第 4 章 三角函数与解三角形

本章把任意角与弧度制、三角函数定义、诱导公式、图像与性质、三角恒等变换、正余弦定理和解三角形合并为一条主线。三角函数研究周期变化，解三角形研究三角形中的边角关系。

4.1 任意角与弧度制

4.1.1 任意角

• 角可以看成一条射线绕它的端点旋转所形成的图形。
• 按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；没有旋转时形成零角。
• 角的顶点在原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。
• 终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，叫轴线角。
• 与角 $\alpha$ 终边相同的角的集合：

$$ {\beta\mid\beta=\alpha+k\cdot360^\circ,\ k\in\mathbb{Z}} $$

• 与角 $\alpha$ 终边相同的角有无数个，它们相差 $360^\circ$ 的整数倍。

4.1.2 弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 $1$ 弧度的角，记作 $1,\mathrm{rad}$。

• 角度与弧度的互化： $$ 1^\circ=\frac{\pi}{180},\mathrm{rad},\qquad 1,\mathrm{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ $$ $$ 180^\circ=\pi,\mathrm{rad} $$
• 弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系。
• 用弧度表示角时，单位“弧度”通常省略不写。

4.1.3 弧长与扇形面积

设扇形的半径为 $r$，圆心角为 $\alpha$（弧度），弧长为 $l$，面积为 $S$：

$$ l=|\alpha|r $$

$$ S=\frac12 lr=\frac12|\alpha|r^2 $$

• 使用弧长、扇形面积公式时，圆心角必须用弧度制。
• 角度制下，弧长公式为 $l=\frac{n\pi r}{180}$，扇形面积公式为 $S=\frac{n\pi r^2}{360}$。

4.2 三角函数的定义

4.2.1 单位圆定义

设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，则：

$$ \sin\alpha=y,\qquad \cos\alpha=x,\qquad \tan\alpha=\frac{y}{x}\quad(x\ne0) $$

• 正弦、余弦的定义域是 $\mathbb{R}$；正切的定义域是 ${\alpha\mid\alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}$。
• 三角函数值只与角的终边位置有关，与终边上点的选取无关。

4.2.2 三角函数值的符号

• 第一象限：$\sin\alpha>0$，$\cos\alpha>0$，$\tan\alpha>0$。

• 第二象限：$\sin\alpha>0$，$\cos\alpha<0$，$\tan\alpha<0$。

• 第三象限：$\sin\alpha<0$，$\cos\alpha<0$，$\tan\alpha>0$。

• 第四象限：$\sin\alpha<0$，$\cos\alpha>0$，$\tan\alpha<0$。

• 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

4.2.3 同角三角函数的基本关系

$$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 $$

$$ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad(\cos\alpha\ne0) $$

• 已知一个三角函数值，结合角所在象限，可以求另外两个三角函数值。
• 使用平方关系开方时，要注意角的象限，确定符号。

4.3 诱导公式

4.3.1 诱导公式

• 公式一： $$ \sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha,\quad \cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha,\quad \tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alpha $$
• 公式二： $$ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\quad \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,\quad \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha $$
• 公式三： $$ \sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \cos(-\alpha)=\cos\alpha,\quad \tan(-\alpha)=-\tan\alpha $$
• 公式四： $$ \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,\quad \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha $$
• 公式五： $$ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha $$
• 公式六： $$ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha $$

4.3.2 诱导公式的记忆

• 口诀：奇变偶不变，符号看象限。
• “奇变偶不变”是指 $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍时函数名改变，偶数倍时函数名不变。
• “符号看象限”是指把 $\alpha$ 看作锐角，判断原角所在象限，再确定符号。
• 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数。

4.4 三角函数的图像与性质

4.4.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质

函数	$y=\sin x$	$y=\cos x$	$y=\tan x$
定义域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	${x\mid x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi}$
值域	$[-1,1]$	$[-1,1]$	$\mathbb{R}$
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
单调递增区间	$[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]$	$[-\pi+2k\pi,2k\pi]$	$(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$
单调递减区间	$[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$	$[2k\pi,\pi+2k\pi]$	无
对称轴	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x=k\pi$	无
对称中心	$(k\pi,0)$	$(\frac{\pi}{2}+k\pi,0)$	$(\frac{k\pi}{2},0)$

• 正弦函数、余弦函数的最大值为 $1$，最小值为 $-1$。
• 正切函数在每一个区间 $(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$ 内单调递增，但在整个定义域上不是增函数。
• 正切曲线有无数条渐近线 $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$。

4.4.2 函数 y = A sin(ωx + φ)

• 振幅：$|A|$。
• 周期：$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$。
• 频率：$f=\frac{1}{T}=\frac{|\omega|}{2\pi}$。
• 相位：$\omega x+\varphi$；初相：$\varphi$。
• 最大值：$|A|$；最小值：$-|A|$（当 $A>0$ 时分别为 $A,-A$）。
• 图像变换：
  • 左右平移：$y=\sin(x+\varphi)$，左加右减；
  • 横向伸缩：$y=\sin(\omega x)$，周期变为原来的 $\frac{1}{|\omega|}$；
  • 纵向伸缩：$y=A\sin x$，振幅变为 $|A|$。
• 作 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像，常用“五点法”：令 $\omega x+\varphi=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$，求出对应的 $x$ 和 $y$。

4.5 三角恒等变换

4.5.1 两角和与差公式

$$ \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $$

$$ \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $$

$$ \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} $$

• 公式中的符号规律：余弦“符号相反”，正弦“符号相同”。
• 使用正切公式时，要注意各角的正切值存在。

4.5.2 二倍角公式

$$ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha $$

$$ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha $$

$$ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} $$

• 降幂公式： $$ \sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},\qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2} $$
• 半角公式（拓展）： $$ \sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\qquad \cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} $$ 符号由 $\frac{\alpha}{2}$ 所在象限决定。

4.5.3 辅助角公式

$$ a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi) $$

其中 $\tan\varphi=\frac{b}{a}$。

• 辅助角公式常用于求三角函数的最值、周期和单调性。
• 使用时要保证 $a,b$ 不同时为 $0$。

4.5.4 给值求值

• 已知某些角的三角函数值，求其他角的三角函数值。
• 常用方法：角的变换（如 $\alpha=(\alpha+\beta)-\beta$）、公式变形、平方关系。
• 给值求角时，要先确定角的范围，再根据三角函数值确定角。

4.6 正弦定理与余弦定理

4.6.1 正弦定理

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，则：

$$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R $$

其中 $R$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的半径。

• 正弦定理可以用于：
  • 已知两角和一边，求其他边角；
  • 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（可能有两解、一解或无解）；
  • 边角互化。
• 已知两边和其中一边的对角时，可能出现“一解、两解、无解”的情况，要结合三角形内角和与边角关系判断。

4.6.2 余弦定理

$$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A $$

$$ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B $$

$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C $$

• 余弦定理的变形： $$ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$ $$ \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} $$ $$ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} $$
• 余弦定理可以用于：
  • 已知三边，求三个角；
  • 已知两边和夹角，求第三边；
  • 判断三角形的形状。
• 勾股定理是余弦定理在 $C=90^\circ$ 时的特例。

4.6.3 三角形面积公式

$$ S=\frac12 ab\sin C=\frac12 bc\sin A=\frac12 ac\sin B $$

• 已知两边和夹角，可以用面积公式求面积。
• 三角形面积的其他公式（拓展）： $$ S=\frac{abc}{4R},\qquad S=rs $$ 其中 $R$ 是外接圆半径，$r$ 是内切圆半径，$s=\frac{a+b+c}{2}$。

4.7 解三角形的应用

4.7.1 测量中的角

• 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角。
• 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角。
• 方向角：用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等表示方向。
• 坡度：坡面的垂直高度与水平宽度的比，$i=\tan\alpha$，其中 $\alpha$ 是坡角。

4.7.2 解三角形应用题的步骤

1. 审题，画出示意图。
2. 把实际问题转化为三角形问题。
3. 确定已知边、角，选择正弦定理或余弦定理。
4. 解三角形，求出所求量。
5. 检验结果是否符合实际意义。

4.7.3 常见类型

• 测量不可到达的物体的高度。
• 测量两点之间的距离。
• 航海中的方向角问题。
• 坡度、坡角问题。
• 三角形中的边角关系综合问题。

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练习

1. 将下列角度化为弧度，或把弧度化为角度。 （1）$150^\circ$ （2）$-60^\circ$ （3）$\frac{\pi}{3}$ （4）$\frac{3\pi}{4}$

2. 写出与下列角终边相同的角的集合，并指出其中最小的正角。 （1）$-120^\circ$ （2）$30^\circ$

3. 已知扇形的半径 $r=6$，圆心角 $\alpha=\frac{\pi}{3}$，求弧长和扇形面积。

4. 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-3,4)$，求 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$。

5. 已知 $\sin\alpha=\frac35$，且 $\alpha$ 是第二象限角，求 $\cos\alpha$ 和 $\tan\alpha$。

6. 化简。 （1）$\sin(\pi-\alpha)$ （2）$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$ （3）$\tan(-\alpha)$ （4）$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)$

7. 已知函数 $y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$。 （1）求振幅、周期和初相。 （2）求函数的最大值和最小值。

8. 计算。 （1）$\sin15^\circ$ （2）$\cos75^\circ$ （3）$\tan105^\circ$

9. 已知 $\sin\alpha=\frac35$，且 $\alpha$ 是第二象限角，求 $\sin2\alpha$、$\cos2\alpha$、$\tan2\alpha$。

10. 在 $\triangle ABC$ 中，$a=3$，$b=4$，$C=60^\circ$，求边 $c$。

11. 在 $\triangle ABC$ 中，$b=4$，$c=5$，$A=60^\circ$，求 $\triangle ABC$ 的面积。

12. 在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin A=\sin B$，判断三角形的形状，并说明理由。

检测题

1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）$\sin30^\circ=\frac12$。 （2）$\cos(-60^\circ)=\cos60^\circ$。 （3）$\tan90^\circ$ 不存在。 （4）函数 $y=\sin x$ 的周期是 $\pi$。 （5）$\sin(\pi+\alpha)=\sin\alpha$。

2. 将 $120^\circ$ 化为弧度；已知扇形半径 $r=3$，圆心角 $\alpha=2,\mathrm{rad}$，求弧长和扇形面积。

3. 已知 $\cos\alpha=-\frac{5}{13}$，且 $\alpha$ 是第三象限角，求 $\sin\alpha$ 和 $\tan\alpha$。

4. 已知函数 $y=3\sin\left(\frac12x-\frac{\pi}{4}\right)$，求振幅、周期和初相。

5. 计算。 （1）$\sin75^\circ$ （2）$\cos15^\circ$ （3）$\tan75^\circ$

6. 在 $\triangle ABC$ 中，$a=\sqrt3$，$b=2$，$A=60^\circ$，求角 $B$、角 $C$ 和边 $c$。

7. 在点 $A$ 处测得楼顶的仰角为 $30^\circ$，点 $A$ 到楼底的水平距离为 $50$ 米。求楼高（忽略观测者高度）。

8. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 已知 $\sin\alpha=\frac45$，$\alpha$ 是第二象限角，求 $\cos\alpha$。 解：由 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，得 $\cos^2\alpha=\frac{9}{25}$，所以 $\cos\alpha=\frac35$。

9. 写出满足下列条件的角或三角形各一个。 （1）一个正弦值为 $\frac12$ 的角。 （2）一个余弦值为 $-\frac12$ 的角。 （3）一个三边长为 $3,4,5$ 的三角形。

10. 已知函数 $f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$。 （1）求函数的最小正周期和最大值。 （2）求函数的单调递增区间。

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参考答案与提示

1. （1）$\frac{5\pi}{6}$；（2）$-\frac{\pi}{3}$；（3）$60^\circ$；（4）$135^\circ$。
2. （1）${\beta\mid\beta=-120^\circ+k\cdot360^\circ,k\in\mathbb{Z}}$，最小正角 $240^\circ$；（2）${\beta\mid\beta=30^\circ+k\cdot360^\circ,k\in\mathbb{Z}}$，最小正角 $30^\circ$。
3. $l=\frac{\pi}{3}\times6=2\pi$；$S=\frac12\times2\pi\times6=6\pi$。
4. $r=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$，$\sin\alpha=\frac45$，$\cos\alpha=-\frac35$，$\tan\alpha=-\frac43$。
5. 因为 $\alpha$ 在第二象限，$\cos\alpha<0$，$\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac45$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac34$。
6. （1）$\sin\alpha$；（2）$-\sin\alpha$；（3）$-\tan\alpha$；（4）$-\cos\alpha$。
7. （1）振幅 $2$，周期 $\pi$，初相 $\frac{\pi}{3}$；（2）最大值 $2$，最小值 $-2$。
8. （1）$\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$；（2）$\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$；（3）$\tan105^\circ=\tan(60^\circ+45^\circ)=\frac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}=-(2+\sqrt3)$。
9. 因为 $\alpha$ 在第二象限，$\cos\alpha=-\frac45$。$\sin2\alpha=2\times\frac35\times\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$；$\cos2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$；$\tan2\alpha=-\frac{24}{7}$。
10. $c^2=3^2+4^2-2\times3\times4\cos60^\circ=9+16-12=13$，$c=\sqrt{13}$。
11. $S=\frac12\times4\times5\times\sin60^\circ=10\times\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$。
12. 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，$\sin A=\sin B$ 得 $a=b$，所以三角形是等腰三角形。

检测题参考答案

1. （1）正确；（2）正确，余弦是偶函数；（3）正确，$\tan90^\circ$ 无定义；（4）错误，$y=\sin x$ 的周期是 $2\pi$；（5）错误，$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$。
2. $120^\circ=\frac{2\pi}{3}$；$l=2\times3=6$；$S=\frac12\times2\times3^2=9$。
3. 因为 $\alpha$ 在第三象限，$\sin\alpha<0$，$\sin\alpha=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12}{5}$。
4. 振幅 $3$，周期 $T=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi$，初相 $-\frac{\pi}{4}$。
5. （1）$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$；（2）$\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$；（3）$\tan75^\circ=\tan(45^\circ+30^\circ)=2+\sqrt3$。
6. 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，$\frac{\sqrt3}{\sin60^\circ}=\frac{2}{\sin B}$，解得 $\sin B=1$，所以 $B=90^\circ$，$C=30^\circ$，$c=1$。
7. 设楼高为 $h$，$\tan30^\circ=\frac{h}{50}$，$h=50\times\frac{\sqrt3}{3}=\frac{50\sqrt3}{3}$ 米。
8. 不正确。$\alpha$ 是第二象限角，$\cos\alpha<0$，所以 $\cos\alpha=-\frac35$，不是 $\frac35$。
9. 示例：（1）$30^\circ$；（2）$120^\circ$；（3）三边为 $3,4,5$ 的直角三角形。
10. （1）最小正周期 $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，最大值 $2$；（2）由 $-\frac{\pi}{2}+2k\pi\le2x+\frac{\pi}{6}\le\frac{\pi}{2}+2k\pi$，解得 $-\frac{\pi}{3}+k\pi\le x\le\frac{\pi}{6}+k\pi$，所以单调递增区间为 $\left[-\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{6}+k\pi\right]$（$k\in\mathbb{Z}$）。