第 1 章 集合与常用逻辑用语

本章把集合的概念与运算、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词合并在一起。集合是高中数学的语言基础，逻辑用语是判断命题和推理的工具。

1.1 集合的概念

1.1.1 集合与元素

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合。

  • 集合通常用大写字母 $A,B,C,\cdots$ 表示，元素通常用小写字母 $a,b,c,\cdots$ 表示。
  • 元素与集合的关系：$a\in A$ 表示 $a$ 是集合 $A$ 的元素；$a\notin A$ 表示 $a$ 不是集合 $A$ 的元素。
  • 集合中的元素具有三个特性：
    • 确定性：给定集合，任何一个对象是不是它的元素是确定的；
    • 互异性：同一个集合中不能有重复的元素；
    • 无序性：集合中的元素没有先后顺序。

常用数集：

  • 自然数集：$\mathbb{N}$；正整数集：$\mathbb{N}^*$ 或 $\mathbb{N}_+$。
  • 整数集：$\mathbb{Z}$；有理数集：$\mathbb{Q}$；实数集：$\mathbb{R}$。
  • 复数集：$\mathbb{C}$。

1.1.2 集合的表示方法

  • 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，例如 ${1,2,3}$。
  • 描述法：用集合中元素的共同特征表示集合，例如 ${x\mid x>1}$、${(x,y)\mid y=x^2}$。
  • 图示法：用韦恩图（Venn 图）表示集合之间的关系。
  • 空集：不含任何元素的集合叫空集，记作 $\varnothing$。
  • 注意：${0}$ 不是空集；${\varnothing}$ 也不是空集，它含有一个元素 $\varnothing$。

1.1.3 集合间的基本关系

对于集合 $A,B$，如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，那么称 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A\subseteq B$。

  • 如果 $A\subseteq B$，并且 $B$ 中至少有一个元素不属于 $A$，那么称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A\subsetneq B$。
  • 如果 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$，那么 $A=B$。
  • 空集是任何集合的子集，即 $\varnothing\subseteq A$。
  • 空集是任何非空集合的真子集。
  • 任何集合都是它本身的子集。
  • 若 $A\subseteq B$，$B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$。

子集个数：

  • 含有 $n$ 个元素的集合有 $2^n$ 个子集。
  • 含有 $n$ 个元素的集合有 $2^n-1$ 个真子集。
  • 含有 $n$ 个元素的集合有 $2^n-2$ 个非空真子集（$n\ge1$）。

1.2 集合的基本运算

1.2.1 交集

由既属于 $A$ 又属于 $B$ 的所有元素组成的集合，叫 $A$ 与 $B$ 的交集，记作 $A\cap B$。

$$ A\cap B={x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B} $$

  • $A\cap A=A$；$A\cap\varnothing=\varnothing$。
  • $A\cap B\subseteq A$，$A\cap B\subseteq B$。
  • 若 $A\subseteq B$，则 $A\cap B=A$。

1.2.2 并集

由属于 $A$ 或属于 $B$ 的所有元素组成的集合，叫 $A$ 与 $B$ 的并集，记作 $A\cup B$。

$$ A\cup B={x\mid x\in A\text{ 或 }x\in B} $$

  • $A\cup A=A$；$A\cup\varnothing=A$。
  • $A\subseteq A\cup B$，$B\subseteq A\cup B$。
  • 若 $A\subseteq B$，则 $A\cup B=B$。

1.2.3 补集

设 $U$ 是全集，$A\subseteq U$，由 $U$ 中不属于 $A$ 的所有元素组成的集合，叫 $A$ 在 $U$ 中的补集，记作 $\complement_U A$。

$$ \complement_U A={x\mid x\in U\text{ 且 }x\notin A} $$

  • $A\cup(\complement_U A)=U$；$A\cap(\complement_U A)=\varnothing$。
  • $\complement_U(\complement_U A)=A$。
  • 德摩根律： $$ \complement_U(A\cap B)=(\complement_U A)\cup(\complement_U B) $$ $$ \complement_U(A\cup B)=(\complement_U A)\cap(\complement_U B) $$

1.2.4 集合中元素的个数

对于有限集合 $A,B$：

$$ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| $$

  • 这个公式叫容斥原理。
  • 对于三个有限集合： $$ |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C| $$

1.2.5 区间

  • 开区间：$(a,b)={x\mid a<x<b}$。
  • 闭区间：$[a,b]={x\mid a\le x\le b}$。
  • 半开半闭区间：$[a,b)$、$(a,b]$。
  • 无穷区间：$(a,+\infty)$、$(-\infty,b)$、$(-\infty,+\infty)$。
  • 区间表示常与数轴结合使用。

1.3 充分条件与必要条件

1.3.1 命题

可以判断真假的陈述句叫命题。

  • 命题由条件和结论两部分组成，通常写成“若 $p$，则 $q$”的形式。
  • 命题有真命题和假命题之分。
  • 一个命题的逆命题、否命题、逆否命题：
    • 原命题：若 $p$，则 $q$；
    • 逆命题：若 $q$，则 $p$；
    • 否命题：若 $\neg p$，则 $\neg q$；
    • 逆否命题：若 $\neg q$，则 $\neg p$。
  • 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假。

1.3.2 充分条件与必要条件

如果 $p\Rightarrow q$，那么 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。

  • 如果 $p\Rightarrow q$ 且 $q\Rightarrow p$，那么 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件，记作 $p\Leftrightarrow q$。
  • 如果 $p\Rightarrow q$ 但 $q\nRightarrow p$，那么 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
  • 如果 $q\Rightarrow p$ 但 $p\nRightarrow q$，那么 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。
  • 如果 $p\nRightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$，那么 $p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件。

1.3.3 判断充分必要条件的方法

  1. 定义法：判断 $p\Rightarrow q$ 和 $q\Rightarrow p$ 是否成立。
  2. 集合法：设 $p$ 对应集合 $A$，$q$ 对应集合 $B$：
    • 若 $A\subseteq B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件；
    • 若 $A\subsetneq B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；
    • 若 $B\subseteq A$，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件；
    • 若 $B\subsetneq A$，则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件；
    • 若 $A=B$，则 $p$ 是 $q$ 的充要条件。
  3. 逆否法：利用原命题与逆否命题等价，转化为判断逆否命题。
  4. 等价转化法：把条件或结论等价变形，再判断。

1.4 全称量词与存在量词

1.4.1 全称量词与全称命题

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫全称量词，用符号“$\forall$”表示。

  • 含有全称量词的命题叫全称命题。
  • 全称命题的一般形式：$\forall x\in M,p(x)$。
  • 全称命题为真的条件是：对 $M$ 中每一个 $x$，$p(x)$ 都成立。
  • 要证明一个全称命题为假，只需举出一个反例。

1.4.2 存在量词与特称命题

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫存在量词，用符号“$\exists$”表示。

  • 含有存在量词的命题叫特称命题（存在性命题）。
  • 特称命题的一般形式：$\exists x\in M,p(x)$。
  • 特称命题为真的条件是：在 $M$ 中至少存在一个 $x$，使 $p(x)$ 成立。
  • 要证明一个特称命题为真，只需找到一个实例。

1.4.3 全称命题与特称命题的否定

  • 全称命题的否定是特称命题： $$ \neg(\forall x\in M,p(x))\Leftrightarrow\exists x\in M,\neg p(x) $$
  • 特称命题的否定是全称命题： $$ \neg(\exists x\in M,p(x))\Leftrightarrow\forall x\in M,\neg p(x) $$
  • 否定时，量词要改变，结论要否定。
  • 注意“命题的否定”与“否命题”的区别：命题的否定只否定结论；否命题同时否定条件和结论。

1.5 逻辑联结词（拓展）

  • “且”：$p\land q$，当且仅当 $p,q$ 都为真时，$p\land q$ 为真。
  • “或”：$p\lor q$，当且仅当 $p,q$ 中至少有一个为真时，$p\lor q$ 为真。
  • “非”：$\neg p$，与 $p$ 的真假相反。
  • 真值表：
$p$ $q$ $p\land q$ $p\lor q$ $\neg p$
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
  • 德摩根律： $$ \neg(p\land q)=\neg p\lor\neg q $$ $$ \neg(p\lor q)=\neg p\land\neg q $$

练习

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）集合 ${1,2,3}$ 与 ${3,2,1}$ 相等。 （2）${0}=\varnothing$。 （3）$\varnothing\subseteq{0}$。 （4）${x\mid x^2=1}={1,-1}$。

  2. 写出集合 $A={a,b,c}$ 的所有子集，并指出真子集、非空真子集的个数。

  3. 已知集合 $A={1,2,3,4}$，$B={3,4,5,6}$，求 $A\cap B$、$A\cup B$。

  4. 设全集 $U={1,2,3,4,5,6}$，$A={1,3,5}$，$B={2,3,4}$。求 $A\cap B$、$A\cup B$、$\complement_U(A\cup B)$、$\complement_U(A\cap B)$。

  5. 某班有 $20$ 人参加数学竞赛，$15$ 人参加物理竞赛，$8$ 人两项都参加。求至少参加一项竞赛的人数。

  6. 判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。 （1）$p:x>2$，$q:x>1$。 （2）$p:x^2=1$，$q:x=1$。 （3）$p:x>0$ 且 $y>0$，$q:xy>0$。

  7. 已知集合 $A={x\mid a<x<a+1}$，$B={x\mid 1<x<3}$。若 $A\subseteq B$，求 $a$ 的取值范围。

  8. 写出下列命题的否定。 （1）$\forall x\in\mathbb{R}$，$x^2\ge0$。 （2）$\exists x\in\mathbb{R}$，$x^2=2$。 （3）所有的正方形都是矩形。

  9. 判断下列命题的真假。 （1）$p$：$\forall x\in\mathbb{R}$，$x^2+1>0$。 （2）$q$：$\exists x\in\mathbb{Z}$，$x^2=2$。 （3）若 $p$ 为假，$q$ 为真，判断 $p\land q$、$p\lor q$、$\neg p$ 的真假。

  10. 已知集合 $A={x\mid x^2-3x+2\le0}$，$B={x\mid x>a}$。 （1）求 $A$。 （2）若 $A\subseteq B$，求 $a$ 的取值范围。 （3）若 $A\cap B=\varnothing$，求 $a$ 的取值范围。

  11. 已知集合 $A={x\mid (x-a)(x-2)<0}$，$B={x\mid 1<x<3}$。若 $A\subseteq B$，求 $a$ 的取值范围。

  12. 说明“$A\subseteq B$”“$A\cap B=A$”“$A\cup B=B$”三者之间的等价关系，并证明。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）$\varnothing\subseteq{0}$。 （2）$0\in{0}$。 （3）${0}=\varnothing$。 （4）$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$。 （5）若 $A\subseteq B$，则 $A\cap B=A$。

  2. 已知集合 $A={x\mid -1<x<3}$，$B={x\mid x\ge2}$，求 $A\cap B$、$A\cup B$。

  3. 集合 $M={1,2,3,4,5}$ 有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？

  4. 判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。 （1）$p:a>b$，$q:a^2>b^2$。 （2）$p:x=1$，$q:x^2-3x+2=0$。 （3）$p:\triangle ABC$ 是等边三角形，$q:\triangle ABC$ 是等腰三角形。

  5. 写出下列命题的否定，并判断否定后的命题的真假。 （1）$\forall x\in\mathbb{R}$，$x^2-x+1>0$。 （2）$\exists x\in\mathbb{R}$，$x^2+x+1=0$。

  6. 已知 $p$：$x^2-4x+3<0$，$q$：$x<a$。若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围。

  7. 某校调查 $100$ 名学生，其中喜欢数学的有 $60$ 人，喜欢物理的有 $45$ 人，两科都喜欢的有 $25$ 人。求两科都不喜欢的人数。

  8. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 已知 $A={x\mid 1<x<3}$，$B={x\mid x<a}$，若 $A\subseteq B$，则 $a>3$。

  9. 写出满足下列条件的集合各一个。 （1）一个含有两个元素且其中一个元素是空集的集合。 （2）一个真子集个数为 $7$ 的集合。 （3）一个满足 $A\subseteq{1,2,3}$ 且 $1\in A$ 的集合。

  10. 已知集合 $A={x\mid x^2-2x-3\le0}$，$B={x\mid x>a}$。 （1）求 $A$。 （2）若 $A\subseteq B$，求 $a$ 的取值范围。 （3）若 $A\cap B=\varnothing$，求 $a$ 的取值范围。

参考答案与提示

  1. （1）正确，集合元素具有无序性；（2）错误，${0}$ 含有元素 $0$，不是空集；（3）正确，空集是任何集合的子集；（4）正确，$x^2=1$ 的解为 $x=\pm1$。
  2. 子集：$\varnothing,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}$，共 $8$ 个；真子集 $7$ 个；非空真子集 $6$ 个。
  3. $A\cap B={3,4}$，$A\cup B={1,2,3,4,5,6}$。
  4. $A\cap B={3}$，$A\cup B={1,2,3,4,5}$，$\complement_U(A\cup B)={6}$，$\complement_U(A\cap B)={1,2,4,5,6}$。
  5. $20+15-8=27$ 人。
  6. （1）$p\Rightarrow q$，但 $q\nRightarrow p$，所以 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；（2）$q\Rightarrow p$，但 $p\nRightarrow q$，所以 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件；（3）$p\Rightarrow q$，但 $q\nRightarrow p$（例如 $x=y=-1$），所以 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
  7. 由 $A\subseteq B$ 得 $a\ge1$ 且 $a+1\le3$，所以 $1\le a\le2$。
  8. （1）$\exists x\in\mathbb{R}$，$x^2<0$；（2）$\forall x\in\mathbb{R}$，$x^2\ne2$；（3）存在一个正方形不是矩形。
  9. （1）真，因为 $x^2+1\ge1>0$；（2）假，因为不存在整数 $x$ 使 $x^2=2$；（3）$p\land q$ 假，$p\lor q$ 真，$\neg p$ 真。
  10. （1）$A=[1,2]$；（2）由 $A\subseteq B$ 得 $a<1$；（3）由 $A\cap B=\varnothing$ 得 $a\ge2$。
  11. 当 $a<2$ 时，$A=(a,2)$，由 $A\subseteq B$ 得 $a\ge1$；当 $a=2$ 时，$A=\varnothing$，满足；当 $a>2$ 时，$A=(2,a)$，由 $A\subseteq B$ 得 $a\le3$。综上 $1\le a\le3$。
  12. 三者等价。证明：若 $A\subseteq B$，则 $A\cap B=A$（因为 $A$ 中元素都属于 $B$），且 $A\cup B=B$（因为 $B$ 已包含 $A$）。反之，若 $A\cap B=A$，则 $A$ 中元素都属于 $B$，所以 $A\subseteq B$；若 $A\cup B=B$，则 $A$ 中元素都属于 $B$，所以 $A\subseteq B$。

检测题参考答案

  1. （1）正确，空集是任何集合的子集；（2）正确，$0$ 是集合 ${0}$ 的元素；（3）错误，${0}$ 含有一个元素，不是空集；（4）正确，自然数都是整数；（5）正确，$A\subseteq B$ 时 $A\cap B=A$。
  2. $A\cap B=[2,3)$，$A\cup B=(-1,+\infty)$。
  3. 子集 $2^5=32$ 个；真子集 $31$ 个；非空真子集 $30$ 个。
  4. （1）既不充分也不必要，例如 $a=1,b=-2$ 时 $a>b$ 但 $a^2<b^2$；$a=-2,b=1$ 时 $a^2>b^2$ 但 $a<b$。（2）充分不必要，$x=1$ 是方程的根，但方程的另一个根是 $x=2$。（3）充分不必要，等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
  5. （1）否定：$\exists x\in\mathbb{R}$，$x^2-x+1\le0$。因为 $x^2-x+1=(x-\frac12)^2+\frac34>0$，所以否定为假。（2）否定：$\forall x\in\mathbb{R}$，$x^2+x+1\ne0$。因为判别式 $\Delta=1-4=-3<0$，原命题为假，所以否定为真。
  6. $p:1<x<3$。$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，即 $p\Rightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$，所以 $(1,3)\subsetneq(-\infty,a)$，因此 $a\ge3$；且 $q\nRightarrow p$ 自动成立。所以 $a\ge3$。
  7. 喜欢至少一科的有 $60+45-25=80$ 人，两科都不喜欢的有 $100-80=20$ 人。
  8. 不正确。由 $A\subseteq B$ 得 $a\ge3$，不是 $a>3$；当 $a=3$ 时，$B=(-\infty,3)$，$A=(1,3)\subseteq B$ 仍成立。
  9. 示例：（1）${\varnothing,1}$；（2）一个含有 $3$ 个元素的集合，如 ${1,2,3}$；（3）${1}$ 或 ${1,2}$ 或 ${1,3}$ 或 ${1,2,3}$。
  10. （1）$x^2-2x-3\le0$ 的解为 $-1\le x\le3$，所以 $A=[-1,3]$；（2）由 $A\subseteq B$ 得 $a<-1$；（3）由 $A\cap B=\varnothing$ 得 $a\ge3$。