第 5 章平面向量与复数

本章把平面向量与复数合并在一起。向量是既有大小又有方向的量，复数是实数的扩充；二者都可以用坐标表示，都具有几何意义。

5.1 平面向量的概念

5.1.1 向量的概念

既有大小又有方向的量叫向量。

向量通常用带箭头的线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
向量 $\vec{a}$ 的大小叫向量的模，记作 $|\vec{a}|$。
长度为 $0$ 的向量叫零向量，记作 $\vec{0}$；零向量的方向是任意的。
长度为 $1$ 的向量叫单位向量。
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量；零向量与任意向量平行。
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
长度相等且方向相反的向量叫相反向量。

注意：

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
共线向量不一定在同一条直线上，它们可以在平行的直线上。
零向量与任意向量共线，但零向量没有确定的方向。

5.1.2 向量的表示

几何表示：用有向线段表示。
字母表示：$\vec{a}$、$\vec{AB}$。
坐标表示：在平面直角坐标系中，向量可以用坐标 $(x,y)$ 表示。

5.2 向量的线性运算

5.2.1 向量加法

三角形法则：把两个向量首尾相接，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量，就是它们的和。
平行四边形法则：把两个向量起点重合，以它们为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线所在的向量就是它们的和。
加法交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$。
加法结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$。
$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$。

向量加法的三角形法则与平行四边形法则

5.2.2 向量减法

向量减法：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$。
几何意义：把两个向量起点重合，从减向量的终点指向被减向量的终点的向量，就是 $\vec{a}-\vec{b}$。
$\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}$。

5.2.3 数乘向量

实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda\vec{a}$ 是一个向量，它的模等于 $|\lambda||\vec{a}|$，方向规定如下：

当 $\lambda>0$ 时，$\lambda\vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相同；

当 $\lambda<0$ 时，$\lambda\vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相反；

当 $\lambda=0$ 时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$。

数乘运算律： $$ \lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a} $$ $$ (\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a} $$ $$ \lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b} $$
共线向量定理：向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$（$\vec{b}\ne\vec{0}$）共线，当且仅当存在唯一实数 $\lambda$，使 $\vec{a}=\lambda\vec{b}$。
三点共线：若 $\vec{AB}=\lambda\vec{AC}$，则 $A,B,C$ 三点共线。

5.2.4 平面向量基本定理

如果 $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 $\vec{a}$，存在唯一的一对实数 $\lambda_1,\lambda_2$，使：

$$ \vec{a}=\lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2 $$

不共线的向量 $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ 叫这一平面内所有向量的一个基底。
基底不唯一，只要两个向量不共线即可。
平面向量基本定理说明：平面内任意向量都可以用两个不共线的向量线性表示，且表示法唯一。

5.3 向量的坐标表示

5.3.1 坐标运算

设 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则：

$\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。
$\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。
$\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1)$。
若 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。
线段 $AB$ 的中点坐标为 $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$。

5.3.2 共线与垂直的坐标条件

共线：$\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$（$\vec{b}\ne\vec{0}$）。
垂直：$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0$。
注意：共线条件与垂直条件不要混淆；共线用“交叉相乘相等”，垂直用“对应相乘相加为 $0$”。

5.4 平面向量的数量积

5.4.1 数量积的定义

已知两个非零向量 $\vec{a},\vec{b}$，它们的夹角为 $\theta$，则：

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$

叫 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的数量积（内积）。

零向量与任意向量的数量积为 $0$。
数量积的结果是一个实数，不是向量。
夹角 $\theta$ 的范围是 $[0,\pi]$。
当 $\theta=0$ 时，$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$；当 $\theta=\pi$ 时，$\vec{a}\cdot\vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|$；当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。

5.4.2 数量积的坐标表示

设 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则：

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2 $$

向量的模： $$ |\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2} $$
两点间的距离： $$ |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$
夹角公式： $$ \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}} $$
垂直条件： $$ \vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0 $$

5.4.3 数量积的运算律

交换律：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$。
分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$。
数乘结合律：$(\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})$。
注意：数量积不满足结合律，即 $(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}\ne\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})$，因为左边是向量，右边也是向量，但一般方向不同。
由数量积可以求模： $$ |\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{a} $$
由数量积可以求夹角。
投影：向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $|\vec{a}|\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}$。

5.5 向量的应用

用向量证明平行、垂直、共线、线段相等。
用向量求夹角、距离、面积。
用向量解决物理中的力、速度、位移等问题。
用向量解决平面几何中的位置关系问题。
建立坐标系，把几何问题转化为向量坐标运算，是常用方法。

5.6 复数的概念

5.6.1 复数的定义

形如 $z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$）的数叫复数，其中 $i$ 叫虚数单位，规定 $i^2=-1$。

$a$ 叫复数的实部，$b$ 叫复数的虚部。
当 $b=0$ 时，$z$ 是实数；当 $b\ne0$ 时，$z$ 是虚数；当 $a=0$ 且 $b\ne0$ 时，$z$ 是纯虚数。
两个复数相等，当且仅当实部和虚部分别相等： $$ a+bi=c+di\Leftrightarrow a=c\text{ 且 }b=d $$
复数集用 $\mathbb{C}$ 表示；实数集是复数集的子集。

5.6.2 复数的几何意义

复数 $z=a+bi$ 可以用复平面内的点 $Z(a,b)$ 表示。
复数也可以用向量 $\vec{OZ}=(a,b)$ 表示。
复数的模： $$ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} $$
共轭复数：$z=a+bi$ 的共轭复数为 $\overline{z}=a-bi$。
复平面内，共轭复数对应的点关于实轴对称。
复数 $z$ 的模表示点 $Z$ 到原点的距离。

复平面与共轭复数

5.7 复数的运算

5.7.1 复数的加法和减法

$$ (a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i $$

复数的加减法可以按实部、虚部分别运算。
几何意义：复数的加减法对应复平面内向量的加减法。

5.7.2 复数的乘法

$$ (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i $$

乘法按多项式乘法展开，再用 $i^2=-1$ 化简。
共轭复数的乘积： $$ z\overline{z}=a^2+b^2=|z|^2 $$

5.7.3 复数的除法

$$ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i $$

除法的方法是分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母化为实数。
分母不能为 $0$。

5.7.4 虚数单位的幂

$i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$。
对任意整数 $n$，$i^n$ 以 $4$ 为周期循环。
$i^{4k}=1$，$i^{4k+1}=i$，$i^{4k+2}=-1$，$i^{4k+3}=-i$。

5.7.5 复数的模与共轭的性质

$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$。
$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2\ne0$）。
$\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}$。
$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$。
$|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$。
$|z|^2=z\overline{z}$。

练习

判断下面各题，并说明理由。（1）零向量与任意向量平行。（2）单位向量的模都是 $1$。（3）若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，则 $\vec{a}=\vec{b}$。（4）共线向量一定在同一条直线上。
已知 $\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(-1,4)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$、$2\vec{a}-\vec{b}$、$\vec{a}\cdot\vec{b}$。
已知 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,-1)$，求 $|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$ 和 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值。
已知 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,-1)$，若 $\vec{a}\perp\vec{b}$，求 $x$。
已知 $\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,x)$，若 $\vec{a}\parallel\vec{b}$，求 $x$。
已知 $A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,6)$，判断 $A,B,C$ 三点是否共线。
已知 $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ 不共线，$\vec{a}=\vec{e}_1+\vec{e}_2$，$\vec{b}=2\vec{e}_1-\vec{e}_2$。用 $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ 表示 $2\vec{a}-\vec{b}$。
当实数 $m$ 取何值时，复数 $z=(m-1)+(m+1)i$ 是实数、虚数、纯虚数？
计算。（1）$(1+2i)(3-i)$ （2）$\frac{1+i}{1-i}$ （3）$\overline{2-3i}$ （4）$|3+4i|$
已知 $z=1+i$，求 $z^2$、$|z|$ 和 $\overline{z}$。
说明 $|z-1|=2$ 在复平面内表示什么图形。
已知 $z_1=1+2i$，$z_2=3-i$，求 $z_1+z_2$、$z_1z_2$、$\frac{z_1}{z_2}$。

检测题

判断下面各题，并说明理由。（1）向量可以比较大小。（2）零向量的方向是任意的。（3）若 $\vec{a}\parallel\vec{b}$，则存在实数 $\lambda$，使 $\vec{a}=\lambda\vec{b}$。（4）若 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则 $\vec{a}=\vec{0}$ 或 $\vec{b}=\vec{0}$。
已知 $\vec{a}=(3,-1)$，$\vec{b}=(1,2)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$、$\vec{a}-\vec{b}$、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ 和 $|\vec{a}|$。
已知 $\vec{a}=(2,1)$，$\vec{b}=(1,m)$，若 $\vec{a}\perp\vec{b}$，求 $m$；若 $\vec{a}\parallel\vec{b}$，求 $m$。
已知 $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=3$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ 和 $|\vec{a}+\vec{b}|$。
当实数 $m$ 取何值时，复数 $z=(m^2-1)+(m-1)i$ 是实数、纯虚数？
计算。（1）$(2-i)(1+3i)$ （2）$\frac{2+i}{1-2i}$ （3）$i^{2024}+i^{2025}$
已知 $z=2-3i$，求 $|z|$、$\overline{z}$ 和 $z\overline{z}$。
下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。已知 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,4)$，因为 $\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+2\times4=10\ne0$，所以 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线。
写出满足下列条件的向量或复数各一个。（1）一个与 $\vec{a}=(1,2)$ 垂直的向量。（2）一个与 $\vec{a}=(1,2)$ 平行的向量。（3）一个模为 $5$ 的复数。
已知 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,-1)$，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值，并判断 $\theta$ 是锐角还是钝角。

参考答案与提示

（1）正确，零向量与任意向量平行；（2）正确，单位向量的模为 $1$；（3）错误，模相等但方向不一定相同；（4）错误，共线向量可以在平行直线上。
$\vec{a}+\vec{b}=(1,7)$；$2\vec{a}-\vec{b}=(5,2)$；$\vec{a}\cdot\vec{b}=-2+12=10$。
$|\vec{a}|=\sqrt5$，$|\vec{b}|=\sqrt{10}$，$\cos\theta=\frac{3-2}{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac{1}{5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{10}$。
$\vec{a}\cdot\vec{b}=x-2=0$，$x=2$。
$2x-12=0$，$x=6$。
$\vec{AB}=(2,2)$，$\vec{AC}=(4,4)$，$\vec{AB}\parallel\vec{AC}$，且都过点 $A$，所以三点共线。
$2\vec{a}-\vec{b}=2(\vec{e}_1+\vec{e}_2)-(2\vec{e}_1-\vec{e}_2)=3\vec{e}_2$。
实部 $m-1$，虚部 $m+1$。实数：$m+1=0$，$m=-1$；虚数：$m+1\ne0$，$m\ne-1$；纯虚数：$m-1=0$ 且 $m+1\ne0$，$m=1$。
（1）$5+5i$；（2）$i$；（3）$2+3i$；（4）$5$。
$z^2=(1+i)^2=2i$；$|z|=\sqrt2$；$\overline{z}=1-i$。
表示以点 $(1,0)$ 为圆心、$2$ 为半径的圆。
$z_1+z_2=4+i$；$z_1z_2=(1+2i)(3-i)=5+5i$；$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(1+2i)(3+i)}{10}=\frac{1+7i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i$。

检测题参考答案

（1）错误，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；（2）正确，零向量的方向任意；（3）错误，若 $\vec{b}=\vec{0}$，则不能表示为 $\vec{a}=\lambda\vec{b}$（除非 $\vec{a}=\vec{0}$）；应强调 $\vec{b}\ne\vec{0}$；（4）错误，$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ 还可能是 $\vec{a}\perp\vec{b}$，不一定有零向量。
$\vec{a}+\vec{b}=(4,1)$；$\vec{a}-\vec{b}=(2,-3)$；$\vec{a}\cdot\vec{b}=3-2=1$；$|\vec{a}|=\sqrt{10}$。
垂直：$2+m=0$，$m=-2$；平行：$2m-1=0$，$m=\frac12$。
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times3\times\frac12=3$；$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{4+9+2\times3}=\sqrt{19}$。
实数：$m-1=0$，$m=1$；纯虚数：$m^2-1=0$ 且 $m-1\ne0$，$m=-1$。
（1）$(2-i)(1+3i)=5+5i$；（2）$\frac{2+i}{1-2i}=\frac{(2+i)(1+2i)}{5}=\frac{5i}{5}=i$；（3）$i^{2024}=1$，$i^{2025}=i$，和为 $1+i$。
$|z|=\sqrt{13}$；$\overline{z}=2+3i$；$z\overline{z}=13$。
不正确。$\vec{a}\cdot\vec{b}\ne0$ 只能说明两向量不垂直，不能说明不共线。实际上 $\vec{b}=2\vec{a}$，两向量共线。
示例：（1）$(2,-1)$；（2）$(2,4)$；（3）$3+4i$。
$\vec{a}\cdot\vec{b}=1$，$|\vec{a}|=\sqrt5$，$|\vec{b}|=\sqrt{10}$，$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt2}{10}>0$，所以 $\theta$ 是锐角。

第05章-平面向量与复数

第 5 章 平面向量与复数