第 13 章概率与随机变量

本章把随机事件与概率、古典概型、事件的独立性、条件概率、全概率公式、离散型随机变量、分布列、期望与方差、二项分布、超几何分布和正态分布合并在一起。概率问题的基本框架是“样本空间—事件—概率—随机变量”。

13.1 随机事件与概率

13.1.1 样本空间与随机事件

随机试验：可以在相同条件下重复进行，结果不止一个，且事先不能确定哪一个结果会出现的试验。
样本点：随机试验的每一个可能的结果。
样本空间：全体样本点组成的集合，记作 $\Omega$。
随机事件：样本空间的子集，简称事件。
基本事件：只含一个样本点的事件。
必然事件：一定发生的事件，即 $\Omega$。
不可能事件：一定不发生的事件，即 $\varnothing$。

13.1.2 事件的关系与运算

包含：若事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生，则 $A\subseteq B$。
并事件（和事件）：$A\cup B$ 表示 $A$ 与 $B$ 至少有一个发生。
交事件（积事件）：$A\cap B$ 或 $AB$ 表示 $A$ 与 $B$ 同时发生。
互斥事件：$A\cap B=\varnothing$，即 $A$ 与 $B$ 不能同时发生。
对立事件：$A\cap B=\varnothing$ 且 $A\cup B=\Omega$，称 $B$ 是 $A$ 的对立事件，记作 $\overline A$。
对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。

13.1.3 概率的基本性质

对任意事件 $A$，$0\le P(A)\le1$。
$P(\Omega)=1$，$P(\varnothing)=0$。
若 $A,B$ 互斥，则 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$。
对任意事件 $A$，$P(\overline A)=1-P(A)$。
对任意事件 $A,B$，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。
若 $A\subseteq B$，则 $P(A)\le P(B)$。

13.1.4 频率与概率

频率：在 $n$ 次重复试验中，事件 $A$ 发生的次数 $m$ 与试验总次数 $n$ 的比值 $\frac mn$。
频率具有随机性，不同试验得到的频率可能不同。
随着试验次数增加，频率会在某个常数附近摆动，这个常数叫事件 $A$ 的概率。
概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。
频率不等于概率，但可以用大量重复试验的频率估计概率。

13.1.5 古典概型

如果随机试验的样本空间只包含有限个样本点，且每个样本点发生的可能性相等，那么这样的概率模型叫古典概型。

古典概型的概率公式：

$$ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{m}{n} $$

其中 $n$ 是样本空间包含的样本点总数，$m$ 是事件 $A$ 包含的样本点数。

使用古典概型公式的前提：有限性、等可能性。
计算时要注意样本点的计数是否准确，是否真正等可能。

13.1.6 几何概型（拓展）

如果每个样本点发生的可能性相等，且样本空间可以用几何区域表示，那么可以用几何概型求概率。
概率等于事件对应区域的度量（长度、面积、体积）与样本空间对应区域度量之比：

$$ P(A)=\frac{\text{事件 }A\text{ 对应区域的度量}}{\text{样本空间对应区域的度量}} $$

几何概型适用于连续型随机试验，例如在区间内随机取点。

13.2 事件的相互独立性

13.2.1 独立事件的定义

如果 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，那么称事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立。

直观理解：一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
若 $A,B$ 相互独立，则 $A$ 与 $\overline B$、$\overline A$ 与 $B$、$\overline A$ 与 $\overline B$ 也都相互独立。
若 $P(A)>0$，$A,B$ 独立等价于 $P(B|A)=P(B)$。

13.2.2 多个事件的独立性

三个事件 $A,B,C$ 相互独立，要求：
- $P(AB)=P(A)P(B)$；
- $P(AC)=P(A)P(C)$；
- $P(BC)=P(B)P(C)$；
- $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。
前三条成立只说明两两独立，不能保证三个事件相互独立。
若 $n$ 个事件相互独立，则任意 $k$ 个事件的积的概率等于它们概率的积。

13.2.3 互斥与独立的区别

互斥：两个事件不能同时发生，$P(AB)=0$。
独立：一个事件的发生不影响另一个事件的概率，$P(AB)=P(A)P(B)$。
若 $P(A)>0$，$P(B)>0$，则两个事件不可能既互斥又独立。
“至少有一个发生”常用对立事件：$P(A\cup B)=1-P(\overline A)P(\overline B)$（当 $A,B$ 独立时）。

13.3 条件概率与全概率公式

13.3.1 条件概率

在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率叫条件概率，记作 $P(B|A)$。

$$ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\quad(P(A)>0) $$

条件概率的样本空间缩小为 $A$。
条件概率也满足概率的基本性质。
注意 $P(B|A)$ 与 $P(B)$ 的区别：前者是在 $A$ 已发生的条件下，后者是无条件概率。
注意 $P(B|A)$ 与 $P(A|B)$ 一般不相等。

13.3.2 乘法公式

由条件概率公式可得：

$$ P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) $$

对三个事件：

$$ P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) $$

13.3.3 全概率公式

设 $B_1,B_2,\ldots,B_n$ 是样本空间的一个划分，即它们两两互斥，且 $B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n=\Omega$，$P(B_i)>0$，则对任意事件 $A$：

$$ P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i) $$

全概率公式的作用：把复杂事件分解为若干互斥的简单情况，分别求概率后相加。
常见划分：按原因、按来源、按阶段分类。

13.3.4 贝叶斯公式（拓展）

在 $P(A)>0$ 时：

$$ P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)} $$

贝叶斯公式用于“已知结果，反推原因”的概率。
分子是“由该原因导致结果”的概率，分母是结果发生的总概率。

13.4 离散型随机变量及其分布列

13.4.1 随机变量

把随机试验的每一个样本点对应到一个实数，这种对应关系叫随机变量。

随机变量常用 $X,Y,Z$ 表示。
离散型随机变量：所有可能取值可以一一列出的随机变量。
连续型随机变量：取值可以充满某个区间的随机变量。

13.4.2 分布列

设离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $x_1,x_2,\ldots,x_n$，且 $P(X=x_i)=p_i$，则称下表为 $X$ 的概率分布列：

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

分布列的性质：
- $p_i\ge0$（$i=1,2,\ldots,n$）；
- $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$。
求分布列的步骤：
1. 确定随机变量的所有可能取值；
2. 求出每个取值对应的概率；
3. 列出表格；
4. 验证所有概率之和是否为 $1$。

13.4.3 两点分布

随机变量 $X$ 只取 $0,1$ 两个值，且 $P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$，称 $X$ 服从两点分布。
$E(X)=p$，$D(X)=p(1-p)$。
两点分布也叫伯努利分布。

13.4.4 超几何分布

从含有 $M$ 件次品的 $N$ 件产品中任取 $n$ 件，其中次品数为 $X$。
$X$ 服从超几何分布：

$$ P(X=k)=\frac{\mathrm{C}M^k\mathrm{C}{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n} $$

其中 $k$ 满足 $\max(0,n-(N-M))\le k\le\min(n,M)$。

超几何分布对应“不放回”抽样。
期望：$E(X)=\frac{nM}{N}$。
方差（拓展）：

$$ D(X)=\frac{nM}{N}\left(1-\frac MN\right)\frac{N-n}{N-1} $$

13.4.5 二项分布

在 $n$ 次独立重复试验中，每次试验事件 $A$ 发生的概率为 $p$，$X$ 表示事件 $A$ 发生的次数。
$X$ 服从二项分布，记作 $X\sim B(n,p)$。

$$ P(X=k)=\mathrm{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}\quad(k=0,1,\ldots,n) $$

二项分布对应“有放回”抽样或独立重复试验。
期望：$E(X)=np$。
方差：$D(X)=np(1-p)$。
当 $n=1$ 时，二项分布就是两点分布。

13.4.6 超几何分布与二项分布的区别

超几何分布：总体有限，不放回抽样，各次试验不独立。
二项分布：每次试验独立，概率 $p$ 保持不变。
当总体容量很大、抽取数量相对较小时，不放回抽样可以近似看作有放回抽样，超几何分布可以近似为二项分布。

13.5 离散型随机变量的均值与方差

13.5.1 均值（数学期望）

若离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=x_i)=p_i$，则称

$$ E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i $$

为 $X$ 的均值或数学期望。

均值反映随机变量取值的平均水平。
性质：$E(aX+b)=aE(X)+b$（$a,b$ 为常数）。
若 $X,Y$ 相互独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$（拓展）。

13.5.2 方差

若离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=x_i)=p_i$，则称

$$ D(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(X))^2p_i $$

为 $X$ 的方差。

方差的常用计算公式：

$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 $$

方差反映随机变量取值的离散程度；方差越小，取值越集中。
标准差：$\sqrt{D(X)}$。
性质：$D(aX+b)=a^2D(X)$。
注意 $D(aX+b)\ne aD(X)+b$。
若 $X,Y$ 相互独立，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$（拓展）。

13.5.3 常见分布的均值与方差

分布	分布列	期望	方差
两点分布	$P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$	$p$	$p(1-p)$
二项分布 $B(n,p)$	$\mathrm{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
超几何分布	$\frac{\mathrm{C}M^k\mathrm{C}{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n}$	$\frac{nM}{N}$	$\frac{nM}{N}\left(1-\frac MN\right)\frac{N-n}{N-1}$

13.5.4 均值与方差的应用

用期望比较不同方案的平均收益。
用方差比较不同方案的稳定性。
决策时通常先比较期望，再比较方差；期望相同或相近时，选择方差较小的方案。

13.6 正态分布

13.6.1 正态曲线与正态分布

如果连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\quad(x\in\mathbb{R}) $$

则称 $X$ 服从正态分布，记作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差，$\sigma>0$。

正态曲线关于直线 $x=\mu$ 对称。
曲线在 $x=\mu$ 处达到最高点。
曲线与 $x$ 轴之间的面积为 $1$。
$\sigma$ 越大，曲线越“矮胖”，数据越分散；$\sigma$ 越小，曲线越“高瘦”，数据越集中。

13.6.2 正态分布的对称性

$P(X<\mu)=P(X>\mu)=0.5$。
$P(X\le\mu-a)=P(X\ge\mu+a)$。
$P(a<X<b)$ 等于正态曲线在区间 $(a,b)$ 上与 $x$ 轴围成的面积。
利用对称性可以把一般区间概率转化为标准区间概率。

13.6.3 标准正态分布

当 $\mu=0$，$\sigma=1$ 时，$X\sim N(0,1)$，称为标准正态分布。
标准化：若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。
标准正态分布的概率可以通过查表或对称性计算。

13.6.4 3σ 原则

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则：

$P(\mu-\sigma<X\le\mu+\sigma)\approx0.6827$；
$P(\mu-2\sigma<X\le\mu+2\sigma)\approx0.9545$；
$P(\mu-3\sigma<X\le\mu+3\sigma)\approx0.9973$。
落在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的概率约为 $0.0027$，这是小概率事件。
$3\sigma$ 原则常用于质量控制、异常值判断。

标准正态分布曲线

13.7 概率综合

互斥事件用加法，独立事件用乘法。
“至少有一个发生”常用对立事件计算。
复杂事件可以分解为互斥的简单情况，用全概率公式。
条件概率问题要明确“条件”是什么。
求分布列要先确定取值，再逐一求概率，最后验证和为 $1$。
期望与方差问题要注意随机变量的线性变换。

练习

掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和为 $7$ 的概率。
已知 $P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$，且 $A,B$ 互斥。求 $P(A\cup B)$、$P(\overline A)$ 和 $P(\overline{A\cup B})$。
已知 $P(A)=0.6$，$P(B)=0.5$，且 $A,B$ 相互独立。求 $P(A\cap B)$ 和 $P(A\cup B)$。
袋中有 $3$ 个红球、$2$ 个白球，不放回地依次取 $2$ 个球。（1）求两次都取到红球的概率。（2）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率。
甲盒中有 $3$ 个红球、$2$ 个白球，乙盒中有 $2$ 个红球、$3$ 个白球。随机选一个盒子，再从盒中取一个球，求取到红球的概率。
掷一枚均匀硬币 $3$ 次，$X$ 表示正面朝上的次数。求 $X$ 的分布列、$E(X)$ 和 $D(X)$。
一批产品共 $10$ 件，其中有 $3$ 件次品。任取 $3$ 件，$X$ 表示其中的次品数。求 $X$ 的分布列和 $E(X)$。
某射手每次射击命中目标的概率为 $0.8$，独立射击 $5$ 次，$X$ 表示命中次数。求 $P(X=4)$、$E(X)$ 和 $D(X)$。
已知 $E(X)=2$，$D(X)=3$。求 $E(2X+1)$ 和 $D(2X+1)$。
已知 $X\sim N(0,1)$，求 $P(X\le0)$ 和 $P(-1<X\le1)$（用 $3\sigma$ 原则的数值）。
某投资方案有两种选择：方案 A 有 $0.6$ 的概率获利 $10$ 万元，$0.4$ 的概率亏损 $2$ 万元；方案 B 有 $0.5$ 的概率获利 $6$ 万元，$0.5$ 的概率获利 $2$ 万元。用期望比较两个方案。
甲、乙两人独立解同一道题，甲解出的概率为 $0.6$，乙解出的概率为 $0.5$。求至少有一个人解出这道题的概率。

检测题

判断下面各题，并说明理由。（1）互斥事件一定相互独立。（2）若 $P(AB)=P(A)P(B)$，则 $A,B$ 相互独立。（3）离散型随机变量分布列中所有概率之和为 $1$。（4）正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 中，$\sigma$ 越大，数据越集中。
从 $1,2,\ldots,9$ 中任取 $2$ 个不同的数，求这两个数之和为偶数的概率。
已知 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.4$，$P(A\cup B)=0.7$。求 $P(B|A)$。
甲、乙、丙三人独立破译一个密码，破译概率分别为 $\frac13,\frac14,\frac15$。求至少有一人破译的概率。
某工厂有三台机器生产同一种产品，产量分别占总产量的 $50%,30%,20%$，次品率分别为 $2%,3%,5%$。任取一件产品，求它是次品的概率。
已知离散型随机变量 $X$ 的取值为 $0,1,2$，$P(X=1)=0.3$，$E(X)=1.2$。求 $X$ 的分布列和 $D(X)$。
已知 $X\sim B(4,p)$，$E(X)=2$。求 $p$、$D(X)$ 和 $P(X\ge1)$。
下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。掷两枚均匀硬币，设 $A=$“第一枚正面朝上”，$B=$“第二枚正面朝上”。因为 $P(A)=P(B)=\frac12$，所以 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=1$。
写出满足下列条件的事件各一对。（1）一对互斥但不对立的事件。（2）一对对立事件。（3）一对相互独立但不互斥的事件。
已知 $X\sim N(2,\sigma^2)$，且 $P(X<0)=0.1$。求 $P(2<X<4)$。

参考答案与提示

样本点总数 $36$，和为 $7$ 的有 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ 共 $6$ 个。概率为 $\frac6{36}=\frac16$。
$P(A\cup B)=0.3+0.5=0.8$；$P(\overline A)=1-0.3=0.7$；$P(\overline{A\cup B})=1-0.8=0.2$。
$P(A\cap B)=0.6\times0.5=0.3$；$P(A\cup B)=0.6+0.5-0.3=0.8$。
（1）$\frac35\times\frac24=\frac3{10}$；（2）已知第一次取到红球后，袋中剩 $2$ 红 $2$ 白，所以概率为 $\frac24=\frac12$。
全概率公式：$\frac12\times\frac35+\frac12\times\frac25=\frac3{10}+\frac15=\frac12$。
$X\sim B\left(3,\frac12\right)$，$P(X=k)=\mathrm{C}_3^k\left(\frac12\right)^3$。分布列：$P(X=0)=\frac18$，$P(X=1)=\frac38$，$P(X=2)=\frac38$，$P(X=3)=\frac18$。$E(X)=3\times\frac12=\frac32$，$D(X)=3\times\frac12\times\frac12=\frac34$。
$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}7^3}{\mathrm{C}{10}^3}=\frac{35}{120}=\frac7{24}$；$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}7^2}{\mathrm{C}{10}^3}=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}$；$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_3^2\mathrm{C}7^1}{\mathrm{C}{10}^3}=\frac{21}{120}=\frac7{40}$；$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}3^3}{\mathrm{C}{10}^3}=\frac1{120}$。$E(X)=3\times\frac3{10}=0.9$。
$P(X=4)=\mathrm{C}_5^4\times0.8^4\times0.2=5\times0.4096\times0.2=0.4096$；$E(X)=5\times0.8=4$；$D(X)=5\times0.8\times0.2=0.8$。
$E(2X+1)=2E(X)+1=5$；$D(2X+1)=2^2D(X)=12$。
$P(X\le0)=0.5$；$P(-1<X\le1)\approx0.6827$。
$E(A)=10\times0.6+(-2)\times0.4=6-0.8=5.2$ 万元；$E(B)=6\times0.5+2\times0.5=4$ 万元。方案 A 的期望收益更高。
至少一人解出的对立事件是两人都未解出：$P=1-(1-0.6)(1-0.5)=1-0.4\times0.5=0.8$。

检测题参考答案

（1）错误，互斥事件一般不能同时发生，而独立事件可以同时发生，两者不是同一概念；（2）正确，这是独立事件的定义；（3）正确，分布列的性质；（4）错误，$\sigma$ 越大，数据越分散，正态曲线越“矮胖”。
和为偶数要求两数同奇或同偶。奇数有 $5$ 个，偶数有 $4$ 个，所以有利情况为 $\mathrm{C}_5^2+\mathrm{C}_4^2=10+6=16$，总情况为 $\mathrm{C}_9^2=36$。概率为 $\frac{16}{36}=\frac49$。
$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0.5+0.4-0.7=0.2$，所以 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0.2}{0.5}=0.4$。
至少一人破译的对立事件是三人都未破译：$P=1-\left(1-\frac13\right)\left(1-\frac14\right)\left(1-\frac15\right)=1-\frac23\times\frac34\times\frac45=1-\frac25=\frac35$。
由全概率公式：$P=0.5\times0.02+0.3\times0.03+0.2\times0.05=0.01+0.009+0.01=0.029$。
设 $P(X=0)=p_0$，$P(X=2)=p_2$，则 $p_0+0.3+p_2=1$，即 $p_0+p_2=0.7$。又 $E(X)=0\times p_0+1\times0.3+2\times p_2=0.3+2p_2=1.2$，所以 $p_2=0.45$，$p_0=0.25$。分布列为 $P(X=0)=0.25$，$P(X=1)=0.3$，$P(X=2)=0.45$。$E(X^2)=0\times0.25+1\times0.3+4\times0.45=2.1$，$D(X)=2.1-1.2^2=2.1-1.44=0.66$。
$E(X)=4p=2$，所以 $p=\frac12$；$D(X)=4\times\frac12\times\frac12=1$；$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac12\right)^4=1-\frac1{16}=\frac{15}{16}$。
不正确。$A,B$ 不是互斥事件，可以同时发生，不能直接用加法公式。正确计算为 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac12+\frac12-\frac14=\frac34$。
示例：（1）掷一枚骰子，$A=$“点数为 $1$”，$B=$“点数为 $2$”；（2）掷一枚骰子，$A=$“点数为奇数”，$B=$“点数为偶数”；（3）掷两枚硬币，$A=$“第一枚正面朝上”，$B=$“第二枚正面朝上”。
正态曲线关于 $x=2$ 对称，$P(X<0)=P(X>4)=0.1$。所以 $P(2<X<4)=0.5-P(X>4)=0.5-0.1=0.4$。

第13章-概率与随机变量

第 13 章 概率与随机变量