第 14 章 统计与数学建模

本章把抽样方法、统计图表、样本数字特征、百分位数、线性回归、独立性检验和数学建模合并在一起。统计的基本思想是“用样本估计总体”，数学建模的基本过程是“实际问题—数学模型—实际检验”。

14.1 抽样方法

14.1.1 总体、个体、样本

  • 总体：研究对象的全体。
  • 个体：总体中的每一个研究对象。
  • 样本：从总体中抽取的一部分个体。
  • 样本容量：样本中个体的数目。
  • 用样本估计总体：通过样本的数字特征估计总体的数字特征。

14.1.2 简单随机抽样

设一个总体含有 $N$ 个个体，从中逐个不放回地抽取 $n$ 个个体作为样本（$n\le N$），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，那么这种抽样方法叫简单随机抽样。

  • 常用方法：抽签法、随机数法。
  • 特点：每个个体被抽到的概率相等；不放回抽样。
  • 适用条件：总体容量较小，个体之间差异不明显。
  • 每个个体被抽到的概率为 $\frac nN$。

14.1.3 分层抽样

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样。

  • 分层抽样要求各层之间有明显差异，层内个体差异较小。
  • 各层抽取的个体数按各层个体数在总体中所占的比例分配：

$$ \frac{n_i}{N_i}=\frac nN $$

其中 $N_i$ 是第 $i$ 层的个体数，$n_i$ 是第 $i$ 层抽取的个体数。

  • 分层抽样能保证样本结构与总体结构一致，样本代表性较好。

14.1.4 系统抽样（等距抽样）

  • 将总体中的个体编号，按固定的间隔抽取个体。
  • 步骤：
    1. 将总体中的 $N$ 个个体编号；
    2. 确定分段间隔 $k=\frac Nn$（当 $\frac Nn$ 不是整数时，先剔除若干个个体）；
    3. 在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号；
    4. 按固定间隔 $k$ 依次抽取，得到样本。
  • 系统抽样适用于总体容量较大、个体排列无明显周期性的情况。
  • 每个个体被抽到的概率相等。

14.1.5 三种抽样方法的比较

方法 特点 适用条件
简单随机抽样 逐个抽取，每个个体等可能 总体容量较小
分层抽样 按比例分层抽取 层间差异明显
系统抽样 按固定间隔抽取 总体容量较大
  • 三种抽样方法都是等概率抽样。
  • 实际抽样时，可以根据总体特点组合使用多种方法。

14.2 统计图表

14.2.1 频率分布表与频率分布直方图

  • 频率分布表：把数据分组，统计各组的频数，计算各组的频率。
  • 频率分布直方图：
    • 横轴表示数据分组，纵轴表示 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$；
    • 每个小矩形的面积等于该组的频率；
    • 所有小矩形的面积之和等于 $1$。
  • 组距：每个组的区间长度。
  • 频率：该组频数与样本容量的比值。
  • 频率分布折线图：把频率分布直方图中各小矩形上端中点依次连接起来得到的折线图。
  • 总体密度曲线：样本容量越大、组距越小，频率分布折线图越接近一条光滑曲线，这条曲线叫总体密度曲线。

14.2.2 频率分布直方图中的数字特征

  • 众数：最高小矩形底边中点的横坐标。
  • 中位数：使直方图中左右两侧面积各为 $0.5$ 的横坐标。
  • 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与该矩形面积的乘积之和，即各组的组中值按频率加权平均。

14.2.3 其他统计图表

  • 条形图：用条形的高度表示数量，便于比较各类别的数量。
  • 折线图：用折线连接各数据点，便于观察数据的变化趋势。
  • 扇形图：用扇形的面积表示各部分占总体的百分比。
  • 茎叶图：保留原始数据，便于观察数据的分布和比较两组数据。
  • 箱线图（拓展）：用最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值描述数据分布。

条形图、折线图与扇形图

14.2.4 样本频率分布估计总体分布

  • 样本频率分布直方图可以近似估计总体的频率分布。
  • 样本容量越大，频率分布越接近总体分布。
  • 频率分布直方图不能直接给出原始数据，只能给出分组后的分布情况。

14.3 样本数字特征

14.3.1 平均数

  • 算术平均数：

$$ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} $$

  • 加权平均数：若数据 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 的权分别为 $w_1,w_2,\ldots,w_n$，则加权平均数为：

$$ \bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n} $$

  • 平均数反映数据的集中趋势。

14.3.2 中位数

  • 把数据按从小到大排列：
    • 当数据个数为奇数时，中位数是最中间的那个数；
    • 当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。
  • 中位数不受极端值的影响，比平均数稳健。

14.3.3 众数

  • 一组数据中出现次数最多的数叫众数。
  • 众数可能不唯一，也可能不存在。
  • 众数反映数据中出现最频繁的取值。

14.3.4 极差、方差与标准差

  • 极差：最大值与最小值的差，$R=x_{\max}-x_{\min}$。
  • 方差：

$$ s^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 $$

  • 标准差：$s=\sqrt{s^2}$。
  • 方差和标准差反映数据的离散程度；方差越大，数据越分散。
  • 方差的计算公式也可以写成：

$$ s^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{x}^2 $$

14.3.5 数字特征的性质

  • 若数据 $x_i$ 的平均数为 $\bar{x}$，方差为 $s^2$：
    • 数据 $x_i+b$ 的平均数为 $\bar{x}+b$，方差仍为 $s^2$；
    • 数据 $ax_i$ 的平均数为 $a\bar{x}$，方差为 $a^2s^2$；
    • 数据 $ax_i+b$ 的平均数为 $a\bar{x}+b$，方差为 $a^2s^2$。
  • 平均数、中位数、众数反映集中趋势；方差、标准差、极差反映离散程度。

14.3.6 百分位数

一组数据的第 $p$ 百分位数是这样一个值：它使得这组数据中至少有 $p%$ 的数据小于或等于这个值，且至少有 $(100-p)%$ 的数据大于或等于这个值。

  • 计算步骤：
    1. 把数据按从小到大排列；
    2. 计算 $i=n\times p%$；
    3. 若 $i$ 不是整数，取第 $[i]+1$ 项作为第 $p$ 百分位数；
    4. 若 $i$ 是整数，取第 $i$ 项与第 $i+1$ 项的平均数作为第 $p$ 百分位数。
  • 四分位数：
    • 第 $25$ 百分位数叫下四分位数 $Q_1$；
    • 第 $50$ 百分位数叫中位数 $Q_2$；
    • 第 $75$ 百分位数叫上四分位数 $Q_3$。
  • 百分位数常用于描述数据的相对位置。
  • 当 $p=100$ 时，第 $100$ 百分位数就是最大值；当 $p=0$ 时，第 $0$ 百分位数就是最小值。

14.4 线性回归分析

14.4.1 相关关系

  • 函数关系：两个变量之间有确定的对应关系。
  • 相关关系：两个变量之间有一定的联系，但不能用确定的函数关系表示。
  • 正相关：一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大。
  • 负相关：一个变量增大时，另一个变量倾向于减小。
  • 散点图可以直观地判断两个变量是否具有相关关系。

14.4.2 回归直线

  • 如果散点图中的点大致分布在一条直线附近，可以用一条直线近似描述两个变量之间的关系，这条直线叫回归直线。
  • 回归直线方程：

$$ \hat{y}=\hat{b}x+\hat{a} $$

  • 用最小二乘法估计参数：

$$ \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} =\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2} $$

$$ \hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x} $$

  • 回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。
  • 回归方程中的 $\hat{y}$ 是预测值，不是实际值。

14.4.3 相关系数

样本相关系数：

$$ r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}} $$

  • $-1\le r\le1$。
  • $r>0$ 表示正相关，$r<0$ 表示负相关。
  • $|r|$ 越接近 $1$，线性相关程度越强；$|r|$ 越接近 $0$，线性相关程度越弱。
  • $r=1$ 或 $r=-1$ 时，所有点都在一条直线上。
  • 相关关系不等于因果关系。

14.4.4 残差与拟合效果

  • 残差：实际值与预测值的差，$e_i=y_i-\hat{y}_i$。
  • 残差平方和越小，拟合效果越好。
  • 决定系数：

$$ R^2=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}i)^2}{\sum{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2} $$

  • $0\le R^2\le1$，$R^2$ 越接近 $1$，模型拟合效果越好。
  • 残差图可以帮助判断模型是否合适。

14.4.5 回归分析的应用

  • 用回归方程进行预测时，要注意自变量的取值范围。
  • 在样本数据范围内进行预测叫内插，比较可靠。
  • 超出样本数据范围进行预测叫外推，可靠性较低。
  • 回归分析只能说明变量之间的统计关系，不能说明因果关系。

14.5 独立性检验

14.5.1 列联表

  • 两个分类变量的频数表叫列联表。
  • $2\times2$ 列联表的一般形式：
$B_1$ $B_2$ 合计
$A_1$ $a$ $b$ $a+b$
$A_2$ $c$ $d$ $c+d$
合计 $a+c$ $b+d$ $n=a+b+c+d$

14.5.2 独立性检验的步骤

  1. 提出零假设 $H_0$：两个分类变量相互独立（没有关联）。
  2. 计算卡方统计量：

$$ \chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} $$

  1. 查临界值表，比较 $\chi^2$ 与临界值。
  2. 作出统计判断。

14.5.3 临界值

$\chi^2$ 临界值 犯错误概率 $\alpha$ 判断
$2.706$ $0.10$ 有 $90%$ 的把握认为两个变量有关
$3.841$ $0.05$ 有 $95%$ 的把握认为两个变量有关
$6.635$ $0.01$ 有 $99%$ 的把握认为两个变量有关
$10.828$ $0.001$ 有 $99.9%$ 的把握认为两个变量有关
  • 当 $\chi^2\ge3.841$ 时，在犯错误概率不超过 $0.05$ 的前提下，认为两个变量有关。
  • 当 $\chi^2<3.841$ 时，没有充分证据认为两个变量有关；但不能说明两个变量一定无关。
  • 独立性检验的结果是统计推断，不是绝对结论。
  • 独立性检验不能说明因果关系。

14.6 数学建模

14.6.1 数学建模的含义

数学建模是对实际问题进行抽象、简化，用数学语言描述问题，建立数学模型，求解模型，并用结果解释和检验实际问题的过程。

14.6.2 数学建模的步骤

  1. 提出问题：明确要解决的实际问题。
  2. 合理假设：对实际问题作简化假设。
  3. 建立模型：用数学符号、公式、图形描述问题。
  4. 求解模型：用数学方法求解。
  5. 检验结果：把结果与实际情况比较，检验模型是否合理。
  6. 改进模型：根据检验结果修正假设或模型。
  7. 应用成果：用模型解决实际问题或作出决策。

14.6.3 常见数学模型

  • 函数模型：
    • 一次函数模型：匀速增长或线性关系；
    • 二次函数模型：面积、利润、抛物线轨迹；
    • 指数函数模型：人口增长、复利、放射性衰变；
    • 对数函数模型：增长速度逐渐变慢；
    • 分段函数模型：不同区间有不同规律。
  • 数列模型：等差数列、等比数列、递推数列。
  • 概率统计模型：抽样调查、回归分析、独立性检验、决策。
  • 几何模型：长度、面积、体积、路径。
  • 优化模型：利润最大、成本最小、用料最省。

14.6.4 函数模型的增长差异

  • 一次函数匀速增长。
  • 指数函数 $y=a^x$（$a>1$）增长越来越快，最终会超过一次函数、幂函数。
  • 对数函数 $y=\log_ax$（$a>1$）增长越来越慢。
  • 幂函数 $y=x^n$（$n>0$）的增长速度与 $n$ 有关。
  • 选择模型时，要结合散点图的形状和实际背景。

14.6.5 建模报告的常见结构

  • 摘要：简要说明问题、方法、结论。
  • 问题重述：说明实际问题的背景和要求。
  • 模型假设：列出简化假设及其依据。
  • 符号说明：说明所用符号的含义。
  • 模型建立：写出数学关系式。
  • 模型求解：给出求解过程和结果。
  • 模型检验：分析结果的合理性。
  • 模型评价：说明模型的优点、缺点和改进方向。

14.7 统计综合

  • 抽样方法的选择：总体较小用简单随机抽样，层间差异明显用分层抽样，总体较大用系统抽样。
  • 统计图表：直方图看分布，折线图看趋势，条形图比数量，扇形图看比例。
  • 数字特征：平均数、中位数、众数看集中趋势；方差、标准差看离散程度。
  • 回归分析：先画散点图，再求回归方程，最后用 $R^2$ 和残差判断拟合效果。
  • 独立性检验：列联表、卡方统计量、临界值、统计结论。
  • 统计结论具有随机性，不能把样本结论绝对化。

练习

  1. 某校高一年级有 $600$ 人，高二年级有 $400$ 人，高三年级有 $300$ 人。用分层抽样从中抽取 $130$ 人，求各年级应抽取的人数。

  2. 从 $1000$ 人中用系统抽样抽取 $50$ 人，分段间隔是多少？若第一组抽到编号 $8$，求第 $5$ 个被抽到的编号。

  3. 某频率分布直方图中，某组的频率为 $0.2$，组距为 $10$。求该组的 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$；若样本容量为 $100$，求该组的频数。

  4. 求数据 $2,3,3,5,7$ 的平均数、中位数和众数。

  5. 求数据 $1,2,3,4,5$ 的平均数、方差和标准差。

  6. 已知一组数据的平均数为 $10$，方差为 $4$。求数据 $2x-1$ 的平均数和方差。

  7. 已知变量 $x,y$ 的样本中心为 $(2,5)$，回归直线的斜率为 $1.5$。求回归直线方程，并预测 $x=4$ 时 $y$ 的值。

  8. 已知两个变量的样本相关系数 $r=0.9$。说明这两个变量的相关程度。

  9. 某独立性检验中，计算得到 $\chi^2=4.5$。在犯错误概率不超过 $0.05$ 的前提下，可以得出什么结论？

  10. 求数据 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 的第 $75$ 百分位数。

  11. 某公司前几年的利润增长较快，后来增长逐渐变慢。从一次函数、指数函数、对数函数中选择一个较合适的模型，并说明理由。

  12. 设计一个测量学校教学楼高度的方案，说明所用的数学知识和主要步骤。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等。 （2）分层抽样中各层抽取的个体数必须相同。 （3）回归直线一定经过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。 （4）两个变量相关，就说明它们之间有因果关系。

  2. 某单位有老年人 $120$ 人、中年人 $80$ 人、青年人 $60$ 人。用分层抽样抽取 $26$ 人，求各层应抽取的人数。

  3. 某频率分布直方图中，某组的频率为 $0.3$，组距为 $5$。求该组的 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$；若样本容量为 $200$，求该组的频数。

  4. 求数据 $3,4,4,6,8$ 的平均数、中位数、众数和方差。

  5. 已知一组数据的平均数为 $5$，方差为 $9$。求数据 $-2x+3$ 的平均数和方差。

  6. 已知变量 $x,y$ 的对应数据为：

$x$ $1$ $2$ $3$ $4$
$y$ $2$ $3$ $5$ $6$

求回归直线方程，并预测 $x=5$ 时 $y$ 的值。

  1. 某回归模型的决定系数 $R^2=0.95$。说明该模型的拟合效果。

  2. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 已知回归方程为 $\hat{y}=2x+1$，当 $x=10$ 时，$\hat{y}=21$，所以 $x=10$ 时的实际值一定为 $21$。

  3. 写出满足下列条件的一个统计问题各一个。 （1）适合用分层抽样的问题。 （2）适合用系统抽样的问题。 （3）适合用独立性检验的问题。

  4. 某校随机调查了 $100$ 名学生，其中男生 $50$ 人、女生 $50$ 人。男生中喜欢数学的有 $30$ 人，女生中喜欢数学的有 $20$ 人。 （1）列出 $2\times2$ 列联表。 （2）计算 $\chi^2$。 （3）在犯错误概率不超过 $0.05$ 的前提下，能否认为性别与是否喜欢数学有关？

参考答案与提示

  1. 总人数 $600+400+300=1300$，抽样比为 $\frac{130}{1300}=\frac1{10}$。高一抽取 $60$ 人，高二抽取 $40$ 人，高三抽取 $30$ 人。
  2. 分段间隔为 $\frac{1000}{50}=20$；第 $5$ 个编号为 $8+4\times20=88$。
  3. $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=\frac{0.2}{10}=0.02$；频数为 $100\times0.2=20$。
  4. 平均数 $\frac{2+3+3+5+7}{5}=4$；中位数为 $3$；众数为 $3$。
  5. 平均数 $\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$；方差 $\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$；标准差 $\sqrt2$。
  6. 平均数 $2\times10-1=19$；方差 $2^2\times4=16$。
  7. 回归直线方程 $\hat{y}=1.5x+\hat{a}$，由 $\hat{a}=5-1.5\times2=2$，得 $\hat{y}=1.5x+2$。当 $x=4$ 时，$\hat{y}=1.5\times4+2=8$。
  8. $r=0.9$ 表示正相关程度较强，两个变量有较强的线性相关关系。
  9. 因为 $4.5>3.841$，所以在犯错误概率不超过 $0.05$ 的前提下，认为两个变量有关。
  10. $n=10$，$i=10\times75%=7.5$ 不是整数，取第 $8$ 项，所以第 $75$ 百分位数为 $8$。
  11. 选择对数函数模型较合适。因为利润增长逐渐变慢，而对数函数的增长速度越来越慢，符合这一变化趋势。
  12. 方案示例：在晴天，用测角仪测量教学楼顶部和底部的仰角、俯角，测量观测点到教学楼底部的水平距离，利用直角三角形的正切关系计算教学楼高度；也可以利用相似三角形，用一根已知长度的标杆和影长比例测量。主要步骤：测量数据、建立直角三角形或相似三角形模型、计算高度、检验结果。

检测题参考答案

  1. （1）正确，简单随机抽样是等概率抽样；（2）错误，分层抽样按各层在总体中的比例抽取，各层人数一般不相同；（3）正确，回归直线必过样本中心点；（4）错误，相关关系不等于因果关系。
  2. 总人数 $120+80+60=260$，抽样比为 $\frac{26}{260}=\frac1{10}$。老年人抽取 $12$ 人，中年人抽取 $8$ 人，青年人抽取 $6$ 人。
  3. $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=\frac{0.3}{5}=0.06$；频数为 $200\times0.3=60$。
  4. 平均数 $\frac{3+4+4+6+8}{5}=5$；中位数为 $4$；众数为 $4$；方差 $\frac{(3-5)^2+(4-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2}{5}=\frac{4+1+1+1+9}{5}=3.2$。
  5. 平均数 $-2\times5+3=-7$；方差 $(-2)^2\times9=36$。
  6. $\bar{x}=2.5$，$\bar{y}=4$。$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=(-1.5)(-2)+(-0.5)(-1)+(0.5)(1)+(1.5)(2)=7$，$\sum(x_i-\bar{x})^2=2.25+0.25+0.25+2.25=5$。所以 $\hat{b}=\frac75=1.4$，$\hat{a}=4-1.4\times2.5=0.5$，回归方程为 $\hat{y}=1.4x+0.5$。当 $x=5$ 时，$\hat{y}=1.4\times5+0.5=7.5$。
  7. $R^2=0.95$ 表示模型能解释约 $95%$ 的因变量变化，拟合效果较好。
  8. 不正确。回归方程给出的是预测值，不是实际值；$x=10$ 时的实际值可能不等于 $21$，还可能受到随机误差的影响。
  9. 示例：（1）按年级或性别分层调查学生的身高；（2）从编号连续的 $1000$ 名学生中每隔一定编号抽取一人；（3）调查性别与是否喜欢某项运动是否有关。
  10. （1）列联表：
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生 $30$ $20$ $50$
女生 $20$ $30$ $50$
合计 $50$ $50$ $100$ 
（2）$\chi^2=\frac{100\times(30\times30-20\times20)^2}{50\times50\times50\times50}=\frac{100\times(900-400)^2}{6250000}=\frac{100\times250000}{6250000}=4$。
（3）因为 $4>3.841$，所以在犯错误概率不超过 $0.05$ 的前提下，可以认为性别与是否喜欢数学有关。