附录公式定理速查

一、集合与常用逻辑用语

子集个数：含 $n$ 个元素的集合有 $2^n$ 个子集，$2^n-1$ 个真子集，$2^n-2$ 个非空真子集。
容斥原理： $$ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| $$ $$ |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C| $$
德摩根律： $$ \complement_U(A\cap B)=(\complement_UA)\cup(\complement_UB) $$ $$ \complement_U(A\cup B)=(\complement_UA)\cap(\complement_UB) $$
充分条件：$p\Rightarrow q$，$p$ 是 $q$ 的充分条件。
必要条件：$q\Rightarrow p$，$p$ 是 $q$ 的必要条件。
充要条件：$p\Leftrightarrow q$。
全称命题 $\forall x\in M,p(x)$ 的否定是 $\exists x\in M,\neg p(x)$。
存在命题 $\exists x\in M,p(x)$ 的否定是 $\forall x\in M,\neg p(x)$。

二、不等式

基本不等式： $$ a+b\ge2\sqrt{ab}\quad(a>0,b>0) $$ $$ ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 $$ $$ a^2+b^2\ge2ab $$
三元基本不等式： $$ a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\quad(a,b,c>0) $$
一元二次不等式（$a>0$）：
- $\Delta>0$：$ax^2+bx+c>0$ 的解集为 $(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$，$ax^2+bx+c<0$ 的解集为 $(x_1,x_2)$；
- $\Delta=0$：$ax^2+bx+c>0$ 的解集为 ${x\mid x\ne x_0}$，$ax^2+bx+c<0$ 的解集为 $\varnothing$；
- $\Delta<0$：$ax^2+bx+c>0$ 的解集为 $\mathbb{R}$，$ax^2+bx+c<0$ 的解集为 $\varnothing$。
绝对值不等式： $$ |x|<a\Leftrightarrow-a<x<a\quad(a>0) $$ $$ |x|>a\Leftrightarrow x<-a\text{ 或 }x>a\quad(a>0) $$ $$ ||a|-|b||\le|a\pm b|\le|a|+|b| $$
分式不等式： $$ \frac{f(x)}{g(x)}>0\Leftrightarrow f(x)g(x)>0 $$ $$ \frac{f(x)}{g(x)}\ge0\Leftrightarrow f(x)g(x)\ge0\text{ 且 }g(x)\ne0 $$
高次不等式：因式分解后，用穿根法（奇穿偶不穿）写出解集。

三、函数

常见定义域限制：
- 分式：分母不为 $0$；
- 偶次根式：被开方数大于等于 $0$；
- 对数：真数大于 $0$，底数大于 $0$ 且不等于 $1$；
- 正切：$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$。
奇偶性：
- 偶函数：$f(-x)=f(x)$，图像关于 $y$ 轴对称；
- 奇函数：$f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称。
单调性：
- $f'(x)>0$：函数单调递增；
- $f'(x)<0$：函数单调递减。
周期性：若 $f(x+T)=f(x)$，则 $T$ 是函数的一个周期。
对称性：
- $f(a+x)=f(a-x)$：图像关于直线 $x=a$ 对称；
- $f(a+x)=-f(a-x)$：图像关于点 $(a,0)$ 中心对称。
指数运算： $$ a^ma^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad (ab)^n=a^nb^n $$ $$ a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^0=1\quad(a\ne0) $$
对数运算： $$ \log_a(MN)=\log_aM+\log_aN $$ $$ \log_a\frac MN=\log_aM-\log_aN $$ $$ \log_aM^n=n\log_aM $$ $$ \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} $$ $$ a^{\log_aN}=N $$
零点存在定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个零点。
图像变换：$y=f(x-a)$ 右移 $a$；$y=f(x)+b$ 上移 $b$；$y=f(\omega x)$ 横坐标变为原来的 $\frac1{|\omega|}$；$y=Af(x)$ 纵坐标变为原来的 $|A|$ 倍。
对勾函数 $y=x+\frac ax$（$a>0$）：增区间 $(-\infty,-\sqrt a)$、$(\sqrt a,+\infty)$，减区间 $(-\sqrt a,0)$、$(0,\sqrt a)$；值域 $(-\infty,-2\sqrt a]\cup[2\sqrt a,+\infty)$。

四、三角函数与解三角形

弧度制：$\pi$ 弧度 $=180^\circ$。
弧长与扇形面积： $$ l=\alpha r,\quad S=\frac12lr=\frac12\alpha r^2 $$
同角三角函数关系： $$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\quad \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $$
诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。
和差角公式： $$ \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $$ $$ \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $$ $$ \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} $$
二倍角公式： $$ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha $$ $$ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha $$ $$ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} $$
降幂公式： $$ \sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},\quad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2} $$
辅助角公式： $$ a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi) $$ 其中 $\tan\varphi=\frac ba$。
正弦定理： $$ \frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R $$
余弦定理： $$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A $$ $$ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
三角形面积： $$ S=\frac12ab\sin C=\frac12bc\sin A=\frac12ca\sin B $$
三角形内角和：$A+B+C=\pi$，$\sin(A+B)=\sin C$，$\cos(A+B)=-\cos C$。

特殊角的三角函数值

$\alpha$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$0$
$\tan\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	不存在

五、平面向量

坐标运算：设 $\vec a=(x_1,y_1)$，$\vec b=(x_2,y_2)$。
加减法： $$ \vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2) $$
数乘：$\lambda\vec a=(\lambda x_1,\lambda y_1)$。
模： $$ |\vec a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2} $$
数量积： $$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2 $$
夹角： $$ \cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} $$
垂直： $$ \vec a\perp\vec b\Leftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0 $$
平行： $$ \vec a\parallel\vec b\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0 $$
投影：$\vec b$ 在 $\vec a$ 方向上的投影为 $\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|}$。

六、复数

代数形式：$z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$），$i^2=-1$。
模：$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。
共轭复数：$\overline z=a-bi$。
复数相等：$a+bi=c+di\Leftrightarrow a=c$ 且 $b=d$。
四则运算： $$ (a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i $$ $$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i $$ $$ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} $$
重要关系： $$ z\overline z=|z|^2 $$
$i$ 的幂的周期性： $$ i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i $$
几何意义：$z=a+bi$ 对应复平面内的点 $(a,b)$；$|z-z_0|$ 表示点 $z$ 到点 $z_0$ 的距离。

七、数列

通项与前 $n$ 项和的关系： $$ a_n=\begin{cases}S_1,&n=1\S_n-S_{n-1},&n\ge2\end{cases} $$
等差数列： $$ a_n=a_1+(n-1)d $$ $$ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d $$
- 若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。
等比数列： $$ a_n=a_1q^{n-1} $$ $$ S_n=\begin{cases}na_1,&q=1\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},&q\ne1\end{cases} $$
- 若 $m+n=p+q$，则 $a_ma_n=a_pa_q$。
等差数列前 $n$ 项和的最值：若 $a_1>0,d<0$，在 $a_n\ge0$ 且 $a_{n+1}\le0$ 处 $S_n$ 最大；若 $a_1<0,d>0$，在 $a_n\le0$ 且 $a_{n+1}\ge0$ 处 $S_n$ 最小。
常用裂项： $$ \frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1} $$ $$ \frac1{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right) $$
常用求和： $$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$ $$ 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ $$ 1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 $$
数学归纳法步骤：
1. 证明 $n=n_0$ 时命题成立；
2. 假设 $n=k$（$k\ge n_0$）时命题成立，证明 $n=k+1$ 时命题也成立。

八、立体几何

柱体：$V=Sh$。
锥体：$V=\frac13Sh$。
台体：$V=\frac13h(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$。
球：$S=4\pi R^2$，$V=\frac43\pi R^3$。
圆柱：$S_{\text{侧}}=2\pi rh$，$S_{\text{全}}=2\pi rh+2\pi r^2$，$V=\pi r^2h$。
圆锥：$S_{\text{侧}}=\pi rl$，$S_{\text{全}}=\pi rl+\pi r^2$，$V=\frac13\pi r^2h$，$l^2=r^2+h^2$。
圆台：$S_{\text{侧}}=\pi(r+r')l$，$V=\frac13\pi h(r^2+rr'+r'^2)$。
线面平行判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行。
线面平行性质：线面平行，过该直线的平面与原平面相交，则直线与交线平行。
面面平行判定：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行。
线面垂直判定：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直。
线面垂直性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线，则面面垂直。
面面垂直性质：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
棱长为 $a$ 的正方体：外接球半径 $\frac{\sqrt3}{2}a$，内切球半径 $\frac a2$。
长、宽、高分别为 $a,b,c$ 的长方体：外接球半径 $\frac12\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。

九、空间向量与立体几何

空间向量坐标运算与平面向量类似。
共线：$\vec a\parallel\vec b\Leftrightarrow\vec a=\lambda\vec b$。
共面：$\vec a,\vec b,\vec c$ 共面 $\Leftrightarrow$ 存在实数 $x,y$，使 $\vec c=x\vec a+y\vec b$（$\vec a,\vec b$ 不共线）。
线线角： $$ \cos\theta=|\cos\langle\vec a,\vec b\rangle|=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a||\vec b|} $$
线面角： $$ \sin\theta=|\cos\langle\vec a,\vec n\rangle|=\frac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec a||\vec n|} $$ 其中 $\vec a$ 是直线的方向向量，$\vec n$ 是平面的法向量。
二面角：设两个平面的法向量分别为 $\vec n_1,\vec n_2$，则二面角的平面角 $\theta$ 满足： $$ |\cos\theta|=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|} $$ 具体是锐角还是钝角，要结合图形判断。
点到平面的距离： $$ d=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec n|}{|\vec n|} $$ 其中 $A$ 是平面内一点，$\vec n$ 是平面的法向量。
线面平行：$\vec a\cdot\vec n=0$。
线面垂直：$\vec a\parallel\vec n$。
面面平行：$\vec n_1\parallel\vec n_2$。
面面垂直：$\vec n_1\cdot\vec n_2=0$。

十、直线与圆

斜率： $$ k=\tan\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(x_1\ne x_2) $$
直线方程：
- 点斜式：$y-y_0=k(x-x_0)$；
- 斜截式：$y=kx+b$；
- 两点式：$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$；
- 截距式：$\frac xa+\frac yb=1$；
- 一般式：$Ax+By+C=0$。
平行与垂直：
- $l_1\parallel l_2\Leftrightarrow A_1B_2-A_2B_1=0$；
- $l_1\perp l_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0$；
- 若斜率存在，$l_1\perp l_2\Leftrightarrow k_1k_2=-1$。
距离公式： $$ |P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$ $$ d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$ $$ d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}\quad(\text{两平行线 }Ax+By+C_1=0,\ Ax+By+C_2=0) $$
圆的标准方程： $$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $$
圆的一般方程： $$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\quad(D^2+E^2-4F>0) $$
- 圆心：$\left(-\frac D2,-\frac E2\right)$；
- 半径：$r=\frac12\sqrt{D^2+E^2-4F}$。
直线与圆的位置关系：
- $d<r$：相交；
- $d=r$：相切；
- $d>r$：相离。
弦长： $$ |AB|=2\sqrt{r^2-d^2} $$
圆 $x^2+y^2=r^2$ 上一点 $(x_0,y_0)$ 处的切线： $$ x_0x+y_0y=r^2 $$
两圆位置关系：
- $d>R+r$：外离；
- $d=R+r$：外切；
- $|R-r|<d<R+r$：相交；
- $d=|R-r|$：内切；
- $d<|R-r|$：内含。

十一、圆锥曲线

椭圆

定义：$|PF_1|+|PF_2|=2a$（$2a>2c$）。
标准方程： $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0) $$
关系：$a^2=b^2+c^2$。
离心率：$e=\frac ca$（$0<e<1$）。
焦点：$(\pm c,0)$（焦点在 $x$ 轴）或 $(0,\pm c)$（焦点在 $y$ 轴）。
通径：$\frac{2b^2}{a}$。
焦半径（焦点在 $x$ 轴）：$|PF_1|=a+ex_0$，$|PF_2|=a-ex_0$。
焦点三角形：$|PF_1|+|PF_2|=2a$。

双曲线

定义：$||PF_1|-|PF_2||=2a$（$0<2a<2c$）。
标准方程： $$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>0,b>0) $$
关系：$c^2=a^2+b^2$。
离心率：$e=\frac ca$（$e>1$）。
渐近线：$y=\pm\frac bax$（焦点在 $x$ 轴）或 $y=\pm\frac abx$（焦点在 $y$ 轴）。
通径：$\frac{2b^2}{a}$。
焦点到渐近线的距离等于 $b$。

抛物线

定义：$|PF|=d(P,l)$。
标准方程： $$ y^2=2px,\quad y^2=-2px,\quad x^2=2py,\quad x^2=-2py\quad(p>0) $$
焦点与准线：

方程	焦点	准线
$y^2=2px$	$(\frac p2,0)$	$x=-\frac p2$
$y^2=-2px$	$(-\frac p2,0)$	$x=\frac p2$
$x^2=2py$	$(0,\frac p2)$	$y=-\frac p2$
$x^2=-2py$	$(0,-\frac p2)$	$y=\frac p2$

离心率：$e=1$。
通径：$2p$。
焦半径：$|PF|=x_0+\frac p2$（对 $y^2=2px$）。
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。

直线与圆锥曲线

弦长： $$ |AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac1{k^2}}|y_1-y_2| $$
椭圆中点弦斜率： $$ k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0} $$
双曲线中点弦斜率： $$ k=\frac{b^2x_0}{a^2y_0} $$
抛物线 $y^2=2px$ 中点弦斜率： $$ k=\frac p{y_0} $$
抛物线焦点弦长：$|AB|=\frac{2p}{\sin^2\theta}$。

十二、导数

导数定义： $$ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
基本导数公式： $$ C'=0,\quad (x^n)'=nx^{n-1} $$ $$ (\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x $$ $$ (\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x,\quad (a^x)'=a^x\ln a $$ $$ (\ln x)'=\frac1x,\quad (\log_ax)'=\frac1{x\ln a} $$
运算法则： $$ (u\pm v)'=u'\pm v',\quad (uv)'=u'v+uv' $$ $$ \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} $$
复合函数求导： $$ y'=f'(g(x))g'(x) $$
切线方程： $$ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) $$
单调性：
- $f'(x)>0$：递增；
- $f'(x)<0$：递减。
极值判别：
- $f'(x_0)=0$，左正右负：极大值点；
- $f'(x_0)=0$，左负右正：极小值点。
最值：比较区间内极值与端点函数值。
常用不等式： $$ \mathrm{e}^x\ge x+1,\quad \ln x\le x-1\quad(x>0) $$
定积分（拓展）： $$ \int_a^b f(x),\mathrm{d}x=F(b)-F(a)\quad(F'(x)=f(x)) $$

十三、计数原理与二项式定理

分类加法计数原理：$N=m_1+m_2+\cdots+m_n$。
分步乘法计数原理：$N=m_1m_2\cdots m_n$。
排列数： $$ \mathrm{A}_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} $$
组合数： $$ \mathrm{C}_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} $$
组合数性质： $$ \mathrm{C}_n^m=\mathrm{C}n^{n-m} $$ $$ \mathrm{C}{n+1}^m=\mathrm{C}_n^m+\mathrm{C}_n^{m-1} $$ $$ \mathrm{C}_n^0=\mathrm{C}_n^n=1,\quad \mathrm{C}_n^1=n $$
二项式定理： $$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{C}_n^ka^{n-k}b^k $$
通项： $$ T_{k+1}=\mathrm{C}_n^ka^{n-k}b^k $$
二项式系数和： $$ \mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\cdots+\mathrm{C}_n^n=2^n $$
奇数项与偶数项二项式系数和： $$ \mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^2+\cdots=\mathrm{C}_n^1+\mathrm{C}_n^3+\cdots=2^{n-1} $$
二项式系数最大项：
- $n$ 为偶数：中间一项；
- $n$ 为奇数：中间两项。

十四、概率与随机变量

古典概型： $$ P(A)=\frac mn $$
概率加法公式： $$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) $$
对立事件： $$ P(\overline A)=1-P(A) $$
独立事件： $$ P(AB)=P(A)P(B) $$
条件概率： $$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\quad(P(A)>0) $$
乘法公式： $$ P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) $$
全概率公式： $$ P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i) $$
贝叶斯公式（拓展）： $$ P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)} $$
分布列性质： $$ p_i\ge0,\quad \sum_{i=1}^{n}p_i=1 $$
期望： $$ E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i $$ $$ E(aX+b)=aE(X)+b $$
方差： $$ D(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(X))^2p_i=E(X^2)-[E(X)]^2 $$ $$ D(aX+b)=a^2D(X) $$
两点分布：$E(X)=p$，$D(X)=p(1-p)$。
二项分布 $B(n,p)$： $$ P(X=k)=\mathrm{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} $$ $$ E(X)=np,\quad D(X)=np(1-p) $$
超几何分布： $$ P(X=k)=\frac{\mathrm{C}M^k\mathrm{C}{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n} $$ $$ E(X)=\frac{nM}{N} $$
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$：
- 关于 $x=\mu$ 对称；
- $P(\mu-\sigma<X\le\mu+\sigma)\approx0.6827$；
- $P(\mu-2\sigma<X\le\mu+2\sigma)\approx0.9545$；
- $P(\mu-3\sigma<X\le\mu+3\sigma)\approx0.9973$。

十五、统计

平均数： $$ \bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i $$
方差： $$ s^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{x}^2 $$
标准差：$s=\sqrt{s^2}$。
线性变换：
- $x_i+b$ 的平均数为 $\bar{x}+b$，方差不变；
- $ax_i$ 的平均数为 $a\bar{x}$，方差为 $a^2s^2$；
- $ax_i+b$ 的平均数为 $a\bar{x}+b$，方差为 $a^2s^2$。
百分位数：把数据排序后计算 $i=n\times p%$，按规则取第 $p$ 百分位数。
回归直线： $$ \hat{y}=\hat{b}x+\hat{a} $$ $$ \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} $$ $$ \hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x} $$
回归直线过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。
相关系数： $$ r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}} $$
独立性检验： $$ \chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} $$
临界值：
- $\chi^2\ge3.841$：犯错误概率不超过 $0.05$；
- $\chi^2\ge6.635$：犯错误概率不超过 $0.01$；
- $\chi^2\ge10.828$：犯错误概率不超过 $0.001$。

十六、常用数值

$\sqrt2\approx1.414$，$\sqrt3\approx1.732$，$\sqrt5\approx2.236$。
$\pi\approx3.1416$，$\mathrm{e}\approx2.7183$。
$\ln2\approx0.693$，$\ln3\approx1.099$，$\ln10\approx2.303$。
$\lg2\approx0.3010$，$\lg3\approx0.4771$，$\lg5\approx0.6990$。

附录-公式定理速查

附录 公式定理速查

一、集合与常用逻辑用语

二、不等式

三、函数

四、三角函数与解三角形

特殊角的三角函数值

五、平面向量

六、复数

七、数列

八、立体几何

九、空间向量与立体几何

十、直线与圆

十一、圆锥曲线

椭圆

双曲线

抛物线

直线与圆锥曲线

十二、导数

十三、计数原理与二项式定理

十四、概率与随机变量

十五、统计

十六、常用数值

附录公式定理速查