第 2 章不等式

本章把不等式性质、一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、基本不等式以及恒成立问题合并在一起。解不等式的核心是等价转化，使用基本不等式的核心是“一正二定三相等”。

2.1 不等式的性质

2.1.1 比较大小

作差法：$a-b>0\Leftrightarrow a>b$；$a-b=0\Leftrightarrow a=b$；$a-b<0\Leftrightarrow a<b$。
作商法：当 $a>0,b>0$ 时，$\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b$；$\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b$；$\frac{a}{b}<1\Leftrightarrow a<b$。
比较两个代数式的大小，通常先作差，再因式分解或配方，判断差的符号。

2.1.2 不等式的基本性质

对称性：$a>b\Leftrightarrow b<a$。
传递性：$a>b,b>c\Rightarrow a>c$。
可加性：$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$。
可乘性：$a>b,c>0\Rightarrow ac>bc$；$a>b,c<0\Rightarrow ac<bc$。
同向可加性：$a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$。
同向同正可乘性：$a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$。
可乘方性：$a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$（$n$ 为正整数）。
可开方性：$a>b>0\Rightarrow\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$（$n$ 为正整数）。
倒数性质：$a>b>0\Rightarrow\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$；$a<0<b\Rightarrow\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。

注意：

不等式两边同乘（或同除以）一个负数时，不等号方向要改变。
同向不等式可以相加，但不能直接相减；同向同正不等式可以相乘，但不能直接相除。
使用不等式性质时，要注意字母的符号和取值范围。

2.2 一元二次不等式

2.2.1 一元二次不等式的解法

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 $2$ 的不等式，叫一元二次不等式。

解一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0$（或 $<0$，$a\neq0$）的一般步骤：

将二次项系数化为正数。
求对应方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根；如果不易求根，可以计算判别式 $\Delta=b^2-4ac$。
画出对应二次函数的图像，结合图像写出解集。
注意端点是否包含：$>0$ 或 $<0$ 不包含端点，$\ge0$ 或 $\le0$ 包含端点。

二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系：

设 $a>0$，$\Delta=b^2-4ac$：

$\Delta>0$：方程有两个不等实根 $x_1<x_2$；
- $ax^2+bx+c>0$ 的解集为 $(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$；
- $ax^2+bx+c<0$ 的解集为 $(x_1,x_2)$。
$\Delta=0$：方程有两个相等实根 $x_0$；
- $ax^2+bx+c>0$ 的解集为 ${x\mid x\ne x_0}$；
- $ax^2+bx+c<0$ 的解集为 $\varnothing$。
$\Delta<0$：方程没有实根；
- $ax^2+bx+c>0$ 的解集为 $\mathbb{R}$；
- $ax^2+bx+c<0$ 的解集为 $\varnothing$。
当 $a<0$ 时，可以先把不等式两边乘 $-1$，把二次项系数化为正数，同时改变不等号方向。

2.2.2 含参一元二次不等式

含参一元二次不等式通常需要分类讨论：
- 讨论二次项系数是否为零；
- 讨论判别式的符号；
- 讨论两根的大小关系。
分类讨论要做到不重不漏，最后把各种情况的解集合并或分别说明。
若二次项系数含参数，必须先讨论它等于 $0$ 和不为 $0$ 的情况。

2.2.3 一元二次不等式恒成立问题

对于 $ax^2+bx+c>0$：

当 $a>0$ 时，恒成立的条件是 $\Delta<0$；
当 $a=0$ 时，不等式化为 $bx+c>0$，需要单独讨论；
当 $a<0$ 时，不可能在 $\mathbb{R}$ 上恒成立。

对于 $ax^2+bx+c\ge0$：

当 $a>0$ 时，恒成立的条件是 $\Delta\le0$；
当 $a=0$ 时，需要单独讨论。
在给定区间上恒成立，通常转化为函数在区间上的最值问题，或分离参数。

2.3 分式不等式

2.3.1 简单分式不等式

$\frac{f(x)}{g(x)}>0\Leftrightarrow f(x)g(x)>0$。
$\frac{f(x)}{g(x)}<0\Leftrightarrow f(x)g(x)<0$。
$\frac{f(x)}{g(x)}\ge0\Leftrightarrow f(x)g(x)\ge0$ 且 $g(x)\ne0$。
$\frac{f(x)}{g(x)}\le0\Leftrightarrow f(x)g(x)\le0$ 且 $g(x)\ne0$。
解分式不等式时，不能直接去分母，因为分母的符号不确定。
必须先保证分母不为 $0$，再转化为整式不等式。
解集要用区间或集合表示，注意端点取舍。

2.3.2 高次不等式（拓展）

高次不等式可以用“穿根法”：
1. 将不等式化为一边为 $0$，另一边因式分解；
2. 求出各因式的根，并在数轴上标出；
3. 从最右端开始，按“奇穿偶不穿”的规则画曲线；
4. 根据曲线在数轴上方的部分写解集。
“奇穿偶不穿”是指因式中含有的因子的指数为奇数时穿过数轴，为偶数时不穿过。

2.4 绝对值不等式

2.4.1 基本绝对值不等式

$|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a$（$a>0$）。
$|x|>a\Leftrightarrow x<-a$ 或 $x>a$（$a>0$）。
$|x|\le a\Leftrightarrow -a\le x\le a$（$a\ge0$）。
$|x|\ge a\Leftrightarrow x\le -a$ 或 $x\ge a$（$a\ge0$）。
$|ax+b|<c\Leftrightarrow -c<ax+b<c$（$c>0$）。
$|ax+b|>c\Leftrightarrow ax+b<-c$ 或 $ax+b>c$（$c>0$）。

2.4.2 绝对值不等式的解法

几何意义：$|x-a|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $a$ 的距离。
零点分段法：找出绝对值内式子为 $0$ 的点，把数轴分成若干段，逐段去掉绝对值符号。
平方法：当不等式两边都非负时，可以平方去掉绝对值。
三角不等式：

$$ |a+b|\le|a|+|b| $$

$$ ||a|-|b||\le|a-b| $$

绝对值不等式常用于求取值范围、证明不等式。

2.5 基本不等式

2.5.1 基本不等式

对于任意正数 $a,b$，有：

$$ \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab} $$

当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。

也可以写成：

$$ a+b\ge2\sqrt{ab} $$

$$ ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 $$

基本不等式的重要变形：

$$ a^2+b^2\ge2ab $$

$$ \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\quad(a,b>0) $$

$$ a+\frac{1}{a}\ge2\quad(a>0) $$

2.5.2 使用条件

使用基本不等式求最值时，要满足“一正二定三相等”：

一正：各项必须为正数；
二定：和或积为定值；
三相等：等号能够成立。

如果等号不能成立，基本不等式只能给出一个界，不能直接得到最值。
使用基本不等式时，要注意检验等号成立的条件。
常见的求最值类型：
- 积定和最小：$ab$ 为定值时，$a+b$ 有最小值；
- 和定积最大：$a+b$ 为定值时，$ab$ 有最大值。

2.5.3 常用技巧

配凑：通过加减常数、拆项，使和或积为定值。
分离常数：把分式化为整式与分式之和。
“$1$”的代换：利用已知条件中的 $1$，把所求式子乘以 $1$，再展开使用基本不等式。
换元：引入新变量，使式子更简单。
注意等号成立的条件，检验是否符合题意。

2.6 不等式的应用

2.6.1 恒成立问题

若 $f(x)>m$ 对任意 $x\in D$ 恒成立，则 $m<f(x)_{\min}$。
若 $f(x)<m$ 对任意 $x\in D$ 恒成立，则 $m>f(x)_{\max}$。
若 $f(x)\ge m$ 恒成立，则 $m\le f(x)_{\min}$。
若 $f(x)\le m$ 恒成立，则 $m\ge f(x)_{\max}$。
恒成立问题常用分离参数法、最值法、判别式法。

2.6.2 存在性问题

若存在 $x\in D$，使 $f(x)>m$ 成立，则 $m<f(x)_{\max}$。
若存在 $x\in D$，使 $f(x)<m$ 成立，则 $m>f(x)_{\min}$。
存在性问题通常转化为函数最值问题。
注意“恒成立”与“存在”对应的最值方向不同。

2.6.3 实际应用

根据题意建立不等式或不等式组。
注意自变量的实际意义和取值范围。
解出结果后，要检验是否符合实际。
常见类型：成本最低、利润最大、用料最省、方案选择。

2.7 不等式的证明（拓展）

比较法：作差或作商，判断符号。
综合法：从已知条件出发，利用不等式性质，逐步推出结论。
分析法：从结论出发，寻找使结论成立的充分条件，直到找到已知条件。
反证法：假设结论不成立，推出矛盾。
证明不等式时，要注意等号成立的条件。

练习

比较 $(x+1)(x+2)$ 与 $(x-1)(x+4)$ 的大小。
判断下面各题，并说明理由。（1）若 $a>b$，则 $ac>bc$。（2）若 $a>b>0$，则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。（3）若 $a>b,c>d$，则 $a-c>b-d$。
解不等式。（1）$x^2-3x-4\le0$ （2）$2x^2-5x+2>0$ （3）$-x^2+2x+3\ge0$
解关于 $x$ 的不等式：$x^2-(a+1)x+a<0$。
解不等式。（1）$\frac{x-1}{x+2}>0$ （2）$\frac{x+1}{x-2}\le1$
解不等式。（1）$|2x-1|<3$ （2）$|x-2|\ge1$ （3）$|x-1|+|x+2|<5$
求最值。（1）已知 $x>0$，求 $x+\frac{4}{x}$ 的最小值。（2）已知 $x>1$，求 $x+\frac{1}{x-1}$ 的最小值。（3）已知 $a>0,b>0$，且 $a+b=1$，求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值。
已知不等式 $x^2-2x+a>0$ 对任意 $x\in\mathbb{R}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。
已知存在 $x\in\mathbb{R}$，使 $x^2-2x+a<0$ 成立，求 $a$ 的取值范围。
用长为 $20$ 米的篱笆围成一个矩形菜园，求菜园面积的最大值。
已知 $a>0,b>0$，证明： $$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4.$$
已知不等式 $x^2-ax+1\ge0$ 在 $x\in[1,2]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围。

检测题

判断下面各题，并说明理由。（1）若 $a>b$，则 $a^2>b^2$。（2）若 $a>b,c<0$，则 $ac<bc$。（3）若 $a>b>0,c>d>0$，则 $ac>bd$。（4）若 $a>b$，则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。
解不等式。（1）$x^2-5x+6<0$ （2）$2x^2+3x-2\ge0$
解不等式。（1）$\frac{2x-1}{x+3}\ge0$ （2）$|3x-2|\le4$
已知 $x>0$，求 $2x+\frac{8}{x}$ 的最小值；已知 $x<0$，求 $x+\frac{1}{x}$ 的最大值。
已知不等式 $ax^2+2x+1>0$ 对任意 $x\in\mathbb{R}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。
已知不等式 $x^2-4x+m<0$ 在 $x\in[1,3]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围。
某工厂生产一种产品，每件成本为 $20$ 元，售价为 $x$ 元，销售量为 $(100-2x)$ 件（$20\le x\le50$）。写出利润 $y$ 与售价 $x$ 的函数关系式，并求利润最大时的售价。
下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。解不等式 $\frac{x-1}{x+2}>0$。解：去分母，得 $x-1>0$，所以 $x>1$。
写出满足下列条件的 $a$ 的一个值。（1）使不等式 $x^2-2x+a>0$ 对任意 $x\in\mathbb{R}$ 恒成立。（2）使不等式 $x^2-2x+a<0$ 有实数解。（3）使基本不等式 $x+\frac{a}{x}\ge2\sqrt{a}$ 在 $x>0$ 时等号能成立。
已知 $a>0,b>0$，且 $ab=a+b+3$，求 $ab$ 的最小值。

参考答案与提示

$(x+1)(x+2)-(x-1)(x+4)=(x^2+3x+2)-(x^2+3x-4)=6>0$，所以 $(x+1)(x+2)>(x-1)(x+4)$。
（1）错误，$c$ 的符号不确定；（2）正确，正数取倒数后不等号方向改变；（3）错误，同向不等式不能直接相减。
（1）$(x-4)(x+1)\le0$，解集 $[-1,4]$；（2）$(2x-1)(x-2)>0$，解集 $\left(-\infty,\frac12\right)\cup(2,+\infty)$；（3）$x^2-2x-3\le0$，$(x-3)(x+1)\le0$，解集 $[-1,3]$。
$(x-1)(x-a)<0$。当 $a>1$ 时，解集为 $(1,a)$；当 $a=1$ 时，解集为 $\varnothing$；当 $a<1$ 时，解集为 $(a,1)$。
（1）等价于 $(x-1)(x+2)>0$，解集 $(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$；（2）$\frac{x+1}{x-2}-1\le0$，即 $\frac{3}{x-2}\le0$，所以 $x<2$，解集 $(-\infty,2)$。
（1）$-3<2x-1<3$，$-1<x<2$，解集 $(-1,2)$；（2）$x-2\le-1$ 或 $x-2\ge1$，解集 $(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$；（3）零点为 $1,-2$，分段讨论得解集 $(-3,2)$。
（1）$x+\frac{4}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4$，当 $x=2$ 时取最小值 $4$；（2）$x+\frac{1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}+1\ge2+1=3$，当 $x=2$ 时取最小值 $3$；（3）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge4$，当 $a=b=\frac12$ 时取最小值 $4$。
$\Delta=4-4a<0$，所以 $a>1$。
存在 $x$ 使 $x^2-2x+a<0$，即 $\Delta=4-4a>0$，所以 $a<1$。
设矩形长为 $x$，宽为 $10-x$，面积 $S=x(10-x)\le\left(\frac{x+10-x}{2}\right)^2=25$，当 $x=5$ 时面积最大为 $25$ 平方米。
$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2+2=4$，当 $a=b$ 时等号成立。
在 $[1,2]$ 上，$x^2-ax+1\ge0$ 等价于 $a\le x+\frac{1}{x}$。$x+\frac{1}{x}$ 在 $[1,2]$ 上的最小值为 $2$（在 $x=1$ 处取得），所以 $a\le2$。

检测题参考答案

（1）错误，例如 $a=1,b=-2$，$a>b$ 但 $a^2<b^2$；（2）正确，两边同乘负数，不等号方向改变；（3）正确，同向同正不等式可以相乘；（4）错误，$a,b$ 的符号不确定，例如 $a=1,b=-1$ 时 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$。
（1）$(x-2)(x-3)<0$，解集 $(2,3)$；（2）$(2x-1)(x+2)\ge0$，解集 $\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac12,+\infty\right)$。
（1）等价于 $(2x-1)(x+3)\ge0$ 且 $x\ne-3$，解集 $\left(-\infty,-3\right)\cup\left[\frac12,+\infty\right)$；（2）$-4\le3x-2\le4$，解得 $-\frac23\le x\le2$，解集 $\left[-\frac23,2\right]$。
$2x+\frac{8}{x}\ge2\sqrt{16}=8$，当 $x=2$ 时取最小值 $8$；$x<0$ 时，$x+\frac{1}{x}=-\left(-x+\frac{1}{-x}\right)\le-2$，当 $x=-1$ 时取最大值 $-2$。
当 $a=0$ 时，$2x+1>0$ 不能对任意 $x$ 恒成立；当 $a\ne0$ 时，需 $a>0$ 且 $\Delta=4-4a<0$，所以 $a>1$。
在 $[1,3]$ 上，$x^2-4x+m<0$ 有解，即 $m<-(x^2-4x)$ 的最大值。$-(x^2-4x)=-x^2+4x$ 在 $[1,3]$ 上的最大值为 $4$（在 $x=2$ 处），所以 $m<4$。
$y=(x-20)(100-2x)=-2x^2+140x-2000$（$20\le x\le50$），对称轴 $x=35$，所以售价为 $35$ 元时利润最大，最大利润为 $450$ 元。
不正确。不能直接去分母，因为 $x+2$ 的符号不确定。正确解法：$\frac{x-1}{x+2}>0$ 等价于 $(x-1)(x+2)>0$，解集为 $(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$。
示例：（1）$a=2$（只需 $a>1$）；（2）$a=0$（只需 $a<1$）；（3）$a=1$（此时 $x+\frac{1}{x}\ge2$，当 $x=1$ 时等号成立）。
由 $ab=a+b+3\ge2\sqrt{ab}+3$，令 $t=\sqrt{ab}>0$，则 $t^2\ge2t+3$，$t^2-2t-3\ge0$，$(t-3)(t+1)\ge0$，所以 $t\ge3$，$ab\ge9$。当 $a=b=3$ 时取最小值 $9$。

第02章-不等式

第 2 章 不等式