第 8 章空间向量与立体几何

本章把空间向量、空间直角坐标系、法向量、空间角和距离合并在一起。用向量方法解决立体几何问题，核心是“建系—求坐标—求向量—求角或距离”。

8.1 空间向量及其运算

8.1.1 空间向量的概念

在空间中，既有大小又有方向的量叫空间向量。
空间向量可以用有向线段表示，也可以用字母 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 表示。
空间向量的模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念与平面向量类似。
空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此平面向量的线性运算在空间中仍然适用。

8.1.2 空间向量的线性运算

加法：三角形法则、平行四边形法则。
减法：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$。
数乘：$\lambda\vec{a}$ 的模为 $|\lambda||\vec{a}|$，方向由 $\lambda$ 的符号决定。
运算律与平面向量相同： $$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $$ $$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $$ $$ \lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b} $$

8.1.3 共线向量与共面向量

共线向量定理：对空间任意两个向量 $\vec{a},\vec{b}$（$\vec{b}\ne\vec{0}$），$\vec{a}\parallel\vec{b}$ 的充要条件是存在实数 $\lambda$，使 $\vec{a}=\lambda\vec{b}$。
共面向量定理：如果两个向量 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线，那么向量 $\vec{p}$ 与 $\vec{a},\vec{b}$ 共面的充要条件是存在唯一的一对实数 $x,y$，使： $$ \vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b} $$
空间一点 $P$ 在平面 $ABC$ 内的充要条件是存在实数 $x,y$，使： $$ \vec{OP}=\vec{OA}+x\vec{AB}+y\vec{AC} $$ 或 $$ \vec{OP}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}\quad(x+y+z=1) $$

8.1.4 空间向量基本定理

如果三个向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 不共面，那么对空间任意一个向量 $\vec{p}$，存在唯一的有序实数组 $(x,y,z)$，使：

$$ \vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c} $$

不共面的三个向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 叫空间的一个基底。
空间任意三个不共面的向量都可以作为基底。
空间向量基本定理是建立空间直角坐标系和用坐标表示向量的理论基础。

8.2 空间直角坐标系

8.2.1 空间直角坐标系

在空间中，以一点 $O$ 为原点，建立三条两两垂直的数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，组成空间直角坐标系 $Oxyz$。
空间中的点 $P$ 可以用有序实数组 $(x,y,z)$ 表示，叫点 $P$ 的坐标。
向量 $\vec{OP}=(x,y,z)$。
空间两点 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$ 之间的距离： $$ |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} $$
线段 $AB$ 的中点坐标为： $$ \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right) $$

8.2.2 空间向量的坐标运算

数量积：$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$。
垂直：$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。

设 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则：

$\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
$\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。
$\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1)$。
$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$。
$\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$。
$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。
$\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow$ 存在 $\lambda$，使 $x_1=\lambda x_2$，$y_1=\lambda y_2$，$z_1=\lambda z_2$（$\vec{b}\ne\vec{0}$）。

空间直角坐标系与空间向量

8.3 方向向量与法向量

8.3.1 方向向量

与直线 $l$ 平行的非零向量叫直线 $l$ 的方向向量。
直线的方向向量不唯一，任意与直线平行的非零向量都可以作为方向向量。
若直线 $l$ 过点 $A$，方向向量为 $\vec{d}$，则直线 $l$ 上的任意一点 $P$ 满足： $$ \vec{OP}=\vec{OA}+t\vec{d}\quad(t\in\mathbb{R}) $$

8.3.2 法向量

与平面 $\alpha$ 垂直的非零向量叫平面 $\alpha$ 的法向量。

平面的法向量不唯一，任意与平面垂直的非零向量都可以作为法向量。
求平面的法向量：
1. 在平面内找两个不共线的向量 $\vec{a},\vec{b}$；
2. 设平面的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$；
3. 由 $\vec{n}\cdot\vec{a}=0$，$\vec{n}\cdot\vec{b}=0$ 列方程组；
4. 取一组非零解，得到法向量。

8.3.3 用向量判断平行与垂直

设直线 $l_1,l_2$ 的方向向量分别为 $\vec{d}_1,\vec{d}_2$，平面 $\alpha,\beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1,\vec{n}_2$：

$l_1\parallel l_2\Leftrightarrow\vec{d}_1\parallel\vec{d}_2$。
$l_1\perp l_2\Leftrightarrow\vec{d}_1\perp\vec{d}_2$。
$l_1\parallel\alpha\Leftrightarrow\vec{d}_1\perp\vec{n}_1$（且直线不在平面内）。
$l_1\perp\alpha\Leftrightarrow\vec{d}_1\parallel\vec{n}_1$。
$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n}_1\parallel\vec{n}_2$。
$\alpha\perp\beta\Leftrightarrow\vec{n}_1\perp\vec{n}_2$。

8.4 空间角

8.4.1 异面直线所成的角

设两条异面直线的方向向量分别为 $\vec{a},\vec{b}$，它们所成的角为 $\theta$（$0^\circ<\theta\le90^\circ$），则：

$$ \cos\theta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} $$

异面直线所成角的范围是 $(0^\circ,90^\circ]$。
用向量求异面直线所成角时，要加绝对值，因为方向向量的夹角可能是钝角。

8.4.2 直线与平面所成的角

设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{d}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，直线与平面所成的角为 $\theta$（$0^\circ\le\theta\le90^\circ$），则：

$$ \sin\theta=\frac{|\vec{d}\cdot\vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|} $$

直线与平面所成角的范围是 $[0^\circ,90^\circ]$。
用向量求线面角时，先求方向向量与法向量夹角的余弦，再转化为正弦。

8.4.3 二面角

设二面角的两个半平面的法向量分别为 $\vec{n}_1,\vec{n}_2$，二面角的平面角为 $\theta$（$0^\circ\le\theta\le180^\circ$），则：

$$ |\cos\theta|=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} $$

或

$$ \cos\theta=\pm\frac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} $$

二面角的范围是 $[0^\circ,180^\circ]$。
用法向量求二面角时，要根据图形判断二面角是锐角还是钝角，确定符号。
如果题目只问“两个平面所成的角”，通常取锐角或直角。

8.5 空间距离

8.5.1 点到平面的距离

设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，$A$ 是平面 $\alpha$ 内一点，$P$ 是平面外一点，则点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离：

$$ d=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} $$

这个公式的本质是向量 $\vec{AP}$ 在法向量方向上的投影的绝对值。
求点到平面的距离，关键是求出平面的法向量。

8.5.2 直线到平面的距离、平面到平面的距离

当直线与平面平行时，直线到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离。
当两个平面平行时，两个平面间的距离等于其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离。
这些距离都可以转化为点到平面的距离。

8.5.3 异面直线间的距离（拓展）

异面直线间的距离是指两条异面直线的公垂线段的长度。
用向量求异面直线间的距离，可以借助公垂线的方向向量，或建立坐标系求共同垂足。
高中阶段更常用“转化为点到平面距离”的方法。

8.6 空间向量的应用

8.6.1 用向量证明平行与垂直

证明线线平行：证明方向向量共线。
证明线线垂直：证明方向向量数量积为 $0$。
证明线面平行：证明方向向量与平面法向量垂直。
证明线面垂直：证明方向向量与平面法向量共线。
证明面面平行：证明法向量共线。
证明面面垂直：证明法向量垂直。

8.6.2 用向量求角与距离

求异面直线所成角：方向向量夹角余弦的绝对值。
求线面角：方向向量与法向量夹角的正弦。
求二面角：法向量夹角的余弦，结合图形确定符号。
求点到平面的距离：投影公式。
求平行线面、平行面面距离：转化为点到平面距离。

8.6.3 建系原则

选择三条两两垂直的直线作为坐标轴，通常选正方体、长方体、直棱柱的棱。
选择方便表示各点坐标的原点，通常选一个顶点或底面中心。
建立坐标系后，写出相关点的坐标，再求方向向量、法向量。
建系要合理，尽量使点的坐标简单，减少计算量。

练习

已知空间向量 $\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,-1,1)$。求 $\vec{a}+\vec{b}$、$2\vec{a}-\vec{b}$、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ 和 $|\vec{a}|$。
判断下列三个向量是否共面：$\vec{a}=(1,0,1)$，$\vec{b}=(0,1,1)$，$\vec{c}=(1,1,2)$。
已知 $A(1,0,0)$，$B(0,2,0)$，$C(0,0,3)$。求 $\vec{AB}$、$\vec{AC}$ 和 $\cos\angle BAC$。
求过点 $A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$ 的平面的一个法向量。
在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角。
在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求直线 $A_1B$ 与平面 $ABCD$ 所成的角。
求点 $P(1,2,3)$ 到平面 $x+2y+2z-1=0$ 的距离。
在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：$AC\perp$ 平面 $BDD_1B_1$（用向量方法）。
已知直线 $l$ 的方向向量 $\vec{d}=(1,2,-1)$，平面 $\alpha$ 的法向量 $\vec{n}=(2,-1,0)$。判断直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系。
已知平面 $\alpha$ 的法向量 $\vec{n}_1=(1,1,0)$，平面 $\beta$ 的法向量 $\vec{n}_2=(1,-1,0)$。判断平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系。
在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求点 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离。
说明用向量方法解决立体几何问题的一般步骤。

检测题

判断下面各题，并说明理由。（1）空间中任意两个向量都共面。（2）空间中任意三个向量都共面。（3）若两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直。（4）若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直。
已知 $\vec{a}=(1,-1,2)$，$\vec{b}=(2,1,-1)$。求 $\vec{a}\cdot\vec{b}$、$|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$ 和 $\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$。
求过点 $A(1,1,1)$、$B(2,0,1)$、$C(1,0,2)$ 的平面的一个法向量。
在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求异面直线 $AB_1$ 与 $BC_1$ 所成的角。
在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求直线 $A_1B$ 与平面 $BCC_1B_1$ 所成的角。
求点 $P(2,1,3)$ 到平面 $2x-y+2z-1=0$ 的距离。
已知平面 $\alpha$ 经过点 $A(1,0,0)$，法向量为 $\vec{n}=(1,1,1)$。求点 $P(2,1,1)$ 到平面 $\alpha$ 的距离。
下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。已知两直线的方向向量分别为 $\vec{a}=(1,0,1)$，$\vec{b}=(-1,0,-1)$，因为 $\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\ne0$，所以两直线不平行。
写出满足下列条件的空间向量或平面各一个。（1）一个与 $\vec{a}=(1,2,3)$ 垂直的非零向量。（2）一个以 $\vec{n}=(1,1,1)$ 为法向量且过原点的平面。（3）一个与平面 $x+y+z=1$ 平行的平面。
在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，棱长为 $1$。建立空间直角坐标系，求平面 $A_1BD$ 的一个法向量，并求点 $C$ 到平面 $A_1BD$ 的距离。

参考答案与提示

$\vec{a}+\vec{b}=(3,1,4)$；$2\vec{a}-\vec{b}=(0,5,5)$；$\vec{a}\cdot\vec{b}=2-2+3=3$；$|\vec{a}|=\sqrt{14}$。
$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$，所以三个向量共面。
$\vec{AB}=(-1,2,0)$，$\vec{AC}=(-1,0,3)$；$\cos\angle BAC=\frac{1}{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac{\sqrt2}{10}$。
$\vec{AB}=(-1,1,0)$，$\vec{AC}=(-1,0,1)$，取法向量 $\vec{n}=(1,1,1)$。
以 $A$ 为原点建系，方向向量 $\vec{A_1B}=(1,0,-1)$，$\vec{B_1C}=(0,1,-1)$，$\cos\theta=\frac{1}{2}$，所以所成角为 $60^\circ$。
平面 $ABCD$ 的法向量为 $(0,0,1)$，$\vec{A_1B}=(1,0,-1)$，$\sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}$，所以所成角为 $45^\circ$。
$d=\frac{|1+4+6-1|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{10}{3}$。
以 $A$ 为原点建系，$\vec{AC}=(1,1,0)$，平面 $BDD_1B_1$ 的法向量可取 $(1,1,0)$，所以 $\vec{AC}$ 与法向量平行，$AC\perp$ 平面 $BDD_1B_1$。
$\vec{d}\cdot\vec{n}=2-2=0$，所以 $l\parallel\alpha$ 或 $l\subset\alpha$。
$\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=1-1=0$，所以 $\alpha\perp\beta$。
以 $D$ 为原点建系，点 $A(2,0,0)$，$A_1(2,0,2)$，$B(2,2,0)$，$D(0,0,0)$。平面 $A_1BD$ 过 $D$，由 $\vec{DA_1}=(2,0,2)$、$\vec{DB}=(2,2,0)$，可取法向量 $\vec{n}=(-1,1,1)$。距离 $d=\frac{|(2,0,0)\cdot(-1,1,1)|}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}$。
建系、写点坐标、求方向向量或法向量、用向量公式求角或距离、回到几何结论。

检测题参考答案

（1）正确，空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内；（2）错误，空间中三个向量不一定共面，例如正方体的三条棱所在向量；（3）正确，法向量垂直意味着平面垂直；（4）正确，方向向量与法向量平行意味着直线与平面垂直。
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2-1-2=-1$；$|\vec{a}|=\sqrt6$；$|\vec{b}|=\sqrt6$；$\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=-\frac16$。
$\vec{AB}=(1,-1,0)$，$\vec{AC}=(0,-1,1)$，取法向量 $\vec{n}=(1,1,1)$（满足 $1-1=0$，$-1+1=0$）。
方向向量 $\vec{AB_1}=(1,0,1)$，$\vec{BC_1}=(0,1,1)$，$\cos\theta=\frac{1}{2}$，所成角 $60^\circ$。
平面 $BCC_1B_1$ 的法向量可取 $(1,0,0)$，$\vec{A_1B}=(1,0,-1)$，$\sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}$，所成角 $45^\circ$。
$d=\frac{|4-1+6-1|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{8}{3}$。
平面方程 $x+y+z-1=0$，$d=\frac{|2+1+1-1|}{\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$。
不正确。$\vec{a}=(-1)\vec{b}$，两方向向量共线，所以两直线平行（或重合）；数量积不为 $0$ 只能说明不垂直，不能说明不平行。
示例：（1）$(2,-1,0)$；（2）$x+y+z=0$；（3）$x+y+z=2$。
以 $D$ 为原点，$DA,DC,DD_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴。$A_1(1,0,1)$，$B(1,1,0)$，$D(0,0,0)$，$C(0,1,0)$。平面 $A_1BD$ 的法向量可取 $(-1,1,1)$。点 $C$ 到平面的距离 $d=\frac{|(0,1,0)\cdot(-1,1,1)|}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$。

第08章-空间向量与立体几何

第 8 章 空间向量与立体几何