第 6 章数列

本章把数列概念、等差数列、等比数列、数列求和、递推数列和数学归纳法合并在一起。数列是定义域为正整数集（或其子集）的函数，等差、等比是两类最基本的数列模型。

6.1 数列的概念

6.1.1 数列的定义

按照一定顺序排列的一列数叫数列。

数列中的每一个数叫这个数列的项，第 $n$ 项记作 $a_n$。
数列的一般形式：$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，简记为 ${a_n}$。
数列的项数有限的叫有穷数列，项数无限的叫无穷数列。
数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的函数，$a_n=f(n)$。

6.1.2 通项公式与递推公式

通项公式：如果数列的第 $n$ 项 $a_n$ 与序号 $n$ 之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫数列的通项公式。
递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任意一项 $a_n$ 与它的前一项（或前几项）之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫递推公式。
通项公式直接给出 $a_n$ 与 $n$ 的关系；递推公式给出相邻项之间的关系。

6.1.3 通项与前 n 项和的关系

设数列 ${a_n}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，则：

$$ a_n=\begin{cases}S_1,&n=1\S_n-S_{n-1},&n\ge2\end{cases} $$

由 $S_n$ 求 $a_n$ 时，必须先单独求 $a_1$，再求 $n\ge2$ 时的 $a_n$，最后检验 $n=1$ 是否适合 $n\ge2$ 的式子。
由 $a_n$ 求 $S_n$ 时，可以用求和公式或分组求和。

6.2 等差数列

6.2.1 等差数列的定义

如果一个数列从第 $2$ 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫等差数列，这个常数叫公差，记作 $d$。

$$ a_{n+1}-a_n=d\quad(n\in\mathbb{N}^*) $$

等差数列的通项公式：

$$ a_n=a_1+(n-1)d $$

等差数列的前 $n$ 项和公式：

$$ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d $$

6.2.2 等差数列的性质

若 $m+n=p+q$（$m,n,p,q\in\mathbb{N}^*$），则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。
等差中项：若 $a,A,b$ 成等差数列，则 $2A=a+b$。
等差数列中，每隔相同的项抽出的项仍组成等差数列。
等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数（无常数项），即 $S_n=An^2+Bn$。
若 $d>0$，数列单调递增；若 $d<0$，数列单调递减；若 $d=0$，数列为常数列。
等差数列前 $n$ 项和的最值：
- 若 $a_1>0$，$d<0$，则 $S_n$ 在满足 $a_n\ge0$ 且 $a_{n+1}\le0$ 的 $n$ 处取得最大值；
- 若 $a_1<0$，$d>0$，则 $S_n$ 在满足 $a_n\le0$ 且 $a_{n+1}\ge0$ 的 $n$ 处取得最小值。
求等差数列前 $n$ 项和的最值，也可以利用 $S_n=An^2+Bn$ 的二次函数性质，注意 $n$ 取正整数。

6.2.3 等差数列的判定

定义法：$a_{n+1}-a_n=d$（常数）。
通项法：$a_n=pn+q$（$p,q$ 为常数）。
前 $n$ 项和法：$S_n=An^2+Bn$（$A,B$ 为常数，且无常数项）。
中项法：$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$。

6.3 等比数列

6.3.1 等比数列的定义

如果一个数列从第 $2$ 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫公比，记作 $q$。

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=q\quad(q\ne0,\ n\in\mathbb{N}^*) $$

等比数列的通项公式：

$$ a_n=a_1q^{n-1} $$

等比数列的前 $n$ 项和公式：

$$ S_n=\begin{cases}na_1,&q=1\[4pt]\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1},&q\ne1\end{cases} $$

使用等比数列前 $n$ 项和公式时，必须先讨论 $q=1$ 和 $q\ne1$ 两种情况。

6.3.2 等比数列的性质

若 $m+n=p+q$（$m,n,p,q\in\mathbb{N}^*$），则 $a_m a_n=a_p a_q$。
等比中项：若 $a,G,b$ 成等比数列，则 $G^2=ab$。
等比数列中，每隔相同的项抽出的项仍组成等比数列。
若 $a_1>0,q>1$ 或 $a_1<0,0<q<1$，数列递增；若 $a_1>0,0<q<1$ 或 $a_1<0,q>1$，数列递减；若 $q=1$，数列为常数列；若 $q<0$，数列为摆动数列。
等比数列的项和公比都不为 $0$。

6.3.3 等比数列的判定

定义法：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（常数，$q\ne0$）。
通项法：$a_n=cq^n$（$c,q$ 为非零常数）。
前 $n$ 项和法：$S_n=A(q^n-1)$（$A\ne0,q\ne1$）。
中项法：$a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}$（且各项不为 $0$）。

6.4 数列求和

6.4.1 公式法

等差数列求和：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。
等比数列求和：分 $q=1$ 和 $q\ne1$ 讨论。
常见求和公式： $$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$ $$ 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ $$ 1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 $$

6.4.2 分组求和

把一个数列拆成几个等差或等比数列的和，分别求和后再相加。
适用于通项为“等差 $+$ 等比”、多个等比数列之和或分段形式等。

6.4.3 裂项相消

把通项拆成两个相邻项的差，求和时中间项相互抵消。
常见裂项： $$ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$ $$ \frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right) $$ $$ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} $$
裂项后要注意首项和末项是否保留，以及系数是否正确。

6.4.4 错位相减

适用于通项为“等差 $\times$ 等比”的数列求和。
设 $S_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$，其中 ${a_n}$ 为等差，${b_n}$ 为等比。
写出 $S_n$，两边乘公比 $q$，得到 $qS_n$，两式相减，转化为等比数列求和。
错位相减时要注意对齐项、符号和最后一项。

6.4.5 倒序相加

适用于与首末两项和有关、且首末两项和相等的数列求和。
把 $S_n$ 按正序和倒序各写一遍，相加得到 $2S_n$，再求 $S_n$。
等差数列求和公式的推导就用了倒序相加。

6.5 递推数列

6.5.1 累加法

适用于形如 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ 的递推数列。
把 $n=1,2,\cdots,n-1$ 的式子相加，得到 $a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$。

6.5.2 累乘法

适用于形如 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$ 的递推数列。
把 $n=1,2,\cdots,n-1$ 的式子相乘，得到 $\frac{a_n}{a_1}=\prod_{k=1}^{n-1}f(k)$。

6.5.3 构造法

形如 $a_{n+1}=pa_n+q$（$p\ne1$）的递推数列，可以构造等比数列： $$ a_{n+1}+c=p(a_n+c) $$ 其中 $c=\frac{q}{p-1}$。
形如 $a_{n+1}=pa_n+q^n$ 的递推数列，可以两边除以 $q^{n+1}$，构造等差数列或等比数列。
构造法的关键是找到合适的变形，使新数列成为等差或等比数列。

6.6 数学归纳法

6.6.1 数学归纳法的步骤

归纳奠基：证明当 $n=n_0$（通常 $n_0=1$）时命题成立。
归纳假设：假设当 $n=k$（$k\ge n_0$）时命题成立。
归纳递推：利用归纳假设证明当 $n=k+1$ 时命题也成立。
结论：由以上两步可知，命题对所有 $n\ge n_0$ 的正整数都成立。

数学归纳法适用于证明与正整数有关的命题。
归纳假设必须使用，不能跳过。
从 $n=k$ 到 $n=k+1$ 的推导要有依据。

6.6.2 数学归纳法的应用

证明数列的通项公式。
证明数列的前 $n$ 项和公式。
证明与正整数有关的不等式。
证明整除性问题。
证明几何中的计数问题。

6.7 数列综合

数列与函数：数列是特殊的函数，可以利用函数的单调性、最值研究数列。
数列与不等式：证明数列不等式，常用放缩法、数学归纳法。
数列与导数：可以用导数研究数列对应的连续函数的单调性。
数列应用题：增长率、分期付款、存款利息等。

练习

写出下列数列的一个通项公式。（1）$1,3,5,7,\cdots$ （2）$2,4,8,16,\cdots$ （3）$\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\cdots$
已知等差数列 ${a_n}$ 中，$a_1=3$，$d=2$。求 $a_{10}$ 和 $S_{10}$。
已知等比数列 ${a_n}$ 中，$a_1=2$，$q=3$。求 $a_5$ 和 $S_5$。
已知等差数列 ${a_n}$ 中，$a_3+a_7=10$，求 $a_5$。
已知等比数列 ${a_n}$ 中，各项均为正数，$a_2a_8=16$，求 $a_5$。
已知数列 ${a_n}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2+n$，求 $a_n$。
已知数列 ${a_n}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2^n-1$，求 $a_n$。
求数列 $\left{\frac{1}{n(n+1)}\right}$ 的前 $10$ 项和。
已知数列 ${a_n}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，求 $a_n$。
已知数列 ${a_n}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求 $a_n$。
用数学归纳法证明： $$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
已知等差数列 ${a_n}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=1$，$S_3=9$。求 $a_n$ 和 $S_n$。

检测题

判断下面各题，并说明理由。（1）数列 $1,2,3,4,\cdots$ 是等差数列。（2）数列 $2,4,8,16,\cdots$ 是等比数列。（3）若数列 ${a_n}$ 满足 $a_{n+1}=2a_n$，则它是等比数列。（4）等比数列的公比可以为 $0$。
已知等差数列 ${a_n}$ 中，$a_2=5$，$a_6=13$。求公差 $d$、首项 $a_1$ 和通项公式。
已知等比数列 ${a_n}$ 中，$a_2=6$，$a_5=48$。求公比 $q$、首项 $a_1$ 和通项公式。
已知数列 ${a_n}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2+2n$，求 $a_n$。
求数列 $\left{\frac{1}{n(n+2)}\right}$ 的前 $n$ 项和。
已知数列 ${a_n}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+3$，求 $a_n$ 和 $S_n$。
用数学归纳法证明： $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.$$
下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。已知等比数列 ${a_n}$ 中，$a_1=1$，$q=2$，求 $S_n$。解：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$。
写出满足下列条件的数列各一个。（1）一个公差为 $-2$ 的等差数列。（2）一个公比为 $\frac12$ 的等比数列。（3）一个前 $n$ 项和为 $n^2$ 的数列。
已知数列 ${a_n}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3$。（1）求 $a_2,a_3$。（2）求数列的通项公式。（3）求前 $n$ 项和 $S_n$。

参考答案与提示

（1）$a_n=2n-1$；（2）$a_n=2^n$；（3）$a_n=\frac{n}{n+1}$。
$a_{10}=3+9\times2=21$；$S_{10}=\frac{10(3+21)}{2}=120$。
$a_5=2\times3^4=162$；$S_5=\frac{2(3^5-1)}{3-1}=242$。
由 $a_3+a_7=2a_5=10$，得 $a_5=5$。
$a_2a_8=a_5^2=16$，且各项为正，所以 $a_5=4$。
$n=1$ 时 $a_1=S_1=2$；$n\ge2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n$。$n=1$ 时 $2n=2$ 也成立，所以 $a_n=2n$。
$n=1$ 时 $a_1=1$；$n\ge2$ 时 $a_n=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}$。$n=1$ 时 $2^{0}=1$ 也成立，所以 $a_n=2^{n-1}$。
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$，$S_{10}=1-\frac1{11}=\frac{10}{11}$。
$a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}2k=n(n-1)$，所以 $a_n=n^2-n+1$。
$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，所以 ${a_n+1}$ 是首项为 $2$、公比为 $2$ 的等比数列，$a_n+1=2^n$，$a_n=2^n-1$。
$n=1$ 时左边 $=1$，右边 $=1$，成立。假设 $n=k$ 时成立，即 $1+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2$。则 $n=k+1$ 时，$1+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}2+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}2$，也成立。所以对任意正整数 $n$ 成立。
$S_3=3a_1+3d=3+3d=9$，$d=2$，$a_n=1+2(n-1)=2n-1$；$S_n=\frac{n(1+2n-1)}2=n^2$。

检测题参考答案

（1）正确，公差为 $1$；（2）正确，公比为 $2$；（3）错误，若 $a_n=0$，则不能构成等比数列；等比数列要求各项不为 $0$ 且公比不为 $0$；（4）错误，等比数列的公比不能为 $0$。
$d=\frac{a_6-a_2}{6-2}=\frac{13-5}{4}=2$，$a_1=a_2-d=3$，$a_n=2n+1$。
$q^3=\frac{a_5}{a_2}=\frac{48}{6}=8$，$q=2$，$a_1=\frac{a_2}{q}=3$，$a_n=3\cdot2^{n-1}$。
$n=1$ 时 $a_1=3$；$n\ge2$ 时 $a_n=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1$。$n=1$ 时 $2n+1=3$ 也成立，所以 $a_n=2n+1$。
$\frac{1}{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)$，$S_n=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)$。
$a_n=2+3(n-1)=3n-1$；$S_n=\frac{n(2+3n-1)}2=\frac{n(3n+1)}2$。
$n=1$ 时左边 $=1$，右边 $=1$，成立。假设 $n=k$ 时成立，即 $1+3+\cdots+(2k-1)=k^2$，则 $n=k+1$ 时，左边 $=k^2+(2k+1)=(k+1)^2$，也成立。所以对任意正整数 $n$ 成立。
正确。因为 $q=2\ne1$，代入等比数列前 $n$ 项和公式得 $S_n=\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。
示例：（1）$3,1,-1,-3,\cdots$；（2）$2,1,\frac12,\frac14,\cdots$；（3）$a_1=1$，$a_n=2n-1$（$n\ge2$），其前 $n$ 项和为 $n^2$。
（1）$a_2=2\times1+3=5$，$a_3=2\times5+3=13$。（2）$a_{n+1}+3=2(a_n+3)$，所以 ${a_n+3}$ 是首项为 $4$、公比为 $2$ 的等比数列，$a_n+3=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}$，$a_n=2^{n+1}-3$。（3）$S_n=\sum_{k=1}^n(2^{k+1}-3)=4(2^n-1)-3n=2^{n+2}-4-3n$。

第06章-数列

第 6 章 数列