第 10 章 圆锥曲线

本章把椭圆、双曲线、抛物线以及直线与圆锥曲线的位置关系合并在一起。圆锥曲线是解析几何的核心内容，研究方法是“定义—方程—性质—联立方程”。

10.1 椭圆

10.1.1 椭圆的定义

平面内与两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫椭圆。两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距。

$$ |PF_1|+|PF_2|=2a\quad(2a>|F_1F_2|=2c) $$

  • 椭圆中 $a>c>0$，且 $b^2=a^2-c^2$。
  • 椭圆的焦点在长轴上。
  • 当 $2a=|F_1F_2|$ 时，轨迹是线段 $F_1F_2$；当 $2a<|F_1F_2|$ 时，轨迹不存在。

10.1.2 椭圆的标准方程

焦点在 $x$ 轴上：

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0) $$

  • 焦点：$(\pm c,0)$；
  • 顶点：$(\pm a,0)$，$(0,\pm b)$；
  • 长轴长 $2a$，短轴长 $2b$；
  • $a^2=b^2+c^2$。

焦点在 $y$ 轴上：

$$ \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\quad(a>b>0) $$

  • 焦点：$(0,\pm c)$；
  • 顶点：$(0,\pm a)$，$(\pm b,0)$。

10.1.3 椭圆的几何性质

  • 范围：焦点在 $x$ 轴上时，$|x|\le a$，$|y|\le b$。
  • 对称性：椭圆关于 $x$ 轴、$y$ 轴和原点对称。
  • 离心率：

$$ e=\frac{c}{a}\quad(0<e<1) $$

  • 离心率越接近 $1$，椭圆越扁；离心率越接近 $0$，椭圆越接近圆。
  • 椭圆的焦点三角形：若 $P$ 在椭圆上，则 $|PF_1|+|PF_2|=2a$。
  • 椭圆的焦半径（焦点在 $x$ 轴上）：$|PF_1|=a+ex_0$，$|PF_2|=a-ex_0$。
  • 椭圆的通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长度为 $\frac{2b^2}{a}$。

椭圆、双曲线与抛物线

10.2 双曲线

10.2.1 双曲线的定义

平面内与两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（小于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫双曲线。两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。

$$ ||PF_1|-|PF_2||=2a\quad(0<2a<|F_1F_2|=2c) $$

  • 双曲线中 $c>a>0$，且 $b^2=c^2-a^2$。
  • 当 $2a=|F_1F_2|$ 时，轨迹是两条射线；当 $2a>|F_1F_2|$ 时，轨迹不存在。

10.2.2 双曲线的标准方程

焦点在 $x$ 轴上：

$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>0,\ b>0) $$

  • 焦点：$(\pm c,0)$；
  • 顶点：$(\pm a,0)$；
  • 实轴长 $2a$，虚轴长 $2b$；
  • 渐近线：$y=\pm\frac{b}{a}x$；
  • $c^2=a^2+b^2$。

焦点在 $y$ 轴上：

$$ \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\quad(a>0,\ b>0) $$

  • 焦点：$(0,\pm c)$；
  • 顶点：$(0,\pm a)$；
  • 渐近线：$y=\pm\frac{a}{b}x$；
  • $c^2=a^2+b^2$。

10.2.3 双曲线的几何性质

  • 范围：焦点在 $x$ 轴上时，$|x|\ge a$，$y\in\mathbb{R}$。
  • 对称性：双曲线关于 $x$ 轴、$y$ 轴和原点对称。
  • 离心率：

$$ e=\frac{c}{a}\quad(e>1) $$

  • 离心率越大，双曲线的开口越开阔。
  • 等轴双曲线：$a=b$，渐近线为 $y=\pm x$，离心率 $e=\sqrt2$。
  • 双曲线的通径：过焦点且垂直于实轴的弦，长度为 $\frac{2b^2}{a}$。
  • 双曲线的焦点到渐近线的距离等于 $b$。

10.3 抛物线

10.3.1 抛物线的定义

平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$F\notin l$）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。定点 $F$ 叫焦点，定直线 $l$ 叫准线。

$$ |PF|=d(P,l) $$

  • 抛物线的离心率 $e=1$。
  • 焦点到准线的距离为 $p$，$p>0$。

10.3.2 抛物线的标准方程

方程 焦点 准线 开口方向
$y^2=2px$ $(\frac p2,0)$ $x=-\frac p2$ 向右
$y^2=-2px$ $(-\frac p2,0)$ $x=\frac p2$ 向左
$x^2=2py$ $(0,\frac p2)$ $y=-\frac p2$ 向上
$x^2=-2py$ $(0,-\frac p2)$ $y=\frac p2$ 向下
  • 抛物线 $y^2=2px$ 的焦点在 $x$ 轴正半轴上，准线在 $y$ 轴左侧。
  • 抛物线只有一个焦点、一条准线、一条对称轴，没有对称中心。
  • 抛物线的通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长度为 $2p$。

10.3.3 抛物线的几何性质

  • 范围：$y^2=2px$ 中 $x\ge0$，$y\in\mathbb{R}$。
  • 对称性：关于 $x$ 轴对称。
  • 顶点：原点。
  • 离心率：$e=1$。
  • 抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，这是解决抛物线距离问题的重要依据。
  • 抛物线的焦半径：对 $y^2=2px$，$|PF|=x_0+\frac p2$。

10.4 直线与圆锥曲线的位置关系

10.4.1 位置关系的判断

  • 联立直线方程与圆锥曲线方程，消去一个未知数，得到一元二次方程。
  • 用判别式 $\Delta$ 判断交点个数：
    • $\Delta>0$：有两个交点；
    • $\Delta=0$：有一个交点（相切）；
    • $\Delta<0$：没有交点。
  • 对于双曲线和抛物线，还要注意直线与渐近线平行、直线与对称轴平行等特殊情况。

10.4.2 弦长公式

设直线 $y=kx+m$ 与圆锥曲线交于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则：

$$ |AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2| $$

$$ |AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2| $$

  • $x_1+x_2$、$x_1x_2$ 可以用韦达定理。
  • 当直线斜率不存在时，直接用纵坐标之差求弦长。

10.4.3 中点弦与点差法

  • 设弦的两端点为 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，中点为 $M(x_0,y_0)$。
  • 把 $A,B$ 的坐标分别代入圆锥曲线方程，两式相减，可以得到弦的斜率与中点坐标的关系。
  • 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的中点弦斜率： $$ k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0} $$
  • 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的中点弦斜率： $$ k=\frac{b^2x_0}{a^2y_0} $$
  • 抛物线 $y^2=2px$ 的中点弦斜率： $$ k=\frac{p}{y_0} $$
  • 点差法适用于已知中点求弦所在直线方程的问题。

10.4.4 焦点弦

  • 过椭圆焦点的弦叫焦点弦。
  • 过双曲线焦点的弦叫焦点弦。
  • 过抛物线焦点的弦叫焦点弦。
  • 抛物线 $y^2=2px$ 的焦点弦有一些常用性质（拓展）：
    • 若焦点弦 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则 $|AB|=\frac{2p}{\sin^2\theta}$；
    • 以焦点弦为直径的圆与准线相切。

10.5 圆锥曲线的综合问题

10.5.1 求轨迹方程

  • 直接法：设动点坐标，根据条件列方程。
  • 定义法：根据椭圆、双曲线、抛物线的定义判断轨迹类型。
  • 代入法：利用已知动点与所求动点的关系，代入已知轨迹方程。
  • 参数法：引入参数，消去参数得到轨迹方程。
  • 求轨迹方程时，要注意轨迹的纯粹性和完备性，排除不符合条件的点。

10.5.2 定点、定值问题

  • 设直线或曲线含有参数，联立方程，利用韦达定理。
  • 证明某个量或某个点与参数无关。
  • 常见方法：特殊值探路、设而不求、整体代换。

10.5.3 最值问题

  • 利用圆锥曲线的定义，把距离和转化为距离差或距离和。
  • 利用二次函数、基本不等式、三角函数求最值。
  • 注意自变量的取值范围和几何意义。

10.5.4 离心率问题

  • 根据条件建立关于 $a,b,c$ 的方程或不等式。
  • 利用 $a^2=b^2+c^2$（椭圆）或 $c^2=a^2+b^2$（双曲线）消元。
  • 椭圆离心率范围 $0<e<1$；双曲线离心率范围 $e>1$。
  • 求离心率取值范围时，要注意题目中的不等关系。

练习

  1. 已知椭圆的焦点在 $x$ 轴上，$a=5$，$c=3$。求 $b$、椭圆的标准方程和离心率。

  2. 已知椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$。求它的焦点坐标、顶点坐标和离心率。

  3. 已知双曲线的焦点在 $x$ 轴上，$a=3$，$b=4$。求它的标准方程、焦点坐标、渐近线和离心率。

  4. 已知抛物线 $y^2=8x$。求它的焦点坐标、准线方程和 $p$ 的值。

  5. 已知椭圆的离心率为 $\frac12$，$a=4$，焦点在 $x$ 轴上。求椭圆的标准方程。

  6. 求直线 $y=x+1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的交点坐标，并求弦长。

  7. 已知椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 的一条弦的中点为 $(2,1)$。求这条弦所在直线的斜率。

  8. 已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$。求它的焦点坐标、渐近线和离心率。

  9. 已知抛物线 $x^2=4y$。求它的焦点坐标和准线方程。

  10. 已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交抛物线于 $A,B$ 两点。求 $|AB|$。

  11. 求以椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程。

  12. 说明椭圆、双曲线、抛物线的定义有什么区别和联系。

检测题

  1. 判断下面各题，并说明理由。 （1）椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于 $2a$。 （2）双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于 $2a$。 （3）抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。 （4）椭圆的离心率越大，椭圆越圆。

  2. 已知椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$。求 $a,b,c$、焦点坐标和离心率。

  3. 已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$。求 $a,b,c$、焦点坐标、渐近线和离心率。

  4. 已知抛物线 $x^2=4y$。求焦点坐标、准线方程和通径长。

  5. 已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt3}{2}$，且 $a=4$，焦点在 $x$ 轴上。求椭圆的标准方程。

  6. 求直线 $y=x+1$ 被椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 截得的弦长。

  7. 已知椭圆 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ 的一条弦的中点为 $(1,1)$。求这条弦所在直线的斜率。

  8. 下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。 已知抛物线 $y^2=8x$，所以焦点坐标为 $(0,2)$。

  9. 写出满足下列条件的圆锥曲线各一个。 （1）一个焦点在 $x$ 轴上的椭圆。 （2）一个渐近线为 $y=\pm x$ 的双曲线。 （3）一个焦点为 $(1,0)$ 的抛物线。

  10. 已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，直线 $l:y=kx+1$。 （1）若直线 $l$ 与椭圆有两个交点，求 $k$ 的取值范围。 （2）若直线 $l$ 与椭圆相切，求 $k$ 的值。

参考答案与提示

  1. $b^2=a^2-c^2=25-9=16$，$b=4$；椭圆方程 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$；离心率 $e=\frac35$。
  2. $a=5$，$b=3$，$c=4$；焦点 $(\pm4,0)$；顶点 $(\pm5,0)$、$(0,\pm3)$；离心率 $\frac45$。
  3. 双曲线方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$；$c=5$，焦点 $(\pm5,0)$；渐近线 $y=\pm\frac43x$；离心率 $\frac53$。
  4. $2p=8$，$p=4$；焦点 $(2,0)$；准线 $x=-2$。
  5. $e=\frac ca=\frac12$，$a=4$，所以 $c=2$，$b^2=16-4=12$；椭圆方程 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。
  6. 代入得 $\frac{x^2}{4}+(x+1)^2=1$，即 $5x^2+8x=0$，$x=0$ 或 $x=-\frac85$。交点为 $(0,1)$、$\left(-\frac85,-\frac35\right)$；弦长 $\sqrt2\cdot\frac85=\frac{8\sqrt2}{5}$。
  7. 由中点弦斜率公式 $k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}=-\frac{4\times2}{16\times1}=-\frac12$。
  8. $a=2$，$b=\sqrt5$，$c=3$；焦点 $(\pm3,0)$；渐近线 $y=\pm\frac{\sqrt5}{2}x$；离心率 $\frac32$。
  9. $2p=4$，$p=2$；焦点 $(0,1)$；准线 $y=-1$。
  10. 焦点 $F(1,0)$，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线为 $x=1$，代入 $y^2=4x$ 得 $y=\pm2$，所以 $|AB|=4$。
  11. 椭圆焦点为 $(\pm4,0)$，顶点为 $(\pm5,0)$、$(0,\pm3)$。以焦点为顶点的双曲线顶点为 $(\pm4,0)$，所以 $a=4$；以顶点为焦点的双曲线焦点为 $(\pm5,0)$，所以 $c=5$，$b^2=c^2-a^2=9$。双曲线方程为 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$。
  12. 椭圆：到两定点距离之和为常数；双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数；抛物线：到定点与定直线距离相等。三者都可以用“到定点与定直线距离之比为 $e$”统一定义：椭圆 $0<e<1$，抛物线 $e=1$，双曲线 $e>1$。

检测题参考答案

  1. （1）正确，椭圆定义；（2）正确，双曲线定义；（3）正确，抛物线定义；（4）错误，椭圆离心率越大，椭圆越扁，越接近 $1$；离心率越接近 $0$，椭圆越接近圆。
  2. $a=4$，$b=3$，$c=\sqrt7$；焦点 $(\pm\sqrt7,0)$；离心率 $\frac{\sqrt7}{4}$。
  3. $a=2$，$b=\sqrt5$，$c=3$；焦点 $(\pm3,0)$；渐近线 $y=\pm\frac{\sqrt5}{2}x$；离心率 $\frac32$。
  4. $2p=4$，$p=2$；焦点 $(0,1)$；准线 $y=-1$；通径长 $2p=4$。
  5. $e=\frac ca=\frac{\sqrt3}{2}$，$a=4$，所以 $c=2\sqrt3$，$b^2=16-12=4$；椭圆方程 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。
  6. 由练习 6 得弦长 $\frac{8\sqrt2}{5}$。
  7. 由中点弦斜率公式 $k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}=-\frac{2\times1}{8\times1}=-\frac14$。
  8. 不正确。抛物线 $y^2=8x$ 的焦点在 $x$ 轴上，$2p=8$，$p=4$，焦点为 $(2,0)$，不是 $(0,2)$。
  9. 示例：（1）$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$；（2）$x^2-y^2=1$；（3）$y^2=4x$。
  10. 联立 $y=kx+1$ 与 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得 $(3+4k^2)x^2+8kx-8=0$。$\Delta=(8k)^2+32(3+4k^2)=96(2k^2+1)>0$ 恒成立，所以对任意 $k\in\mathbb{R}$，直线与椭圆都有两个交点；不存在相切的情况。