
求点 $P(2,3)$ 关于直线 $x+y-1=0$ 对称的点的坐标。
已知圆 $C:x^2+y^2-4x+2y-4=0$，求圆心和半径，并判断点 $A(1,1)$ 与圆的位置关系。

检测题

判断下面各题，并说明理由。（1）任何直线都有斜率。（2）若两条直线的斜率相等，则它们平行。（3）直线 $x=1$ 的倾斜角是 $90^\circ$。（4）方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 一定表示圆。
求经过点 $A(-1,2)$、$B(3,-2)$ 的直线方程。
已知直线 $l_1:3x+4y-1=0$，$l_2:6x+8y+3=0$，判断两直线的位置关系。
求点 $P(2,-1)$ 到直线 $x-2y+3=0$ 的距离。
求圆 $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ 的圆心和半径。
已知直线 $y=2x+b$ 与圆 $x^2+y^2=5$ 相切，求 $b$ 的值。
求圆 $x^2+y^2=4$ 与圆 $(x-3)^2+y^2=1$ 的位置关系。
下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。求过点 $(1,2)$ 且与直线 $x=1$ 垂直的直线方程。解：因为直线 $x=1$ 的斜率为 $0$，所以所求直线的斜率不存在，方程为 $x=1$。
写出满足下列条件的直线或圆各一个。（1）一条斜率为 $2$ 且经过原点的直线。（2）一个圆心在 $y$ 轴上且半径为 $3$ 的圆。（3）一条与圆 $x^2+y^2=1$ 相切的直线。
已知圆 $C:x^2+y^2-2x-4y+1=0$。（1）求圆心和半径。（2）求过点 $P(3,2)$ 的圆的切线方程。

参考答案与提示

$k=\frac{6-2}{3-1}=2$，倾斜角为 $\arctan2$。
（1）$y-2=-3(x-1)$，即 $3x+y-5=0$；（2）$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$，即 $3x+2y-6=0$；（3）$\frac{x}{2}+\frac{y}{-3}=1$，即 $3x-2y-6=0$。
（1）设 $2x+3y+C=0$，代入 $(1,1)$ 得 $C=-5$，所以 $2x+3y-5=0$；（2）设 $3x-2y+C=0$，代入 $(1,1)$ 得 $C=-1$，所以 $3x-2y-1=0$。
$d=\frac{|3+4-2|}{\sqrt{9+16}}=\frac55=1$。
$d=\frac{|-1-5|}{\sqrt{9+16}}=\frac65$。
标准方程 $(x-1)^2+(y+2)^2=9$；一般方程 $x^2+y^2-2x+4y-4=0$。
圆心到直线的距离 $d=\frac{|-25|}{5}=5=r$，所以直线与圆相切。
切线方程为 $3x+4y=25$。
圆心到直线的距离 $d=\frac{|1|}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$，弦长 $=2\sqrt{25-\frac12}=2\sqrt{\frac{49}{2}}=7\sqrt2$。
两圆圆心距 $d=3$，半径分别为 $5$ 和 $4$，$|5-4|<3<5+4$，所以两圆相交。
设对称点为 $(x,y)$，则中点在直线上，且连线与直线垂直，解得 $(x,y)=(-2,-1)$。
圆方程化为 $(x-2)^2+(y+1)^2=9$，圆心 $(2,-1)$，半径 $3$。点 $A(1,1)$ 到圆心距离 $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5<3$，所以点在圆内。

检测题参考答案

（1）错误，垂直于 $x$ 轴的直线没有斜率；（2）错误，斜率相等还可能重合；（3）正确，直线 $x=1$ 垂直于 $x$ 轴，倾斜角为 $90^\circ$；（4）错误，只有当 $D^2+E^2-4F>0$ 时才表示圆。
$k=\frac{-2-2}{3-(-1)}=-1$，方程为 $y-2=-(x+1)$，即 $x+y-1=0$。
$l_1$ 的系数乘 $2$ 得 $6x+8y-2=0$，与 $l_2$ 的常数项不同，所以两直线平行。
$d=\frac{|2+2+3|}{\sqrt{1+4}}=\frac{7}{\sqrt5}=\frac{7\sqrt5}{5}$。
化为 $(x-3)^2+(y+2)^2=25$，圆心 $(3,-2)$，半径 $5$。
圆心到直线 $2x-y+b=0$ 的距离等于 $\sqrt5$：$\frac{|b|}{\sqrt5}=\sqrt5$，所以 $b=\pm5$。
两圆圆心距 $d=3$，半径分别为 $2$ 和 $1$，$d=2+1$，所以两圆外切。
不正确。直线 $x=1$ 的斜率不存在，不是 $0$；与它垂直的直线是水平线，斜率为 $0$，方程为 $y=2$。
示例：（1）$y=2x$；（2）$x^2+(y-1)^2=9$；（3）$x=1$（或 $y=1$ 等）。
（1）圆方程化为 $(x-1)^2+(y-2)^2=4$，圆心 $(1,2)$，半径 $2$。（2）点 $P(3,2)$ 在圆上，切线方程为 $(3-1)(x-1)+(2-2)(y-2)=4$，即 $2(x-1)=4$，$x=3$。

第09章-直线与圆

第 9 章 直线与圆