第 7 章 立体几何初步

本章把空间几何体、点线面位置关系、平行与垂直的判定和性质、表面积与体积、三视图与直观图合并在一起。立体几何的研究方法是“由图形到关系，由关系到证明”。

7.1 空间几何体

7.1.1 棱柱、棱锥、棱台

棱柱：

  • 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫棱柱。
  • 两个互相平行的面叫底面，其余各面叫侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱。
  • 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
  • 棱柱的侧面积等于各侧面面积之和；直棱柱的侧面积等于底面周长乘高。

棱锥：

  • 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥。
  • 多边形面叫底面，其余各面叫侧面，各侧面的公共顶点叫顶点。
  • 底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥。
  • 棱锥的侧面积等于各侧面面积之和。

棱台：

  • 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台。
  • 棱台的上、下底面是相似多边形，侧棱的延长线交于一点。

7.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球

圆柱：

  • 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱。
  • 圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长等于底面周长 $2\pi r$，宽等于高 $h$。
  • 侧面积：$S_{\text{侧}}=2\pi rh$。
  • 全面积：$S_{\text{全}}=2\pi rh+2\pi r^2$。
  • 体积：$V=\pi r^2h$。

圆锥：

  • 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥。
  • 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于母线长 $l$，弧长等于底面周长 $2\pi r$。
  • 侧面积：$S_{\text{侧}}=\pi rl$。
  • 全面积：$S_{\text{全}}=\pi rl+\pi r^2$。
  • 体积：$V=\frac13\pi r^2h$。
  • 母线、半径、高：$l^2=r^2+h^2$。

圆台：

  • 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台。
  • 圆台的上、下底面半径分别为 $r',r$，高为 $h$，母线为 $l$。
  • 侧面积：$S_{\text{侧}}=\pi(r+r')l$。
  • 体积：$V=\frac13\pi h(r^2+rr'+r'^2)$。

球：

  • 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫球面，球面所围成的旋转体叫球体。
  • 球的表面积：$S=4\pi R^2$。
  • 球的体积：$V=\frac43\pi R^3$。
  • 球的截面是圆；过球心的截面叫大圆，大圆半径等于球的半径。
  • 常见几何体的外接球与内切球（拓展）：
    • 棱长为 $a$ 的正方体，外接球半径 $R=\frac{\sqrt3}{2}a$，内切球半径 $r=\frac a2$；
    • 长、宽、高分别为 $a,b,c$ 的长方体，外接球半径 $R=\frac12\sqrt{a^2+b^2+c^2}$；
    • 外接球球心到各顶点距离相等；内切球球心到各面距离相等。

常见空间几何体

7.1.3 柱体、锥体、台体的体积

  • 柱体体积：$V=Sh$（$S$ 为底面积，$h$ 为高）。
  • 锥体体积：$V=\frac13Sh$。
  • 台体体积：$V=\frac13h(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$，其中 $S_1,S_2$ 分别为上、下底面积。
  • 组合体体积：分割求和或补形作差。

7.2 空间点、直线、平面的位置关系

7.2.1 平面的基本性质

  • 基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
  • 基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
  • 基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
  • 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
  • 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
  • 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

7.2.2 空间两条直线的位置关系

  • 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点。
  • 平行直线：在同一平面内，没有公共点。
  • 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
  • 异面直线所成的角：过空间任一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角，范围是 $(0^\circ,90^\circ]$。
  • 如果两条异面直线所成的角是 $90^\circ$，就说这两条异面直线互相垂直。

7.2.3 直线与平面的位置关系

  • 直线在平面内：有无数个公共点。
  • 直线与平面相交：有且只有一个公共点。
  • 直线与平面平行：没有公共点。
  • 直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角，范围是 $[0^\circ,90^\circ]$。
  • 直线垂直于平面时，所成角为 $90^\circ$；直线在平面内或与平面平行时，所成角为 $0^\circ$。

7.2.4 两个平面的位置关系

  • 两个平面平行：没有公共点。
  • 两个平面相交：有一条公共直线。
  • 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面。
  • 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角，范围是 $[0^\circ,180^\circ]$。

7.3 平行关系

7.3.1 直线与平面平行

判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

  • 符号表示：若 $a\not\subset\alpha$，$b\subset\alpha$，$a\parallel b$，则 $a\parallel\alpha$。
  • 证明线面平行，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线。

性质定理：

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

  • 符号表示：若 $a\parallel\alpha$，$a\subset\beta$，$\alpha\cap\beta=b$，则 $a\parallel b$。

7.3.2 平面与平面平行

判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

  • 符号表示：若 $a\subset\alpha$，$b\subset\alpha$，$a\cap b=P$，$a\parallel\beta$，$b\parallel\beta$，则 $\alpha\parallel\beta$。

性质定理：

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

  • 符号表示：若 $\alpha\parallel\beta$，$\gamma\cap\alpha=a$，$\gamma\cap\beta=b$，则 $a\parallel b$。
  • 两个平行平面间的距离：夹在两个平行平面间的垂直线段的长度。

7.4 垂直关系

7.4.1 直线与平面垂直

判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

  • 符号表示：若 $m\subset\alpha$，$n\subset\alpha$，$m\cap n=P$，$l\perp m$，$l\perp n$，则 $l\perp\alpha$。
  • 证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直。

性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行。

  • 符号表示：若 $a\perp\alpha$，$b\perp\alpha$，则 $a\parallel b$。
  • 线面垂直的性质还包括：若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

7.4.2 平面与平面垂直

判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

  • 符号表示：若 $l\perp\beta$，$l\subset\alpha$，则 $\alpha\perp\beta$。

性质定理：

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于交线，那么这条直线垂直于另一个平面。

  • 符号表示：若 $\alpha\perp\beta$，$\alpha\cap\beta=l$，$a\subset\alpha$，$a\perp l$，则 $a\perp\beta$。
  • 证明面面垂直，关键是找到或构造一个平面的垂线。

7.5 空间角与距离

  • 异面直线所成角：平移法，转化为相交直线所成角。
  • 直线与平面所成角：作出斜线在平面内的射影，转化为直角三角形中的角。
  • 二面角：作出二面角的平面角，常在棱上取点，分别在两个半平面内作棱的垂线。
  • 点到平面的距离：作垂线，求垂线段长度；也可以用等体积法。
  • 直线到平面的距离：当直线与平面平行时，转化为直线上一点到平面的距离。
  • 两个平行平面间的距离：转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。

7.6 三视图与直观图

7.6.1 三视图

  • 主视图：从正面看到的图形。
  • 俯视图：从上面看到的图形。
  • 左视图：从左面看到的图形。
  • 三视图的位置关系：主视图在左上，俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方。
  • 三视图的大小关系：长对正，高平齐，宽相等。
  • 看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。

7.6.2 直观图

  • 斜二测画法：
    1. 在已知图形中取互相垂直的 $x$ 轴、$y$ 轴，画直观图时，把它们画成对应的 $x'$ 轴、$y'$ 轴，两轴交角为 $45^\circ$（或 $135^\circ$）。
    2. 平行于 $x$ 轴的线段长度不变，平行于 $y$ 轴的线段长度减半。
    3. 平行关系保持不变。
  • 直观图可以帮助我们直观地理解空间图形，但它不是真实形状，不能直接从直观图量取长度。

练习

  1. 判断下列几何体分别是什么。 （1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形。 （2）有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。 （3）半圆绕直径旋转一周形成的几何体。

  2. 已知圆柱的底面半径 $r=2$，高 $h=3$。求侧面积、全面积和体积。

  3. 已知圆锥的底面半径 $r=3$，母线 $l=5$。求侧面积、全面积和体积。

  4. 已知球的半径 $R=3$。求表面积和体积。

  5. 判断下面各题，并说明理由。 （1）若 $a\parallel\alpha$，$b\subset\alpha$，则 $a\parallel b$。 （2）若 $a\perp\alpha$，$b\perp\alpha$，则 $a\parallel b$。 （3）若 $\alpha\parallel\beta$，$a\subset\alpha$，则 $a\parallel\beta$。

  6. 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是平行四边形，$E$ 是 $PC$ 的中点。求证：$PA\parallel$ 平面 $BDE$。

  7. 如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：$AC\perp$ 平面 $BDD_1B_1$。

  8. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，棱长为 $1$。求异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角。

  9. 一个几何体的三视图如下：主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆。判断这个几何体是什么，并说明理由。

  10. 一个正方体的棱长为 $2$，在它的一个角上截去一个棱长为 $1$ 的小正方体。求剩下部分的体积和表面积。

  11. 某圆柱形水桶的底面半径为 $2$ 分米，高为 $5$ 分米。求它的容积（不计桶壁厚度）。

  12. 判断下面各题，并说明理由。 （1）垂直于同一条直线的两条直线平行。 （2）平行于同一个平面的两条直线平行。 （3）垂直于同一个平面的两个平面平行。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱。 （2）棱锥的侧面都是三角形。 （3）球的截面都是圆。 （4）若直线 $a\parallel$ 平面 $\alpha$，则 $a$ 与 $\alpha$ 内任意直线都不相交。

  2. 已知圆锥的底面半径为 $4$，高为 $3$。求它的母线、侧面积和体积。

  3. 已知正方体的棱长为 $a$。求它的外接球半径和内切球半径。

  4. 如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：$BD\parallel$ 平面 $B_1D_1C$。

  5. 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，$PA\perp$ 底面 $ABCD$。求证：平面 $PAC\perp$ 平面 $PBD$。

  6. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，棱长为 $2$。求异面直线 $AB_1$ 与 $BC_1$ 所成的角。

  7. 一个圆柱的侧面展开图是正方形，圆柱的底面半径为 $1$。求圆柱的高和体积。

  8. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 已知直线 $a\parallel$ 平面 $\alpha$，直线 $b\subset\alpha$，所以 $a\parallel b$。

  9. 写出满足下列条件的几何体各一个。 （1）一个所有面都是三角形的多面体。 （2）一个侧面展开图是矩形的旋转体。 （3）一个三视图都是圆的几何体。

  10. 某几何体由一个圆柱和一个半球组成，圆柱的底面半径为 $2$，高为 $3$，半球与圆柱同底。求这个几何体的体积和表面积。

参考答案与提示

  1. （1）棱柱；（2）棱锥；（3）球。
  2. $S_{\text{侧}}=2\pi rh=12\pi$；$S_{\text{全}}=12\pi+2\pi r^2=20\pi$；$V=\pi r^2h=12\pi$。
  3. 高 $h=\sqrt{l^2-r^2}=4$；$S_{\text{侧}}=\pi rl=15\pi$；$S_{\text{全}}=15\pi+9\pi=24\pi$；$V=\frac13\pi r^2h=12\pi$。
  4. $S=4\pi R^2=36\pi$；$V=\frac43\pi R^3=36\pi$。
  5. （1）错误，$a$ 与 $b$ 可能异面；（2）正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；（3）正确，平行平面内的直线平行于另一个平面。
  6. 连接 $AC$ 交 $BD$ 于 $O$，连接 $OE$。因为 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $O$ 是 $AC$ 的中点。又 $E$ 是 $PC$ 的中点，所以 $OE\parallel PA$。因为 $OE\subset$ 平面 $BDE$，$PA\not\subset$ 平面 $BDE$，所以 $PA\parallel$ 平面 $BDE$。
  7. 在正方体中，$AC\perp BD$，$BB_1\perp$ 底面 $ABCD$，所以 $BB_1\perp AC$。又 $BD\cap BB_1=B$，$BD,BB_1\subset$ 平面 $BDD_1B_1$，所以 $AC\perp$ 平面 $BDD_1B_1$。
  8. 连接 $A_1D$，$BD$。因为 $A_1B\parallel D_1C$，所以异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成角等于 $D_1C$ 与 $B_1C$ 所成角。在正三角形 $B_1CD_1$ 中，$\angle B_1CD_1=60^\circ$，所以所成角为 $60^\circ$。
  9. 圆柱。主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合圆柱的三视图特征。
  10. 原正方体体积 $8$，截去小正方体体积 $1$，剩下体积 $7$。表面积：原表面积 $24$，截去一个角后减少 $3$ 个小正方形面，又增加 $3$ 个小正方形面，表面积不变，仍为 $24$。
  11. 容积 $V=\pi r^2h=\pi\times2^2\times5=20\pi$ 立方分米 $=20\pi$ 升。
  12. （1）错误，空间中垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面；（2）错误，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面；（3）错误，垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交。

检测题参考答案

  1. （1）错误，还要求相邻侧面的公共边互相平行；仅有两个面平行、其余各面是平行四边形不一定能保证是棱柱。（2）正确，棱锥的侧面都是有公共顶点的三角形。（3）正确，用平面截球，截面都是圆。（4）正确，$a\parallel\alpha$ 意味着 $a$ 与 $\alpha$ 没有公共点，因此 $a$ 与 $\alpha$ 内任意直线都没有公共点，即不相交。
  2. 母线 $l=\sqrt{4^2+3^2}=5$；$S_{\text{侧}}=\pi rl=20\pi$；$V=\frac13\pi r^2h=16\pi$。
  3. 正方体外接球直径等于体对角线，$2R=\sqrt3a$，$R=\frac{\sqrt3}{2}a$；内切球直径等于棱长，$r=\frac{a}{2}$。
  4. 因为 $BD\parallel B_1D_1$，$BD\not\subset$ 平面 $B_1D_1C$，$B_1D_1\subset$ 平面 $B_1D_1C$，所以 $BD\parallel$ 平面 $B_1D_1C$。
  5. 因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，所以 $PA\perp BD$。又 $ABCD$ 是正方形，所以 $AC\perp BD$。$PA\cap AC=A$，所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$。又 $BD\subset$ 平面 $PBD$，所以平面 $PAC\perp$ 平面 $PBD$。
  6. 连接 $AD_1$，$B_1D_1$。$AB_1\parallel DC_1$，$BC_1\parallel AD_1$，所以异面直线 $AB_1$ 与 $BC_1$ 所成角等于 $AB_1$ 与 $AD_1$ 所成角。在正三角形 $AB_1D_1$ 中，角为 $60^\circ$，所以所成角为 $60^\circ$。
  7. 侧面展开图是正方形，说明底面周长等于高：$h=2\pi r=2\pi$；体积 $V=\pi r^2h=2\pi^2$。
  8. 不正确。$a\parallel\alpha$ 只能说明 $a$ 与 $\alpha$ 没有公共点，不能推出 $a$ 与 $\alpha$ 内任意直线 $b$ 平行；$a$ 与 $b$ 可能异面。
  9. 示例：（1）三棱锥（四面体）；（2）圆柱（侧面展开图是矩形）；（3）球。
  10. 圆柱体积 $V_1=\pi\times2^2\times3=12\pi$，半球体积 $V_2=\frac12\times\frac43\pi\times2^3=\frac{16}{3}\pi$，总体积 $V=12\pi+\frac{16}{3}\pi=\frac{52}{3}\pi$。表面积：圆柱侧面积 $2\pi\times2\times3=12\pi$，圆柱下底面积 $4\pi$，半球表面积 $2\pi\times2^2=8\pi$，总表面积 $12\pi+4\pi+8\pi=24\pi$。